Contrastación experimento vs teoría en el mendelismo

[Genética clásica]

El método científico suele enseñarse como una secuencia ordenada: observar un fenómeno, formular una pregunta, proponer una hipótesis, realizar un experimento y elaborar conclusiones. Sin embargo, la investigación científica real no siempre sigue este recorrido. En ocasiones, los investigadores desarrollan primero un modelo teórico y posteriormente diseñan experimentos para comprobar sus predicciones. Otras veces, los resultados experimentales obligan a modificar una explicación que parecía correcta.

[Gregor Mendel]

Una de las dificultades más importantes aparece cuando comparamos las predicciones teóricas con los datos experimentales, porque rara vez coinciden exactamente. Esta diferencia no significa necesariamente que el modelo sea incorrecto. Los sistemas biológicos presentan variaciones naturales y los procedimientos de medición pueden introducir pequeñas desviaciones. Por esta razón, necesitamos herramientas que permitan distinguir las diferencias esperables de aquellas que podrían indicar un problema con nuestra explicación científica.

En los cruzamientos monohíbridos, por ejemplo, la segregación mendeliana y la fecundación aleatoria permiten predecir una proporción fenotípica de 3:1 cuando cruzamos dos heterocigotos bajo dominancia completa. Esto significa que esperamos aproximadamente tres descendientes con fenotipo dominante por cada descendiente con fenotipo recesivo.

Sin embargo, si examinamos cuatro descendientes reales, no estamos obligados a encontrar exactamente tres dominantes y uno recesivo. Podemos observar cuatro dominantes, dos de cada fenotipo o incluso cuatro recesivos. Todas estas combinaciones son posibles, aunque no tengan la misma probabilidad.

La diferencia entre la proporción esperada y la proporción observada recibe frecuentemente el nombre de desviación experimental. Cuando procede de fluctuaciones aleatorias, podemos hablar de ruido estadístico. También existen desviaciones originadas por errores de medición, dificultades para clasificar los fenotipos o condiciones biológicas que el modelo no contempla.

Es importante distinguir estas situaciones. El azar de la segregación hereditaria no constituye un error experimental: forma parte del funcionamiento del sistema. En cambio, contar incorrectamente una semilla o clasificar equivocadamente su fenotipo sí puede introducir un error de observación.

Además, las fluctuaciones relativas suelen disminuir cuando aumenta el número de observaciones. Una muestra de cuatro descendientes puede alejarse considerablemente de la proporción esperada, mientras que una muestra de varios centenares generalmente permite estimarla con mayor precisión. Esta relación es fundamental para comprender los experimentos de Gregor Mendel y el desarrollo de la genética cuantitativa (Abbott & Fairbanks, 2016).

Durante mucho tiempo, los científicos compararon estas diferencias mediante criterios intuitivos. Podían examinar dos series de resultados y considerar que se parecían suficientemente. Sin embargo, una comparación visual no proporciona una regla objetiva para decidir cuándo una desviación resulta demasiado grande para atribuirla razonablemente al azar.

Midiendo el ruido de lo que no lo es

Para distinguir las fluctuaciones aleatorias de las diferencias importantes necesitamos una prueba estadística. Estas pruebas permiten evaluar si los datos observados resultan compatibles con las proporciones teóricas de un modelo.

La importancia de esta dificultad se hizo evidente durante los primeros años de la genética. Investigadores como Hugo de Vries, William Bateson y Karl Pearson estudiaban resultados hereditarios que podían presentar proporciones diferentes. Una desviación aparente respecto del modelo 3:1 podía tener varias explicaciones: una muestra pequeña, errores de clasificación o un mecanismo biológico distinto del supuesto inicialmente.

Figura 1. [Karl Pearson] (1857-1936) fue un matemático británico que desarrolló herramientas fundamentales para la bioestadística, como la prueba de chi cuadrado, utilizada para comparar frecuencias observadas y esperadas. Fundó la revista Biometrika y estudió la herencia biológica mediante métodos matemáticos. También defendió la eugenesia, ideología discriminatoria actualmente rechazada, aunque sus aportes estadísticos conservan importancia científica (Magnello, 1998).

