Unidades y medidas
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Índice
Inicio: ⟨Cursos⟩: ⟨Física⟩: {Preliminares}: [El informe de laboratorio] [Unidades y medidas]: (1 Introducción) (2 La medición y el método científico) (3 ¿Qué son las unidades de medición?) (4 Historia de la medición) (5 Sistema métrico decimal) (6 Viejo sistema internacional de unidades) (7 Unidades fundamentales) (8 El nuevo sistema internacional, 2019) (9 Unidades derivadas) (10 Prefijos decimales y notación exponencial) (11 Lenguaje del sistema internacional de unidades) (12 El sistema imperial Británico) (13 Cifras significativas) (14 Operaciones con cifras significativas) (15 Notación científica) (16 Conversiones de unidades) (17 La regla de tres analítica) (18 Análisis dimensional) (Referencias bibliográficas)
Portada
(1) Introducción
Inicio: ⟨Cursos⟩: ⟨Física⟩: {Preliminares}: [El informe de laboratorio] [Unidades y medidas]: (1 Introducción) (2 La medición y el método científico) (3 ¿Qué son las unidades de medición?) (4 Historia de la medición) (5 Sistema métrico decimal) (6 Viejo sistema internacional de unidades) (7 Unidades fundamentales) (8 El nuevo sistema internacional, 2019) (9 Unidades derivadas) (10 Prefijos decimales y notación exponencial) (11 Lenguaje del sistema internacional de unidades) (12 El sistema imperial Británico) (13 Cifras significativas) (14 Operaciones con cifras significativas) (15 Notación científica) (16 Conversiones de unidades) (17 La regla de tres analítica) (18 Análisis dimensional) (Referencias bibliográficas)
En el vasto universo del conocimiento científico, la precisión y la uniformidad en la comunicación de medidas son esenciales. El Capítulo de Unidades y Medidas actúa como el lenguaje común que permite a científicos, ingenieros y profesionales de diversas disciplinas expresar y comprender magnitudes de manera coherente. En este capítulo, exploraremos la importancia fundamental de las unidades de medida, desde las más elementales hasta las más complejas, y cómo estas proporcionan el marco necesario para cuantificar y comparar fenómenos físicos, químicos y matemáticos. Asimismo, examinaremos los sistemas de unidades más utilizados a nivel mundial, junto con los estándares y convenciones que rigen la medición precisa. A través de esta exploración, se revelarán las herramientas fundamentales que sustentan el rigor y la precisión en la investigación científica y el desarrollo tecnológico. Este capítulo se adentra en el fascinante mundo de las medidas, destacando su papel crucial en la comprensión y descripción del vasto espectro de fenómenos que nos rodean.
(1.1) Robert Boyle
Robert Boyle (1627-1691), destacado científico irlandés y cofundador de la Royal Society, dejó un legado duradero en la historia de la ciencia. Reconocido por la ley de Boyle sobre el comportamiento de los gases, sus contribuciones abarcaron la física y la química. Boyle también fue un filósofo natural comprometido y un defensor de la experimentación científica rigurosa, sentando las bases para el método científico moderno.
(1.1.1) Contexto social
El contexto en el que Robert Boyle vivió y contribuyó abarcó un periodo fascinante y tumultuoso en la historia, caracterizado por agitación política, desarrollo científico, cambios sociales, tensiones religiosas y una rica expresión cultural. Aunque nació en enero de 1627 en Lismore, Irlanda, durante el reinado de Carlos I de Inglaterra, su vida adulta y sus contribuciones más significativas se desarrollaron en el contexto de la Guerra Civil Inglesa (1642-1651) y la posterior Restauración.
Desde el punto de vista político, Boyle fue testigo de una Inglaterra dividida por conflictos internos y tensiones políticas. La Guerra Civil Inglesa, que comenzó en 1642, enfrentó a los partidarios del rey Carlos I contra los parlamentarios. Este conflicto tuvo profundas repercusiones en la vida de Boyle, ya que su familia, los Condes de Cork, eran leales al rey. Durante esta época, Boyle se encontró en el epicentro de las luchas políticas y las tensiones que afectaron a la sociedad inglesa. El contexto político influyó en su enfoque científico, ya que la Guerra Civil Inglesa y sus secuelas llevaron a Boyle a buscar estabilidad y certeza en la investigación científica. En este periodo, la experimentación se convirtió en un pilar fundamental de la ciencia, permitiendo a Boyle avanzar en el entendimiento de los gases y las propiedades de la materia. La Guerra Civil Inglesa tuvo un impacto profundo en la sociedad y la política, y las tensiones persistieron incluso después de su conclusión. La ejecución de Carlos I en 1649 y el establecimiento de la República bajo Oliver Cromwell marcaron un periodo de agitación política. La Restauración en 1660, con el retorno de Carlos II al trono, trajo consigo cambios significativos en la estructura política y social. Boyle, aunque no directamente involucrado en la política, vivió en un periodo de incertidumbre y cambio.
Económicamente, Boyle provenía de una familia acomodada, lo que le permitió dedicar su vida a la investigación científica sin preocupaciones financieras inmediatas. Esta posición privilegiada le otorgó la libertad de explorar sus intereses científicos sin las restricciones económicas que a menudo limitaban a otros pensadores de la época.
En el ámbito social, el siglo XVII fue testigo de cambios significativos en la estructura social de Inglaterra. Emergieron nuevas clases sociales, y la burguesía ganó influencia. Boyle, como miembro de la aristocracia, experimentó las tensiones y los cambios sociales que acompañaron a esta transformación en la sociedad inglesa.
Desde el punto de vista religioso, Boyle vivió en una época en la que las tensiones entre católicos y protestantes eran palpables. Aunque nacido en una familia católica, Boyle se convirtió al protestantismo y, a lo largo de su vida, abogó por la tolerancia religiosa. Su interés en reconciliar la ciencia con la fe y su participación en la redacción de "The Christian Virtuoso" reflejan su intento de armonizar la investigación científica con sus creencias religiosas.
Culturalmente, el siglo XVII fue un periodo de transición del Renacimiento al Barroco. Este cambio cultural se manifestó en las artes, la literatura y la filosofía. En este contexto, Boyle desarrolló su pensamiento y contribuyó al surgimiento de la metodología científica moderna. Este cambio se reflejó en la filosofía, la literatura, el arte y la ciencia. Boyle, inmerso en este contexto cultural, desarrolló su pensamiento científico en un momento en el que la experimentación y la observación se valoraban más que las especulaciones teóricas. En el contexto cultural del siglo XVII, el cambio de paradigma del Renacimiento al Barroco influyó en diversos aspectos de la sociedad, incluida la forma en que se presentaba y se comunicaba la ciencia. Aunque Robert Boyle no era un artista en el sentido tradicional, la estética barroca y los cambios en los estilos de presentación visual y escritura influyeron en la forma en que se abordó la comunicación científica en su época.
Durante el Barroco, se valoraba la ornamentación y la presentación visual en diversas formas de expresión, incluidos los textos científicos. Los grabados y las ilustraciones se convirtieron en herramientas importantes para comunicar ideas científicas de manera más efectiva. Esta tendencia se alinea con la naturaleza visual y sensorial del Barroco, que buscaba evocar emociones y captar la atención a través de la ornamentación detallada. Boyle, consciente de la importancia de comunicar claramente sus ideas, empleó grabados y representaciones visuales en sus obras científicas. "The Sceptical Chymist", por ejemplo, incluyó ilustraciones que ayudaban a explicar conceptos clave relacionados con la química. Estos elementos visuales no solo sirvieron como herramientas pedagógicas, sino que también reflejaron la estética de la época.
