Teorema. Cuadrado de la diferencia entre frecuencias experimentales y teóricas.

El cuadrado de la diferencia permite medir cuánto se separa una frecuencia experimental de su correspondiente frecuencia teórica esperada. En la ecuación, Δnᵢ representa la desviación de la categoría i; nₑᵢ corresponde al número de entidades observadas experimentalmente, mientras que nₒᵢ representa el número de entidades esperadas, calculado a partir de las probabilidades teóricas y el tamaño de la muestra. Primero restamos ambas cantidades y posteriormente elevamos el resultado al cuadrado. Es importante distinguir esta operación de la diferencia de cuadrados: aquí elevamos al cuadrado una resta completa, no restamos dos cantidades previamente elevadas al cuadrado (Pearson, 1900).

Utilizamos el cuadrado de la diferencia en lugar del valor absoluto porque ambos eliminan los signos negativos, pero el primero concede mayor importancia a las desviaciones grandes. Por ejemplo, una desviación de dos unidades produce un cuadrado de cuatro, mientras que una de cuatro produce dieciséis. Esta propiedad permite que las diferencias importantes contribuyan más al estadístico chi cuadrado. No obstante, el cuadrado no es universalmente superior al valor absoluto: su elección responde a las propiedades matemáticas de cada procedimiento y de su distribución estadística (Gorroochurn, 2016).

Las diferencias elevadas al cuadrado también aparecen en la varianza, la desviación estándar, el método de mínimos cuadrados, la regresión lineal y el análisis de varianza. Todas estas herramientas permiten estudiar la dispersión de los datos o evaluar diferencias entre observaciones y predicciones. En la investigación biológica, resultan especialmente útiles para analizar la variabilidad de los organismos y contrastar modelos experimentales. Sin embargo, los métodos basados en valores absolutos pueden resultar más resistentes a observaciones extremas en determinadas circunstancias (Furno, 2000).

Furno, M. (2000). LM tests in the presence of non-normal error distributions. Econometric Theory, 16(2), 249–261. https://doi.org/10.1017/S026646660016205X.

Gorroochurn, P. (2016). Karl Pearson's chi-squared goodness-of-fit test. En Classic topics on the history of modern mathematical statistics. Wiley. https://doi.org/10.1002/9781119127963.ch3.

Pearson, K. (1900). X. On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 50(302), 157–175. https://doi.org/10.1080/14786440009463897.