Por ejemplo, algunos cruzamientos pueden producir una proporción observada de 2:1 entre descendientes viables cuando uno de los genotipos esperados presenta letalidad. En estos casos, la diferencia respecto de 3:1 no desaparece simplemente aumentando el número de observaciones. No obstante, identificar ese mecanismo requiere información experimental adicional y no puede deducirse de una proporción aislada (Wolf et al., 2022).

En la actualidad disponemos de herramientas como la prueba de chi cuadrado de Pearson y la prueba exacta de Fisher. Ambas permiten analizar datos categóricos, aunque utilizan procedimientos matemáticos diferentes. La segunda puede resultar especialmente útil cuando las cantidades esperadas son pequeñas. En esta sección estudiaremos exclusivamente la primera.

La prueba de chi cuadrado, representada mediante el símbolo griego \(\chi^2\), fue desarrollada por Karl Pearson en 1900. Su propósito consiste en medir cuánto se apartan las frecuencias observadas de las frecuencias esperadas, considerando el tamaño de estas últimas. Su formulación resultó fundamental para el desarrollo de las pruebas estadísticas aplicadas a distintas ciencias (Pearson, 1900).

Para utilizarla debemos establecer dos hipótesis:

Hipótesis nula (H₀): las diferencias entre las frecuencias observadas y las esperadas son compatibles con las fluctuaciones aleatorias previstas por el modelo.

Hipótesis alternativa (H₁): los datos presentan una discrepancia mayor de la que consideraríamos razonablemente atribuible al azar bajo ese modelo.

La hipótesis nula no afirma que los resultados experimentales deban ser idénticos a los teóricos. Lo que propone es que las diferencias pueden explicarse mediante el azar del muestreo.

Tampoco debemos interpretar la hipótesis alternativa como una demostración inmediata de cuál mecanismo biológico está actuando. Un resultado estadísticamente significativo señala una discrepancia que merece explicación, pero no identifica por sí solo su causa.

La prueba utiliza un nivel de significación, generalmente \(\alpha=0,05\). Este valor representa un criterio de decisión equivalente a un 5 % de riesgo de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera, bajo las condiciones de la prueba. No significa que una hipótesis aceptada tenga una probabilidad del 95 % de ser correcta.

Los mendelianos estadísticos y eugenistas

Karl Pearson (1857-1936) fue un matemático y estadístico británico que contribuyó decisivamente al establecimiento de la bioestadística, disciplina dedicada a aplicar métodos estadísticos al estudio de los seres vivos.

Su trabajo surgió durante una época de intensa discusión sobre la herencia biológica. Mientras los primeros mendelianos estudiaban caracteres discretos mediante cruzamientos experimentales, Pearson y otros investigadores desarrollaban la biometría, interesada especialmente en medir la variación continua de los organismos y analizar sus relaciones matemáticas.

Estas perspectivas protagonizaron una importante controversia científica. Pearson no fue simplemente un defensor del mendelismo desde sus comienzos: su escuela biométrica mantuvo desacuerdos con William Bateson acerca de los métodos apropiados para investigar la herencia. Posteriormente, parte de estas diferencias se reconciliaron mediante nuevos desarrollos de la genética (Magnello, 1998).

En 1901, Pearson, Francis Galton y W. F. R. Weldon impulsaron la fundación de la revista Biometrika, dedicada a promover el estudio estadístico de los problemas biológicos. La publicación proporcionó un espacio especializado para investigaciones que combinaban matemáticas, estadística y biología, disciplinas cuya integración todavía encontraba resistencia institucional.

Figura 2. [Francis Galton] (1822-1911) fue un científico británico, primo de Charles Darwin, que investigó la herencia biológica y la variación humana. Desarrolló conceptos estadísticos como la regresión hacia la media y contribuyó a la biometría. También fundó la eugenesia, movimiento basado en interpretaciones hereditarias erróneas que promovieron políticas discriminatorias, aunque sus aportes estadísticos conservaron importancia científica (Galton, 1886).