Además, la ornamentación y la presentación cuidadosa de los textos eran características distintivas de la escritura barroca. Los escritores barrocos buscaban cautivar a sus lectores a través de un estilo ornamentado y elocuente. Boyle, siendo un hombre educado y perteneciente a la aristocracia, estaba inmerso en este ambiente cultural y probablemente adoptó algunas de estas características en su estilo de escritura. Es importante destacar que, si bien la estética barroca influyó en la presentación de la ciencia, Boyle también era un defensor del método científico riguroso y la claridad en la comunicación. Su enfoque en la experimentación y la observación directa se alinea más con la búsqueda de la verdad y la precisión, características que trascienden la estética barroca.
La contribución más significativa de Boyle se encuentra en el ámbito científico, donde desempeñó un papel crucial en la Revolución Científica. Su obra más conocida, "The Sceptical Chymist", publicada en 1661, cuestionó las teorías alquímicas predominantes y sentó las bases de la química moderna. La Ley de Boyle sobre el comportamiento de los gases, publicada en 1662, fue otra contribución fundamental. Boyle promovió el método científico basado en la experimentación y la observación, distanciándose de las especulaciones teóricas sin fundamento empírico.
(1.1.2) Infancia
Robert Boyle nació el 25 de enero de 1627 en Lismore, condado de Waterford, Irlanda. Fue el decimocuarto hijo de Richard Boyle, el Conde de Cork, y Catherine Fenton. Su infancia transcurrió en un entorno privilegiado, ya que su familia era una de las más acomodadas de Irlanda. Desde temprana edad, Boyle mostró una curiosidad innata y una inclinación hacia el aprendizaje. Su hogar, el Castillo de Lismore, era un lugar donde las mentes intelectuales se congregaban, proporcionándole acceso a una amplia gama de conocimientos. A pesar de su posición social elevada, Boyle no estaba ajeno a las tensiones políticas de la época, ya que su familia, siendo anglicana, tuvo que enfrentar los desafíos derivados de la Guerra Civil Inglesa, que estalló cuando él era solo un niño.
La educación de Boyle comenzó en casa, donde recibió tutoría privada. Su padre, un hombre con gran interés en la educación, le proporcionó una sólida base en lenguas clásicas y humanidades. Además, Boyle demostró habilidades lingüísticas destacadas, aprendiendo varios idiomas, incluyendo el latín, griego y francés, lo que más tarde le sería útil en su carrera científica. La muerte de su padre en 1643 dejó a Boyle en una posición financiera cómoda pero también le brindó más libertad para perseguir sus propios intereses. Su padre, Lord Cork, había fallecido el año anterior y le dejó la mansión de Stalbridge en Dorset, así como extensas propiedades en el condado de Limerick en Irlanda que había adquirido.
Robert estableció su residencia en Stalbridge House entre 1644 y 1652, y creó un laboratorio donde llevó a cabo numerosos experimentos. A partir de entonces, Robert dedicó su vida a la investigación científica y pronto ocupó un lugar destacado en el grupo de investigadores conocido como el "Invisible College", dedicado al cultivo de la "nueva filosofía". Se reunían con frecuencia en Londres, a menudo en Gresham College, y algunos de los miembros también celebraban reuniones en Oxford. Después de varias visitas a sus propiedades en Irlanda a partir de 1647, Robert se trasladó a Irlanda en 1652, pero se frustró por su incapacidad para avanzar en su trabajo químico. En una carta, describió a Irlanda como "un país bárbaro donde los espíritus químicos eran tan mal entendidos y los instrumentos químicos tan difíciles de conseguir que era difícil tener pensamientos herméticos en él".
(1.1.3) Logros
En 1654, Boyle dejó Irlanda y se trasladó a Oxford para continuar su trabajo de manera más exitosa. Se estableció en University College, Oxford, en la High Street (actual ubicación del Shelley Memorial). Alquiló habitaciones en Cross Hall a un adinerado boticario.
En 1657, después de leer sobre la bomba de aire de Otto von Guericke, Boyle, con la ayuda de Robert Hooke, se propuso mejorar su construcción. La bomba de aire de Guericke era grande y requería "el trabajo constante de dos hombres fuertes durante varias horas", por lo que Boyle construyó una que podía operarse cómodamente en un escritorio. Con el resultado, la "machina Boyleana" o "Pneumatical Engine", completada en 1659, comenzó una serie de experimentos sobre las propiedades del aire y acuñó el término "aires facticios". Un relato de los trabajos de Boyle con la bomba de aire se publicó en 1660 bajo el título "Nuevos Experimentos
Su investigación con la bomba de aire culminó en la publicación, en 1660, de "Nuevos Experimentos Physico-Mecánicos, tocantes al resorte del aire y sus efectos". Este trabajo detalló sus experimentos y observaciones sobre la relación entre la presión y el volumen de un gas, estableciendo así las bases para su famosa Ley de Boyle, que fue publicada en 1662. A pesar de sus notables logros, Boyle no estuvo exento de errores y controversias. Inicialmente, respaldó la teoría del flogisto, una creencia alquímica que postulaba la existencia de una sustancia invisible liberada durante la combustión. Sin embargo, a medida que progresaban sus experimentos, Boyle contribuyó a desacreditar esta teoría y avanzó hacia una comprensión más precisa de la química.
Además, tuvo una disputa intelectual con el filósofo Thomas Hobbes sobre la naturaleza del vacío y la validez de los experimentos con bombas de aire. Esta controversia reflejó las tensiones entre la filosofía y la ciencia en ese periodo y subrayó la resistencia a nuevas ideas. El legado de Boyle se extiende más allá de sus experimentos y leyes. Su énfasis en la experimentación rigurosa y la aplicación del método científico sentó las bases para la investigación científica moderna. Su contribución a la comprensión de las propiedades del aire y su famosa ley continúan siendo fundamentales en la enseñanza de la física y la química. A pesar de los desafíos y controversias, Boyle perseveró como un pionero de la ciencia, dejando una huella indeleble en la historia de la Revolución Científica del siglo XVII.
Después de su trabajo pionero con la bomba de aire y la formulación de la Ley de Boyle, Robert Boyle abordó la esencia misma de la química con su obra más influyente, "The Sceptical Chymist" ("El Químico Escéptico"), publicada en 1661. Este texto desafiante marcó un hito crucial en la transición de la alquimia a la química moderna. En "The Sceptical Chymist", Boyle cuestionó y criticó las teorías alquímicas prevalecientes que sostenían la existencia de tres principios fundamentales: sal, azufre y mercurio. Boyle propuso una nueva visión de la materia, rechazando la creencia en la transmutación de los metales y abogando por una comprensión más científica y experimental de los elementos y compuestos.
Una de las contribuciones más significativas de Boyle en esta obra fue su distinción entre átomos y moléculas. Aunque no utilizó estos términos específicos, su idea de "partículas insípidas, inodoras, incoloras y no metálicas" sugiere la noción de átomos, mientras que la combinación de estas partículas para formar sustancias específicas anticipa la idea de moléculas. Además, Boyle introdujo la noción de "elementos corpusculares" que conforman las sustancias y propuso que las diferencias en estas partículas eran responsables de las variaciones en las propiedades de las sustancias. Este enfoque más científico y experimental sentó las bases para la química moderna, abandonando las especulaciones místicas de la alquimia.
La trascendencia de "The Sceptical Chymist" no solo radica en las ideas específicas que presentó, sino en la metodología que abogó. Boyle defendió la experimentación y la observación sistemática como la verdadera base de la ciencia química. Su escepticismo hacia las teorías sin evidencia empírica y su enfoque en la investigación experimental influyeron significativamente en el desarrollo posterior de la química. Este trabajo crítico allanó el camino para una comprensión más precisa de los elementos y la naturaleza de las sustancias químicas. La distinción de Boyle entre elementos y compuestos sentó las bases para la tabla periódica moderna y la comprensión contemporánea de la química de los elementos.
(1.1.4) Comunidad científica
Robert Boyle, una figura prominente en la emergente comunidad científica del siglo XVII, participó activamente en una red de colaboradores y amistades intelectuales que fueron cruciales para el avance de la ciencia en ese periodo. Entre sus principales colaboradores se encontraba Robert Hooke, con quien compartió una estrecha asociación, trabajando en mejoras para la bomba de aire de Otto von Guericke y realizando experimentos pioneros con gases. Christopher Wren, conocido por su trabajo en arquitectura, también colaboró con Boyle en experimentos relacionados con la neumática y la física experimental. Además, John Locke, aunque más reconocido como filósofo, mantuvo una amistad duradera con Boyle, participando en discusiones intelectuales y compartiendo inquietudes en la filosofía natural.
Henry Oldenburg, secretario de la Royal Society, fue otra figura clave en la red de amistades intelectuales de Boyle. Oldenburg desempeñó un papel crucial en la difusión de las ideas científicas a través de las publicaciones de la sociedad. Thomas Willis, médico y anatomista, también formó parte de este círculo cercano, compartiendo inquietudes sobre la relación entre la anatomía y la fisiología y participando activamente en discusiones científicas de la época. Sin embargo, Boyle no estuvo exento de controversias. Mantuvo una disputa intelectual con Thomas Hobbes sobre la naturaleza del vacío y la validez de los experimentos con bombas de aire. Esta controversia reflejó las tensiones existentes entre la filosofía y la ciencia en ese periodo. Aunque no se registran enemigos personales conocidos en los documentos históricos, como figura pública y científica prominente, es plausible que Boyle enfrentara críticas y oposición de aquellos que no compartían sus perspectivas científicas o que resistían los cambios paradigmáticos propuestos por la Revolución Científica.
(1.1.5) Reconocimientos
A lo largo de su vida, Robert Boyle fue honrado y reconocido por sus contribuciones sobresalientes a la ciencia y su destacado papel en la Revolución Científica del siglo XVII. Como miembro fundador de la Royal Society en 1660, Boyle recibió el reconocimiento de sus contemporáneos, convirtiéndose en una figura respetada en la comunidad científica. Su participación activa en la sociedad y su compromiso con la experimentación le valieron el reconocimiento como asesor científico, siendo consultado en cuestiones científicas relevantes de la época.
Aunque no recibió títulos nobiliarios en vida, su influencia y prestigio se reflejaron póstumamente cuando su herencia fue transferida a su sobrino, el Conde de Orrery, quien recibió un título de nobleza. Además, Boyle es recordado en eventos conmemorativos que resaltan su papel como pionero en la química y la física experimental. Diversas instituciones científicas han otorgado medallas y honores en reconocimiento a sus contribuciones duraderas, destacando su impacto en la metodología científica moderna.
Su legado perdura en la historia de la ciencia, siendo recordado como el formulador de la Ley de Boyle y por su obra influyente, "The Sceptical Chymist". Su nombre está asociado con la transición de la alquimia a la química moderna, y su influencia continúa en la literatura científica actual. En resumen, Robert Boyle no solo fue un científico respetado en vida, sino que su legado ha perdurado a través de eventos conmemorativos, reconocimientos académicos y la continua relevancia de sus contribuciones en el ámbito científico.
(1.1.6) Por qué él es importante
El trabajo pionero de Robert Boyle ha dejado una marca indeleble en nuestra vida cotidiana al influir en diversos aspectos de la ciencia y la tecnología. Su contribución más notable, la Ley de Boyle, establece la relación entre la presión y el volumen de un gas, fundamentando tecnologías que son fundamentales en nuestra vida diaria. Desde los respiradores médicos hasta los sistemas de climatización en nuestros hogares, estas aplicaciones tecnológicas se basan en los principios formulados por Boyle en el siglo XVII.
Además, las contribuciones de Boyle a la química moderna han repercutido en el desarrollo de medicamentos y productos farmacéuticos. Su enfoque en la experimentación rigurosa y la observación científica ha permeado la investigación actual, influyendo en la forma en que se abordan los problemas en química y física. Estos avances no solo impactan en la esfera científica, sino que también se traducen en mejoras tangibles en nuestra calidad de vida.
La mentalidad innovadora de Boyle ha trascendido el ámbito científico, afectando tecnologías de la información, electrónica e ingeniería. Su legado se encuentra en la base de desarrollos modernos que son fundamentales en nuestra sociedad digital. Asimismo, su trabajo ha contribuido al avance del conocimiento científico, mejorando las condiciones de vida en aspectos tan variados como la seguridad alimentaria y el suministro de agua.
(2) La medición y el método científico
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Cuando afirmamos que las ciencias de la naturaleza requieren habilidades analíticas, no nos referimos simplemente a la concentración, sino que empleamos el término "analítico" en el contexto de la epistemología científica para denotar la aplicación de conceptos matemáticos. En este sentido, las ciencias occidentales se distinguen por su extenso uso de las matemáticas, ya sea en un enfoque inductivo o deductivo, con el propósito de transformar la amalgama de información percibida por nuestros sentidos en datos organizados de manera clara.
Las ciencias de la naturaleza utilizan herramientas derivadas de las ciencias formales, como la matemática y la lógica, para sintetizar los datos medidos en afirmaciones precisas sobre la naturaleza, las cuales denominamos como las Leyes de la Naturaleza. Aunque las Ciencias Sociales también hacen uso de estas herramientas, su enfoque se basa más en datos cualitativos. Por esta razón, algunos académicos las han categorizado como "ciencias blandas" en contraste con las ciencias de la naturaleza, que emplean de manera más extensa la información matemática y, por ende, son conocidas como "ciencias duras". (Hedges, 1987).
No obstante, esta distinción resulta un tanto injusta, ya que la rigurosidad de una ciencia está vinculada en cierta medida a la facilidad con la que podemos construir modelos matemáticos de sus situaciones. Dentro del espectro de las ciencias de la naturaleza, la física destaca por su notable propensión a la creación de modelos y formulaciones matemáticas. Le siguen en nivel de complejidad la química y posteriormente la biología, antes de adentrarse en situaciones verdaderamente intrincadas presentes en las ciencias sociales. No obstante, la dificultad no implica la ausencia de intentos, y en muchas ocasiones, las ciencias sociales se ven compelidas a desarrollar modelos de análisis matemático sumamente complejos, lo que las coloca en ocasiones en un terreno tan exigente o más que el de las denominadas "ciencias duras". (Diamond, 1987).
No obstante, este apartado constituye una introducción a la medición, dividido efectivamente en dos partes: la primera aborda los principios fundamentales, mientras que la segunda nos orienta sobre cómo proceder cuando contamos con múltiples datos o repeticiones de una misma medida. Este capítulo se presenta al inicio de los textos de química y física de manera muy similar en ambos casos, y se titula, por consiguiente, "Unidades y Medidas".
(2.1) Profe, ¿esta es clase de ciencias o de matemáticas?
Según los aristotélicos, la búsqueda del conocimiento científico se centraba en descubrir las causas necesarias, es decir, aquellas que eran auténticas a nivel de la verdad absoluta, un concepto conocido como verdad ontológica. Este enfoque se caracterizaba principalmente por ser cualitativo, y la aplicación de conceptos matemáticos en las ciencias naturales estaba restringida. Se limitaba a la astronomía para la creación de calendarios, a la ingeniería para la construcción de objetos y a la óptica para la elaboración de lentes. Sin embargo, el uso de las matemáticas para explicar fenómenos naturales era muy limitado. Un ejemplo ilustrativo es la primera ley de la naturaleza, conocida como el Principio de Arquímedes, que inicialmente se planteó como una verdad cualitativa en términos textuales: todo objeto flotante desplaza su propio peso en un fluido. (Bendick, Berquist, & Bradshaw, 2010).
Figura 2.1. Representación árabe de lo que se ha ido conociendo como la ley de Snell.