Figura 3. [Walter Frank Raphael Weldon] (1860-1906) fue un zoólogo británico que investigó la variación biológica, la selección natural y la herencia mediante métodos estadísticos. Estudió crustáceos y fundó, junto con Karl Pearson y Francis Galton, la revista Biometrika. Defendió el estudio de la variación continua y debatió con los mendelianos, contribuyendo al desarrollo de la bioestadística moderna (Pearson, 1906).

Sin embargo, esta historia también presenta una dimensión ética importante. Pearson fue un defensor activo de la eugenesia, un movimiento que pretendía modificar las características hereditarias de las poblaciones humanas mediante políticas reproductivas y jerarquizaciones sociales. Muchas de sus propuestas estuvieron asociadas con prejuicios raciales y sociales que no se justifican científicamente.

Debemos distinguir sus contribuciones matemáticas de aquellas posiciones ideológicas. La validez de una herramienta estadística depende de sus fundamentos y de su aplicación correcta, no de aceptar las creencias personales de su creador.

La prueba de chi cuadrado constituye precisamente uno de sus aportes científicos más duraderos. Permite comparar frecuencias experimentales con predicciones teóricas mediante la siguiente expresión:

[Prueba de chi cuadrado de Pearson y estandarización de frecuencias]

[Cuadrado de la diferencia entre frecuencias experimentales y teóricas]

[Estandarización de frecuencias teóricas según el tamaño de la muestra]

Cuando tenemos \(k\) categorías, las probabilidades teóricas están completamente especificadas y no estimamos parámetros adicionales con los mismos datos, utilizamos:

\[ gl=k-1 \]

Por ejemplo, en un cruzamiento monohíbrido con dos fenotipos, dominante y recesivo, obtenemos:

\[ gl=2-1=1 \]

La siguiente tabla presenta los valores críticos habituales para un nivel de significación de 0.05, equivalente al percentil 95 de la distribución chi cuadrado.

Tabla 1. [Valores críticos de chi cuadrado para un nivel de significación de 0.05]. La tabla de chi cuadrado establece los valores críticos según los grados de libertad. En cruzamientos con dominancia completa, el monohíbrido utiliza 1 grado de libertad (3,84), el dihíbrido utiliza 3 (7,81) y el trihíbrido utiliza 7 (14,07). Superar estos límites indica diferencias estadísticamente significativas entre las frecuencias observadas y esperadas (Pearson, 1900).

Grados de libertad	Valor crítico \(\chi^2_{0,05}\)
1	3.84
2	5.99
3	7.81
4	9.49
5	11.07
6	12.59
7	14.07
8	15.51
9	16.92
10	18.31

Si el chi cuadrado calculado supera el valor crítico. rechazamos la hipótesis nula según el nivel de significación establecido. Si no lo supera. decimos que no existen evidencias estadísticas suficientes para rechazarla.

La segunda conclusión no demuestra que el modelo sea perfectamente verdadero; únicamente indica que la muestra analizada no proporciona una discrepancia suficientemente grande para rechazarlo mediante esta prueba.

Resolviendo una situación de contraste experimento-teoría

Consideremos los resultados de un cruzamiento monohíbrido en la segunda generación filial (F₂) de plantas de arveja (Pisum sativum). como las utilizadas por Gregor Mendel. En este ejemplo se analiza el color de los cotiledones. que pueden ser amarillos o verdes. Bajo dominancia completa. el amarillo corresponde al fenotipo dominante y el verde al fenotipo recesivo.

Si ambos progenitores son heterocigotos (Aa × Aa). el modelo predice una proporción fenotípica de 3:1. es decir. un 75 % de semillas amarillas y un 25 % de semillas verdes.

Supongamos que examinamos 929 flores y encontramos 705 púrpura y 224 blancas. cantidades correspondientes a uno de los conjuntos de resultados presentados por Mendel (Abbott & Fairbanks. 2016).

Tabla 2. [Contrastación de la proporción mendeliana 3:1 mediante chi cuadrado]. La prueba de chi cuadrado compara 705 plantas púrpuras y 224 blancas con las frecuencias esperadas de 696,75 y 232,25, respectivamente. El estadístico calculado (0,3907) es inferior al valor crítico (3,84), con un grado de libertad. Por tanto, las diferencias son compatibles con el azar y no rechazamos la hipótesis nula (Pearson, 1900).