En los siglos XVI y XVII, se gestó la revolución científica, marcando el surgimiento de las ciencias de la naturaleza tal como las concebimos y aplicamos en la actualidad. El factor determinante que catalizó este cambio radical fue la incorporación de las matemáticas para analizar de manera sistemática los experimentos empíricos (Dear, 1995; Kuhn, 1970; Shapin, 1996). Galileo Galilei afirmó que las matemáticas proporcionaban un nivel de certeza equiparable a la palabra de Dios (Galilei & Drake, 1953). Un hito crucial en este proceso fue la publicación de "Principios Matemáticos de Filosofía Natural" en 1684, obra del ilustre Isaac Newton (Newton, 2013). Aunque la matematización de la naturaleza se popularizó a lo largo del siglo XVII, desde la primera década de 1600, el trabajo de Newton fue tan excepcional al combinar fenómenos naturales, pensamiento abstracto y matemáticas, que los filósofos naturales de la época se sumaron rápidamente al ideal de matematizar sus investigaciones. Este enfoque, de hecho, facilita considerablemente la realización de experimentos claros.
(2.2) Las primeras leyes científicas
Las leyes más viejas de hecho hacen referencia a la óptica, por ejemplo la ley de Snell, que paradójicamente fue descubierta independientemente por dos filósofos naturales y ninguno de ellos fue Snell, el primero fue Abu Saʿd al-ʿAlaʾ ibn Sahl 940-1000 matemático, físico, óptico e ingeniero musulmán de origen persa, él fue el primero en describir matemáticamente la forma en que la luz se distorsiona cuando pasa de un tipo de matriz a otro, por ejemplo del aire a un cristal, concepto denominado refracción (Figura 2‑1). Sin embargo, la ley se perdió para occidente hasta que Thomas Harriot loa volvió a derivar 1602, y aun así no la publicó, de lo contrario la llamaríamos ley de Harriot. Posteriormente otros filósofos naturales la derivarían como Descartes, Fermat y el mismo Snell a quien se la adjudicamos por tradición (Mihas, 2008; Zghal, Bouali, Lakhdar, & Hamam, 2015). El punto relevante con la ley de Snell es que es una de las primeras leyes de la naturaleza formulada matemáticamente, a continuación, la presentamos en su notación actual.
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\[ \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{n_1}{n_2} \] |
Eq 2.1. La ley de Snell, también conocida como ley de refracción, describe cómo la luz se refracta al pasar de un medio a otro con diferente índice de refracción. Formulada por Willebrord Snellius en 1621, establece que el seno del ángulo de incidencia de la luz es proporcional al seno del ángulo de refracción, con la constante de proporcionalidad siendo el cociente de los índices de refracción de los dos medios. Esta ley es fundamental en óptica y explica fenómenos como la desviación de la luz al atravesar prismas y la formación de arcoíris debido a la refracción en gotas de agua. |
En la presente fórmula, \(\nu\) denota la rapidez, \(\lambda\) representa la longitud de onda, \(\theta\) describe los ángulos de entrada y salida de la imagen que se pretende identificar, y \(n\) corresponde al coeficiente de refracción. Es plausible que las primeras derivaciones no hayan exhibido la ley en su forma completa. Dos años después de que Harriot discerniera la ley de la refracción, Johannes Kepler, erudito y astrónomo, formuló su primera ley, perfeccionándola hasta 1619 con otras, hoy conocidas como las Leyes de Kepler, que rigen el movimiento planetario. Las formulaciones matemáticas de estas leyes son sumamente complejas y no serán detalladas aquí. Básicamente, indican que el movimiento de los planetas sigue una trayectoria elíptica en lugar de circular, interrogante que intrigó a los filósofos naturales durante décadas (Russell, 1964). Estas leyes, previamente mencionadas, son de carácter empírico o inductivo, derivadas de una extensa colección de datos y, en general, adoptan formas de gran complejidad..
Las leyes subsiguientes que exploraremos son, en su mayoría, expresiones simplificadas que se derivan mediante procesos deductivos, emergiendo del razonamiento lógico. Estas leyes, en términos generales, se manifiestan mediante una forma general que trasciende la complejidad y se destaca por su elegante simplicidad, emanada del ejercicio intelectual.:
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\[ y=k \cdot x + y_o \] |
Eq 2.2. En el modelo lineal, una variable dependiente \(y\) se expresa como el producto de una constante de proporcionalidad \(k\) y una variable independiente \(x\), adicionada a un término de intersección \(b\). En numerosas leyes químicas, el término de intersección tiende a ser nulo, mientras que, en el ámbito de la física, comúnmente representa el valor mínimo de \(y\) o la condición inicial \(y_0\). Este planteamiento matemático, con su rigurosa formulación, subraya la relación precisa entre las variables, revelando la esencia de la dependencia lineal entre los fenómenos estudiados. |
La relación de tendencia lineal entre dos parámetros físicos extensivos mediante una constante de proporcionalidad o propiedad intensiva constituye un pilar fundamental en numerosas leyes científicas destacadas, tales como la ley de Hooke, la ley de Charles o la ley de Avogadro. Actualmente, cualquiera puede proponer tales relaciones mediante la técnica de regresión lineal (Hocking, 1983), utilizando herramientas matemáticas insertadas en hojas de cálculo como Excel o en calculadoras científicas. La primera de estas leyes lineales sencillas es la ley de Hooke, promulgada en 1660. Este enfoque matemático sofisticado, aunque complejo, permite una comprensión más profunda de las relaciones cuantitativas en la ciencia:
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\[ F=k \cdot \Delta r \] |
Eq 2.3. La ley de Hooke constituye un paradigma de las leyes lineales, en la cual la fuerza \(F\) actúa como la variable dependiente en relación con la distancia de extensión o compresión \(x\), siendo influenciada por una constante intrínseca que, a su vez, se encuentra determinada por la estructura (diseño y materiales) específica de un resorte dado. Este enunciado científico subraya la dependencia cuantitativa entre la fuerza aplicada y la deformación elástica, y resalta cómo la característica intrínseca del resorte influye de manera significativa en dicho comportamiento lineal. |
A continuación, sucedió la ley de Boyle en 1662 (Pickover, 2008), distinguida por ser la primera de las leyes químicas, seguida por las célebres leyes de Newton en 1687 (Newton, 2013), marcando el punto en el cual las matemáticas ascendieron a ser el idioma preeminente en la ciencia natural. Newton, de hecho, se vio compelido a inaugurar un campo innovador en matemáticas conocido como cálculo diferencial, que, junto con el cálculo integral de Leibniz, desencadenó una nueva era de desarrollo científico tanto en matemáticas como en ciencias naturales (Bardi, 2009). Este hito propició uno de los objetivos primordiales de las ciencias naturales: la formulación de modelos matemáticos que representan fenómenos simplificados de la naturaleza, a los cuales denominamos las leyes de la naturaleza. Dado que estas leyes vinculan magnitudes físicas, su comprensión requiere mediciones precisas, lo cual a su vez implica el uso riguroso de unidades de medida.
En consecuencia, la experimentación científica, un aspecto a menudo subestimado en la instrucción de Ciencias de la Naturaleza, requiere una base sólida en conocimientos matemáticos. Aunque se considera básica, esta conexión con la matemática no carece de profundidad. El desafío radica en que el plan de estudios de matemáticas no está plenamente alineado con las exigencias de un entorno de laboratorio. Por ende, aquellos que aspiren a participar en experimentación y laboratorios deben poseer al menos un conocimiento matemático mínimo, el cual se detalla en las secciones siguientes.
(3) ¿Qué son las unidades de medición?
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Las unidades de medida constituyen magnitudes definidas mediante la comparación con un patrón establecido y adoptado de manera consensuada por un grupo de individuos. Este patrón, luego, se utiliza como estándar para medir otras magnitudes, expresando la cantidad en términos de cuántas veces se reproduce la unidad patrón. La exploración en las ciencias de la naturaleza se erige fundamentalmente sobre estas unidades de medida. Por ejemplo, en el ámbito químico, las mediciones permiten la comparación de propiedades entre diversas sustancias, posibilitando la validación de cambios resultantes durante el curso de un experimento.(Francis, 1958; Williams, 2003).