Fenotipo	pi	nei	noi	Δni	(Δni)2/ noi
Púrpura (D)	0.75	705	696.75	8.25	0.0977
blanco (r)	0.25	224	232.25	−8.25	0.2930
Total ()	1.00	929	929.00	χ	0.3907
Χ(tab) a gl=1					3.8400

Comparamos ambos resultados, como nuestro chi cuadrado calculado es menor que el valor crítico. Por tanto. no rechazamos la hipótesis nula: los datos experimentales son compatibles con la proporción mendeliana 3:1. considerando las fluctuaciones que pueden producirse por azar.

La probabilidad asociada a la prueba. denominada valor p. es aproximadamente 0.53. Esto significa que. suponiendo correcto el modelo. una discrepancia estadística al menos tan grande como la observada no sería particularmente rara. No significa que exista una probabilidad del 53 % de que el modelo mendeliano sea verdadero.

La precisión de los resultados originales de Mendel también ha dado lugar a una conocida controversia científica. En 1936. Ronald Fisher observó que el conjunto de los resultados publicados parecía ajustarse extraordinariamente bien a las proporciones esperadas. Posteriormente surgieron diferentes explicaciones. entre ellas la selección de observaciones. posibles sesgos inconscientes y particularidades del diseño experimental.

Investigaciones históricas y estadísticas posteriores han mostrado que esta controversia no puede resolverse simplemente afirmando que Mendel modificó deliberadamente sus datos. Las interpretaciones continúan dependiendo de cómo se reconstruyan sus experimentos y los procedimientos utilizados para registrar y seleccionar resultados (Franklin et al.. 2008; Pires & Branco. 2010).

Un resultado individual compatible con el modelo. como el que acabamos de analizar. tampoco demuestra por sí solo que todos los demás experimentos deban presentar el mismo comportamiento.

Error absoluto y relativo. cuando no tenemos la chi cuadrado

La prueba de chi cuadrado permite evaluar formalmente la compatibilidad entre las frecuencias experimentales y las predicciones teóricas. Sin embargo. en algunas situaciones escolares solamente necesitamos conocer qué tan grande es la diferencia entre dos valores. sin realizar una prueba de significación estadística.

Para este propósito podemos utilizar medidas más sencillas. como el error absoluto y el error relativo. Aunque reciben el nombre de errores. en este contexto representan desviaciones respecto de una predicción. que pueden originarse simplemente por el azar de la reproducción.

El error absoluto expresa la distancia entre un valor observado y uno esperado:

 

[Error absoluto]

Las barras verticales indican que utilizamos el valor absoluto. es decir. que ignoramos el signo negativo de la diferencia y conservamos únicamente su magnitud.

Por ejemplo. para las semillas amarillas de la Tabla 13.2:

\[ E_a=|705-696.75|=8.25 \]

El error absoluto es de 8.25 semillas respecto de la cantidad teórica. Sin embargo. esta medida presenta una limitación: una diferencia de ocho unidades puede ser considerable cuando esperamos diez individuos. pero pequeña cuando esperamos varios centenares.

Por esa razón. utilizamos el error relativo. que relaciona la desviación absoluta con el valor esperado:

[Error relativo]

El resultado es una cantidad adimensional y puede expresarse como porcentaje multiplicándolo por 100. A diferencia de una probabilidad. el error relativo no está necesariamente limitado al intervalo entre 0 y 1.

Aplicamos la expresión al fenotipo dominante:

\[ \varepsilon_{\text{purpura}}= \left| 1-\frac{705}{696.75} \right|\times100\% \approx1.18\%

 \]

Para el fenotipo recesivo obtenemos:

\[ \varepsilon_{\text{blanco}}= \left| 1-\frac{224}{232.25} \right|\times100\% \approx1.18\%

 \]

Aunque las diferencias absolutas son iguales. los errores relativos son diferentes. Esto sucede porque la frecuencia esperada del fenotipo verde es menor. de manera que una diferencia de 8.25 representa una fracción mayor de su cantidad teórica.