Como exploraremos en secciones subsiguientes, las unidades de medida emergen como un elemento crucial no solo para las ciencias de la naturaleza, sino también para el avance de la tecnología humana, remontándose a las primeras civilizaciones. Los patrones de medida, en este contexto, se erigen como instrumentos que reflejan el control y la ideología política sobre una situación específica (Brown & Holme, 2013; Geisler, 2000; Klein, 2012). La acción de medir se convierte en un acto político, y cuando dos sistemas de medición se encuentran, suele desencadenarse el laborioso proceso de conversiones. Aunque lo más lógico sería adoptar un sistema más simple, las arraigadas influencias culturales y políticas a menudo dificultan esta transición (Lee, 1995).
La medición es un elemento de significativa importancia en el ámbito científico, dando lugar a un campo de investigación especializado denominado metrología (Klein, 2012), que no debe ser confundido con la meteorología. Los científicos demandan definiciones precisas de las magnitudes a medir, facilitando así la repetición de experimentos y la obtención de resultados consistentes, aspecto crucial del método científico conocido como repetibilidad. Un sistema estandarizado de medición se presenta como la única vía para llevar a cabo este proceso sin incurrir en los inconvenientes asociados a la conversión de unidades. Actualmente, esta perspectiva es encarnada por el Sistema Internacional de Unidades. No obstante, debido a obstáculos políticos, persiste la necesidad de realizar conversiones hacia otros sistemas, particularmente el Sistema Imperial de Unidades (Hebra, 2003; Pennycuick, 1988).
(3.1) Los sistemas de medición
Con los milenios se han desarrollado múltiples sistemas de medición, que podemos clasificar en dos categorías básicas, los tradicionales y los científicos (Vera, 2015). Los sistemas de medición tradicionales tienen su origen en el comercio y han sido empleados generalmente mediante definiciones de la longitud del cuerpo humano, especialmente empleando el cuerpo de los reyes como unidades patrón. Como consecuencia en cada país y con cada nuevo rey las medidas podían cambiar, lo cual creaba conflictos a la hora de hacer intercambios comerciales. Durante milenios la púnica forma de regular esto era mediante la institución de los Imperios Multiculturales que sometían con puño de hierro a sus colonias a medir e intercambiar todo bajo sus unidades de patrón, pero la estandarización se perdía cuando los imperios se corrompían burocráticamente o eran destruidos (Vera, 2015).
El segundo tipo son los sistemas científicos, que intentan basar sus unidades patrón en fenómenos naturales que sean repetibles por cualquier investigador en cualquier parte del mundo o del universo (Vera, 2015). El primero de estos sistemas fue el sistema métrico decimal francés de 1791 (Moreau, 1953), que era útil, pero que tenía una serie de inconvenientes metodológicos y políticos que mencionaremos más adelante. Por el momento simplemente diremos que, con el desarrollo de las ciencias, los patrones estándar del sistema métrico cambiaron, dando lugar al Sistema Internacional de Unidades (Lee, 1995), que es muy semejante al métrico, pero que intenta basar sus patrones en fenómenos naturales que sea homogéneos en todo el universo.
Sin embargo, debido al peso de la tradición aún se mantienen algunas unidades de medición no estándar, que varían de región en región (De Simone, 1971), o incluso al interior de los campos de investigación científico, como la unidad no estandarizada para la energía desplegada por artefactos explosivos poderosos, el megatón.
(3.2) Unidades como manifestación de una dimensión física
En física existen muchas definiciones para la expresión dimensión, una definición laxa es que una dimensión representa cualquier cantidad física que es medible mediante una comparación con un estándar patrón. Por ejemplo, si tenemos la cantidad física, entonces lo primero que debemos: definir es el patrón, para luego entablar una relación algebraica en la que cualquier medición de del patrón se dará como n veces la cantidad estandarizada o unidad. No obstante, no todas las magnitudes físicas exhiben atributos unitarios, y algunas de ellas no pueden ser completamente caracterizadas únicamente a través de la combinación de signo, valor y unidad.
(3.2.1) Cantidades adimensionales
Una magnitud adimensional representa un valor desprovisto de vinculación a una unidad, fenómeno que emerge por dos razones fundamentales. La primera radica en que puede tratarse de una propiedad intensiva, derivada del cociente entre dos medidas homogéneas, tal como el cociente de dos masas, como en el caso de la fracción de masas (masa de un componente dividida por la masa total), la cual es adimensional.
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\[ w=\frac{m_j}{m} \] |
Eq 3.1. La fracción de masa \(w\) es el cociente de la masa de un componente \(m_j\) sobre la masa total \(m\). |
Otro tipo de adimensionalidad surge de la cuantificación o discretización de valores, como al contar el número de huevos en un sistema dado. Este parámetro se denomina discreto, a saltos, cuantizado, cuántico o discontinuo, ya que en el conteo no existen fracciones de huevos ni decimales. El Sistema Internacional de Unidades aconseja que los parámetros cuantizados o discretos no se describan con unidades. Sin embargo, en muchos textos de química, esta discreción no se sigue, y en su lugar se asocia el nombre de la partícula contada, como átomos, moléculas e iones. Algunos autores sugieren el uso del concepto de unidades elementales para estos parámetros cuantizados. No obstante, hasta la fecha, el Sistema Internacional sigue aconsejando que dichos parámetros sean adimensionales.
(3.2.2) Cantidades escalares
Una magnitud escalar representa un valor numérico sin dirección específica. Esta característica se debe a que las cantidades escalares carecen de componente vectorial, lo que las diferencia de las cantidades vectoriales que poseen tanto magnitud como dirección. Un ejemplo paradigmático de magnitud escalar es la temperatura, donde la simple indicación de "30 grados Celsius" no implica una orientación espacial. En este contexto, las magnitudes escalares pueden ser adimensionales, como en el caso de razones o cocientes numéricos que no están vinculados a unidades específicas. Además, las cantidades escalares no se ven afectadas por operaciones vectoriales, ya que su naturaleza no incluye una orientación intrínseca. Aunque en el ámbito científico se insiste en la necesidad de expresar las magnitudes escalares sin unidades, en algunos contextos de la literatura científica, se observa el uso ocasional de unidades para facilitar la comprensión, a pesar de no ser una práctica recomendada por el Sistema Internacional de Unidades.
(3.2.3) Cantidades vectoriales
Una magnitud vectorial representa una cantidad física que posee tanto magnitud como dirección. A diferencia de las magnitudes escalares, las cantidades vectoriales requieren especificar no solo su valor numérico, sino también la orientación en el espacio. Un ejemplo típico es la velocidad, que no solo indica una cantidad (por ejemplo, "20 metros por segundo") sino también la dirección en la que se mueve, como "20 metros por segundo hacia el norte". La descripción de cantidades vectoriales implica la consideración de sus componentes en términos de coordenadas espaciales. Las operaciones entre cantidades vectoriales, como la suma y resta, se realizan teniendo en cuenta tanto las magnitudes como las direcciones. Además, en el ámbito científico, se enfatiza la representación concisa y precisa de las cantidades vectoriales mediante notación matemática y gráfica, para transmitir de manera efectiva tanto la magnitud como la dirección asociada a la cantidad física.
El cerebro humano opera predominantemente en términos de magnitudes escalares, lo que implica que, naturalmente, comprendemos y procesamos cantidades numéricas sin incorporar automáticamente la información direccional asociada. Para trabajar con conceptos vectoriales, como la velocidad o la fuerza, se emplea un proceso de descomposición en dos componentes: la magnitud y la dirección. La magnitud de un vector se trata esencialmente como un escalar, ya que representa la cantidad numérica sin considerar la dirección específica. Por esta razón, a menudo nos referimos a los escalares simples como "magnitudes". Para representar completamente un vector, se utiliza un enfoque de descomposición en el que la magnitud se considera como un escalar independiente, y la dirección se especifica mediante un ángulo en relación con un punto de referencia establecido.
Esta técnica de descomposición facilita la comprensión y manipulación de cantidades vectoriales al permitir que el cerebro humano procese y conceptualice estas magnitudes de manera más familiar y natural, a pesar de que la realidad subyacente involucra tanto magnitud como dirección.
(3.2.4) El signo
El signo asociado a un escalar puede tener diversas interpretaciones. Normalmente, los escalares, por definición, representan magnitudes positivas. La interpretación del signo negativo puede entenderse como la indicación de que el valor no corresponde a un escalar puro, sino más bien a una diferencia. Por ejemplo, cuando la masa final es menor que la inicial, al calcular la diferencia de masas, el resultado es negativo, lo que implica una pérdida.
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\[ \Delta N = N – N_o\] |
Eq 3.2. La diferencia de número de entidades o resta de número final menos el inicial. Si al final el sistema tiene menos huevos que al principio, la diferencia es negativa, lo cual se representa con el signo (-) asociado al valor. |
Cuando asignamos un signo a la magnitud de un vector, de hecho, estamos señalando la dirección de ese vector en términos de algún eje de coordenadas. Sin embargo, se considera conveniente evitar esta notación debido a que conlleva a errores analíticos. Aunque profundizaremos en este tema en los capítulos posteriores de física, recuerde, las magnitudes son siempre, por definición, cantidades positivas.
(3.3) Tipo de letra
Las cantidades físicas, parámetros o propiedades físicas se representan con letras, al igual que las unidades, aunque su uso difiere significativamente. Dado que ambas utilizan las mismas letras del alfabeto, es conveniente establecer una diferenciación clara.
(a) En procesadores de texto como Word, se puede emplear la cursiva o itálica para los parámetros, por ejemplo, la masa (\(m\)), con el fin de distinguirlos de las unidades, como el metro (m).
(b) En escritura a mano, hay dos opciones que no son mutuamente excluyentes: el uso de colores y la variación en el tamaño/tipo de letra. Los parámetros pueden destacarse mediante el uso de colores, siendo la elección de estos arbitraria. Sin embargo, se aconseja que las unidades sean representadas con letras ligeramente más pequeñas que los símbolos que denotan las cantidades físicas. Esto ayuda a mantener la claridad y evita confusiones visuales entre los parámetros y las unidades..
(3.4) La pareja unidad y valor
Algebraicamente, la relación entre el valor y la unidad se expresa mediante una multiplicación algebraica, en la cual se prescinde de la necesidad de incluir un símbolo explícito de multiplicación, abordándolo como un único término. Es crucial establecer una distinción conceptual entre las unidades y los estándares patrones. La unidad representa una definición fija y abstracta derivada del patrón, siendo independiente de condiciones físicas como la presión o la temperatura. En contraste, el patrón estándar constituye la manifestación física real de dicha unidad y, a diferencia de la unidad abstracta, puede verse afectado por variables físicas reales. A modo de ejemplo, la definición original del metro se fundamentaba en una barra de metal que debía mantenerse a una temperatura estandarizada para preservar su longitud invariable.
(3.5) Análisis dimensional
En un sentido más riguroso, al referirnos a la capacidad analítica en las ciencias naturales, no nos limitamos simplemente a cualquier matemática, sino que nos adentramos en generalizaciones fundamentadas en el álgebra. Las unidades deben ser tratadas como variables algebraicas, adicionándose como si fueran cualquier otro término. Cuando dos unidades se multiplican o dividen, el resultado puede ser otra unidad, denominada unidad derivada. Estas unidades derivadas pueden expresarse en términos de las unidades que las componen, como es el caso del newton (N), que se define como el producto de la masa (kg) por la aceleración (m/s²).
En ciertas operaciones o aplicaciones específicas, las unidades derivadas pueden representarse mediante símbolos únicos. Por ejemplo, en el caso de la fuerza, se utiliza el newton, y para el trabajo, podemos emplear newton por metro o simplemente julio. Es importante destacar que los símbolos para las unidades derivadas son arbitrarios y se definen mediante acuerdos de comités especializados. Como resultado, algunas unidades derivadas importantes, como velocidad o aceleración, no tienen símbolos únicos acordados. Sin embargo, fuerza se representa con el newton y energía con el julio.
Figura 3.5. Igualdades de unidades derivadas para fuerza y energía/trabajo mecánico.
Debido a que un parámetro físico está vinculado a unidades específicas, una tarea fundamental en ejercicios teóricos es evaluar que las unidades de la solución sean coherentes. Por ejemplo, la fuerza debe expresarse en unidades de masa por aceleración, como kg m/s². Si el resultado se presenta en kg m/s, indicaría un error analítico-algebraico, comprometiendo la validez del proceso aritmético subsiguiente. Se recomienda realizar un análisis dimensional antes que operaciones aritméticas, ya que es más eficiente y contribuye a detectar errores analíticos previos a la ejecución de las operaciones. Este proceso de verificación de la concordancia entre las unidades y el parámetro físico se conoce como análisis dimensional.
(3.6) Dilemas reales de no saber emplear las unidades de medición
La importancia de las conversiones de unidades va más allá de la investigación científica en el laboratorio; su aplicación se extiende a diversos contextos, incluyendo transacciones comerciales internacionales y, especialmente, a la ingeniería y tareas técnicas que involucran maquinaria costosa.
En el ámbito de la ingeniería, las consecuencias de errores en las conversiones de unidades pueden ser catastróficas, como ilustran incidentes en la exploración espacial. Un ejemplo notable es la falla de un satélite climático de observación climática enviado a Marte por la NASA en septiembre de 1999. El satélite, que tenía como objetivo ingresar a una órbita, se estrelló debido a discrepancias en los valores de fuerza empleados por las aplicaciones del software de control. Estos valores se expresaban en diferentes sistemas de unidades, específicamente el Sistema Internacional y el Sistema Imperial (Stephenson et al., 1999).
En otro incidente en el mismo año, un avión de carga se estrelló debido a la emisión de valores en el Sistema Internacional de unidades por parte de la torre de control, mientras que el altímetro del avión estaba calibrado con el Sistema Imperial de unidades (Qing, 2013).
Un caso adicional ocurrió en 1983 cuando un Boeing 767 se quedó sin combustible en medio del vuelo debido a errores asociados con la tanqueada de combustible, una vez más debido a confusiones entre el Sistema Internacional de unidades y el Sistema Imperial de unidades (Witkin, 1983).
Estos incidentes subrayan la crítica importancia de un manejo preciso y consistente de las unidades en entornos técnicos y de ingeniería, donde la falta de coherencia puede tener consecuencias graves. La estandarización y la conciencia de las conversiones de unidades son esenciales para prevenir situaciones potencialmente peligrosas.
(3.7) Símbolos asociados
Además de los símbolos de unidad, una cantidad puede estar asociada con símbolos que facilitan su interpretación, como la vectorialidad, el estado del sistema o la identidad del objeto medido, entre otros. Estos símbolos, ya sea que estén asociados a la magnitud o presentes como subíndices, son fundamentales para indicar diversas situaciones. Entre los símbolos más comunes se encuentran:
(a) Delta mayúscula \( \Delta \): Este símbolo indica que la magnitud resalta una diferencia entre un parámetro final, considerado positivo, y un parámetro inicial, considerado negativo. Según la definición de la diferencia, el parámetro inicial siempre es negativo. Por ejemplo, en la diferencia de tiempo \(\Delta t\), se expresa la resta entre el tiempo final y el tiempo inicial \( t – t_o\). Este símbolo es crucial para representar cambios o variaciones en una magnitud a lo largo del tiempo o en un proceso determinado.
(b) Delta minúscula \( \delta \): Este símbolo, análogo al anterior, se utiliza para denotar una diferencia infinitamente pequeña, también conocida como infinitesimal. Cuando surgen restas infinitesimales, es indicativo de que las técnicas convencionales de aritmética y álgebra fallarán, y nos enfrentamos a situaciones que conducen a paradojas filosóficas, como el conocido caso de Aquiles vs. la Tortuga. La presencia de \( \delta \) es esencial en contextos donde se abordan conceptos asociados con el cálculo diferencial y el análisis matemático. Su introducción permite tratar fenómenos continuos y cambios instantáneos en magnitudes, llevando a la formulación de teorías y principios fundamentales en la física y las ciencias matemáticas.