Cuando tenemos varias categorías. podemos calcular el promedio aritmético de los errores relativos:

 

[Error relativo promedio]

Aquí. \(k\) representa el número de categorías. Para nuestro ejemplo tenemos dos: semillas amarillas y semillas verdes.

\[ \varepsilon_{avg} = \frac{1}{2}\times (1.18+3.55)\% \approx2.37\% \]

El error relativo medio es aproximadamente 2.37 %. lo que describe una desviación pequeña en términos descriptivos para este conjunto de observaciones. No obstante. debemos evitar interpretar ese porcentaje como un nivel de significación estadística.

La chi cuadrado y el error relativo responden preguntas diferentes. La primera evalúa si las diferencias son compatibles con las fluctuaciones esperadas bajo una hipótesis. mientras que el segundo expresa cuánto se aleja cada frecuencia observada de su predicción.

Por ejemplo. dos experimentos pueden presentar el mismo error relativo y. aun así. producir resultados diferentes en una prueba de chi cuadrado si sus tamaños de muestra son distintos. Con una muestra suficientemente grande. incluso una desviación proporcional pequeña puede resultar estadísticamente significativa.

También debemos recordar que el error relativo medio concede el mismo peso a todas las categorías. independientemente de cuántos individuos se esperen en cada una. Por tanto. constituye una medida descriptiva sencilla. pero no reemplaza automáticamente a una prueba estadística.

En los ejercicios sobre herencia mendeliana. estas operaciones permiten describir la diferencia entre las proporciones teóricas y los datos experimentales. conservando la distinción entre la magnitud de la desviación y su interpretación probabilística.

Referencias bibliográficas

 Abbott, S., & Fairbanks, D. J. (2016). Experiments on plant hybrids by Gregor Mendel. Genetics, 204(2), 407–422. https://doi.org/10.1534/genetics.116.195198

Franklin, A., Edwards, A. W. F., Fairbanks, D. J., Hartl, D. L., & Seidenfeld, T. (2008). Ending the Mendel-Fisher controversy. University of Pittsburgh Press. https://doi.org/10.2307/j.ctv10tq47g

Furno, M. (2000). LM tests in the presence of non-normal error distributions. Econometric Theory, 16(2), 249–261. https://doi.org/10.1017/S026646660016205X

Galton, F. (1886). Regression towards mediocrity in hereditary stature. The Journal of the Anthropological Institute of Great Britain and Ireland, 15, 246–263. https://doi.org/10.2307/2841583

Gorroochurn, P. (2016). Karl Pearson's chi-squared goodness-of-fit test. En Classic topics on the history of modern mathematical statistics. Wiley. https://doi.org/10.1002/9781119127963.ch3

Hyndman, R. J., & Koehler, A. B. (2006). Another look at measures of forecast accuracy. International Journal of Forecasting, 22(4), 679–688. https://doi.org/10.1016/j.ijforecast.2006.03.001

Magnello, M. E. (1998). Karl Pearson's mathematization of inheritance: From ancestral heredity to Mendelian genetics (1895–1909). Annals of Science, 55(1), 35–94. https://doi.org/10.1080/00033799800200111

Magnello, M. E. (2014). Pearson, Karl: His life and contribution to statistics. En Wiley StatsRef: Statistics Reference Online. Wiley. https://doi.org/10.1002/9781118445112.stat04822

Pearson, K. (1900). X. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 50(302), 157–175. https://doi.org/10.1080/14786440009463897

Pearson, K. (1906). Walter Frank Raphael Weldon. 1860–1906. Biometrika, 5(1–2), 1–52. https://doi.org/10.1093/biomet/5.1-2.1

Pires, A. M., & Branco, J. A. (2010). A statistical model to explain the Mendel–Fisher controversy. Statistical Science, 25(4), 545–565. https://doi.org/10.1214/10-STS342

Rossi, J. S. (2010). Chi-square test. En I. B. Weiner & W. E. Craighead (Eds.), The Corsini encyclopedia of psychology. Wiley. https://doi.org/10.1002/9780470479216.corpsy0174

Wolf, J. B., Ferguson-Smith, A. C., & Lorenz, A. (2022). Mendel's laws of heredity on his 200th birthday: What have we learned by considering exceptions? Heredity, 129(1), 1–3. https://doi.org/10.1038/s41437-022-00552-y