(c) Estado inicial: Al medir un parámetro al inicio de un proceso físico-químico, lo designamos como estado inicial. Generalmente, este estado se representa con subíndices, los cuales pueden variar desde el numeral (1) hasta símbolos alfabéticos como (i) para inicial. No obstante, el más utilizado es (o) minúscula, que se interpreta como estado inicial o estado cero. Por ejemplo, en el tiempo inicial \(t_o\) o en la masa inicial \(m_o\).
(d) Estado final: En ciertos contextos, los parámetros finales se simbolizan con subíndices numerales como (2) o alfabéticos como (f) para indicar "final". No obstante, la convención común es prescindir de tales marcas, permitiendo que \(t\) se interprete como tiempo final y \(m\) como masa final. Esta notación contribuye a simplificar la cantidad de símbolos en una ecuación, logrando una representación más elegante. Es importante recordar que, en álgebra, la máxima elegancia se logra mediante una organización simbólica óptima, utilizando el mínimo necesario de símbolos.
(e) Identidad: Identidad: La identidad del objeto al cual se mide un parámetro es fundamental en su representación. En química, es común asociar la identidad a la unidad, como en "40 g CO2". No obstante, la práctica formal consiste en vincular la identidad directamente al parámetro, por ejemplo, expresando la masa de CO2 como \( m(\textrm{CO}_2)=40 \ \textrm{g} \). Es relevante destacar que la identidad puede representarse entre paréntesis grandes, como se mostró anteriormente, o como subíndice, por ejemplo, \( m_{\textrm{CO}_2} =40 \ \textrm{g} \), permitiendo ambas notaciones.
Cuando la identidad del objeto medido no se conoce, se pueden utilizar símbolos arbitrarios. Estos símbolos deben definirse previamente a su aplicación, siendo comunes (j), (i), o incluso (T) para totales, entre otros. Así, la masa de un objeto desconocido se puede representar como \(m_i\), sugiriendo también la interpretación de la masa de una parte (\(i\)) respecto al total de masa \(m_T\). En este curso, representaremos los totales sin subíndices, con el propósito de reducir el número de símbolos y facilitar la comprensión de las ecuaciones.
(d) Estado de referencia: El estado de referencia (superíndice o) se considera como el estándar y se asemeja a un estado inicial, pero con la particularidad de ser constante. En química, los parámetros estándar generalmente se interpretan como medidas realizadas para una mol de sustancia, tomando la mol como el estándar \(E^o\). Por ejemplo, la energía estándar indica la energía absorbida o liberada por un cambio que involucra una mol de sustancia. Esta notación y concepto de estado de referencia proporciona un marco de referencia constante para la medición y comparación de diferentes magnitudes en reacciones químicas, facilitando la interpretación de los cambios y asegurando consistencia en las evaluaciones.
(e) Tiempo continuo y otras variables: Un parámetro dado puede estar simultáneamente sujeto a otras variables como el tiempo continuo, la temperatura o múltiples identidades. Cuando esto ocurre, se indica entre paréntesis. Es esencial recordar que las identidades múltiples deben definirse de manera explícita. Por ejemplo, cuando expresamos que la masa de una sustancia \(i\) depende tanto de la temperatura como del tiempo, se representa como \(m_i(t, T)\).
Los parámetros con identidades múltiples incluyen, por ejemplo, los cocientes, como el ratio de masas entre dos sustancias. En este caso, la masa \(i\) multiplica y la masa \(ii\) divide. Podemos expresar este ratio mediante un símbolo, y entre paréntesis, indicar la identidad del que multiplica, seguido por una coma y la identidad del que divide. De esta manera, el ratio se expresa como \(w(i, ii) = \frac{m_i}{m_{ii}}\).
La inclusión de estas variables adicionales en la notación es crucial para describir de manera precisa y completa cómo un parámetro dado puede variar en función de diferentes factores, proporcionando una representación más detallada y comprensible de las relaciones dentro del sistema.
(f) Vectorialidad: La vectorialidad implica que un parámetro posee magnitud y dirección, y se representa utilizando negrita con una flecha superior. En situaciones donde no se puede escribir la flecha, se utiliza simplemente la negrita para indicar que se trata de un vector y distinguirlo de su magnitud. Al descomponer simbólicamente el vector, se abren un par de llaves, dentro de las cuales se coloca la magnitud del vector escrita como un símbolo escalar en cursivas, seguido por un punto y coma, y luego el ángulo asociado. Aunque no es común, es importante indicar con un subíndice que el ángulo asociado está relacionado con el escalar, y que el vector está compuesto tanto por la magnitud como por el escalar. Por ejemplo, el vector velocidad se compone de su rapidez (que es su magnitud) y su dirección, y se expresa como \(\vec{\textbf{v}}= \left \{ v ; \ \theta_v \right \}\).
(4) Historia de la medición
Inicio: ⟨Cursos⟩: ⟨Física⟩: {Preliminares}: [El informe de laboratorio] [Unidades y medidas]: (1 Introducción) (2 La medición y el método científico) (3 ¿Qué son las unidades de medición?) (4 Historia de la medición) (5 Sistema métrico decimal) (6 Viejo sistema internacional de unidades) (7 Unidades fundamentales) (8 El nuevo sistema internacional, 2019) (9 Unidades derivadas) (10 Prefijos decimales y notación exponencial) (11 Lenguaje del sistema internacional de unidades) (12 El sistema imperial Británico) (13 Cifras significativas) (14 Operaciones con cifras significativas) (15 Notación científica) (16 Conversiones de unidades) (17 La regla de tres analítica) (18 Análisis dimensional) (Referencias bibliográficas)
A medida que la civilización humana ha evolucionado hacia una mayor complejidad, la necesidad de contar con sistemas de medición más avanzados también ha crecido (Klein, 2012). Estos sistemas son esenciales para diversas tareas, como la adecuada construcción de asentamientos, la fabricación precisa de ropa, la distribución eficiente de alimentos, el cumplimiento de tributos religiosos o fiscales, la asignación equitativa de recompensas y la planificación de eventos futuros.
A lo largo de la historia, las unidades de medición han adoptado diversas formas, desde simples expectativas en transacciones comerciales respaldadas por instrumentos como la balanza, hasta complejos sistemas supranacionales que integran y estandarizan las mediciones en extensas regiones del mundo durante largos periodos históricos. Las mediciones de las sociedades antiguas pueden inferirse con una aproximación fiable a través de muestras arqueológicas almacenadas en museos. La comparación de las dimensiones de los monumentos dejados por civilizaciones pasadas con las descripciones de escritores o arquitectos antiguos proporciona un método para determinar las magnitudes de los sistemas de medición de épocas antiguas, especialmente en civilizaciones más avanzadas que construyeron monumentos duraderos acompañados de textos arquitectónicos (Mari, 2003).
Un ejemplo ilustrativo es la comparación entre las medidas remanentes del Partenón griego y la descripción de Plutarco sobre esa misma estructura, lo que ha permitido a los científicos obtener una aproximación prácticamente precisa de la unidad de medida utilizada por los antiguos atenienses: el pie ático (Levy, 2011). La tendencia observada en los sistemas de medición de la antigüedad indica que la estandarización de un sistema formal de medidas está directamente relacionada con el grado de desarrollo de una civilización. En general, las civilizaciones más avanzadas desde el punto de vista técnico y comercial tienden a emplear sistemas de medición más estandarizados, los cuales están regulados por un gobierno centralizado y una burocracia efectiva y eficiente. Varios sistemas de medición antiguos demostraron un cierto grado de estabilidad a lo largo de extensos periodos históricos, como el sistema babilónico, el sistema egipcio, el sistema helenístico/fileteriano, el sistema olímpico, el sistema imperial británico y el sistema métrico francés (Klein, 2012).
(4.1) Características de los sistemas de medición antiguos
Todos los sistemas de medición antiguos exhiben una estrecha conexión con la cultura, el imperio o el gobernante predominante de la época. La influencia de estos sistemas es directamente proporcional al prestigio y poder cultural, siendo los más conocidos aquellos asociados a los grandes imperios históricos. En la actualidad, tenemos la capacidad de expresar los valores de estos sistemas en términos de nuestras propias unidades de medición, mientras que los sistemas utilizados durante periodos oscuros, como la Alta Edad Media, son desconocidos, especialmente debido a su limitada extensión que a menudo se limitaba a la región de un solo pueblo.
La estandarización de los sistemas de medición se llevaba a cabo a partir de dos fuentes principales: los astros y el arbitrio de los gobernantes. La medida del tiempo, por ejemplo, se definía en función de la duración del día en el equinoccio, y en consecuencia, esta definición ha permanecido relativamente constante a lo largo del tiempo, al igual que la medición de los ángulos hasta la actualidad (Vodolazhskaya, Usachuk y Nevsky, 2015).
La medición de distancias se caracteriza por su conexión con las dimensiones corporales de los gobernantes de la época para magnitudes intermedias, como las que abarca nuestro metro. Para distancias más cortas, expresadas en centímetros y milímetros, o para distancias más largas, medidas en kilómetros, se empleaban unidades relativamente independientes. En otras palabras, las unidades de medida para distancias cortas, intermedias y largas se definían de manera arbitraria, y su valor podía cambiar mediante edictos del gobernante vigente (Myller, 2009). En el caso de las unidades de volumen, se utilizaban semillas o agua como estándares (Zhengzhang, 1991). Sin embargo, debido a que las semillas podían variar según la calidad de la cosecha y la relación volumen-masa del agua depende de la temperatura, se observan variaciones en las definiciones de volumen de un lugar a otro.
(4.2) Los más antiguos conocidos
Los primeros sistemas de medición parecen estar vinculados con los sistemas iniciales de escritura, lo cual tiene sentido si consideramos que la escritura surgió para documentar información agrícola, siendo los primeros textos datos sobre cantidades de grano y alabanzas a los dioses por ello (Rao, 1997). Este periodo abarca aproximadamente de 6000 a 5000 años atrás, coincidiendo con civilizaciones que desarrollaron los primeros sistemas de escritura, como Mesopotamia, Egipto y el Valle del Indo.
La estandarización de las unidades era problemática en aquel entonces. De hecho, los nombres de las unidades en los sistemas egipcio, babilónico y hebreo están relacionados con partes del cuerpo humano, especialmente las unidades de distancia. Desde la antigüedad, las unidades de distancia se han basado en medidas como el dedo, la mano, el pie, el codo y el brazo. Las unidades de tiempo se estandarizaban en función de los períodos del día solar, especialmente durante los equinoccios. Los volúmenes se definían según la cantidad de semillas almacenadas en algún contenedor estandarizado o en base al contenido de semillas que podían ser almacenadas allí. Así, el volumen de la semilla misma se convertía en una unidad estándar para la medición de volumen.
Sin embargo, es importante señalar que, en muchos casos, cada unidad de medida ha experimentado una evolución diferente. Por ejemplo, el sistema de medición del tiempo ha permanecido fundamentalmente constante desde la época babilónica, mientras que las unidades de distancia han experimentado cambios significativos, influenciadas por los acontecimientos históricos y políticos.
(4.3) Unidades de distancia
Las unidades de distancia más antiguas documentadas son el cúbito egipcio, el cúbito mesopotámico y el arco indico. Comúnmente conocido como el codo, el cúbito se define como la distancia desde el codo humano hasta el dedo índice (Smith, 2013), sirviendo como base para definir la palma y el dígito con variaciones menores. El sistema imperial británico hereda estas unidades a través de complejas relaciones históricas, incluyendo la pulgada, el pie y la yarda. Aunque aún no se comprenden completamente, estas relaciones históricas han influido en las unidades utilizadas en la actualidad en el sistema imperial británico.
Los griegos y persas empleaban unidades de distancia más extensas, como la parasanga, que, según Herodoto, equivalía a 600 estadios, y cada estadio estaba representado por 600 pies o aproximadamente 185 metros actuales (Geus, 2014). Los romanos introdujeron otra unidad de medida larga de distancia, la milla o mille passus, haciendo referencia directa a su equivalencia como 1000 pasos (Smith, 2016), lo que equivale a unos 5000 pies (Nawrocki, 2015; Stone, 2014). La milla fue adoptada en Inglaterra durante el apogeo imperial romano y persistió en la isla tras la retirada romana. En el reinado de la reina Isabel I, la milla fue redefinida a unos 5280 pies (Stone, 2014).
Sin embargo, tras la caída del Imperio Romano, era común que la jurisdicción de un sistema de medidas se limitara a la autoridad militar del señor feudal local, a menudo abarcando solo el mercado local del burgo. Durante la Alta Edad Media, la movilidad y el comercio eran limitados. Con la complejización de las sociedades, la evolución de los sistemas de medición resurgió. La imposición de estándares por parte del gobernante de turno fue la solución, extendiendo sus medidas a las áreas conquistadas, estandarizándolas según las dimensiones de la nobleza local (Velkar, 2012). Cada nuevo monarca podía cambiar los estándares de medición según su voluntad (Connor, Simpson, & Morrison-Low, 2004; Prior, 1924; Zupko, 1978).
En 1305, el monarca inglés decretó que la yarda sería la unidad de distancia en su país, definiéndola como la longitud desde la punta de su nariz hasta la punta de sus dedos con el brazo completamente extendido (Roth, 2011). De manera análoga, la unidad de medida "pie" fue adoptada a partir de las dimensiones reales de los pies del rey Luis XIV de Francia (Tsipenyuk, 2009). Sin embargo, ninguna de estas unidades perduró en el tiempo, ya que cada nuevo monarca en el trono introducía cambios en las medidas, generando falta de continuidad en los estándares (Prior, 1924).
A finales de la Edad Media, surgieron los filósofos naturales como una nueva influencia intelectual entre la nobleza. John Wilkins, en 1668, fue uno de los primeros en abogar por un Sistema Universal de Medición (Shapiro, 1969; Wilkins, 1974). Otros, como Tito Livio Burattini, propusieron unidades, como el "metro católico," basadas en fenómenos naturales, desvinculándolas de las dimensiones reales de los gobernantes (Agnoli & D’Agostini, 2004). Estos pensadores abogaron por establecer medidas, ya sean largas o cortas, basándose en un patrón inicial, modificándolas mediante ajustes decimales o duodecimales (Cheng, n.d.).
La unidad de distancia propuesta por Wilkins era la del péndulo de segundos, es decir, un péndulo empleado para medir los segundos en un reloj de engrane. Dichos péndulos habían sido introducidos recientemente por Christiann Huygens, y de hecho su magnitud es semejante al del metro francés y metro moderno. El problema radicaba en que la magnitud del segundo variaba de lugar en lugar y por consiguiente la longitud del péndulo también tenía leves pero importantes diferencias (Hénin, 2012; O’Connor & Robertson, 1997). El llamado para el desarrollo de un sistema de medidas independiente de la voluntad de los reyes no se completaría sino hasta la revolución francesa.
(4.4) Unidades de masa
El grano, una antigua medida de masa, inicialmente asociado con semillas, se convirtió en un estándar valuativo para metales preciosos (Zhengzhang, 1991). A medida que evolucionó, los metales mismos, como minas, shekels y el prestigioso talento, se volvieron unidades de medida, especialmente el talento de oro (Mundell, 2002). Estas magnitudes variaban geográfica y temporalmente; en Babilonia, por ejemplo, 60 shekels equivalían a 60 minas, y 60 minas a un talento (Janowski & Balewski, 2014). Este sistema, análogo al de medición del tiempo y ángulos, evidencia la interconexión de los desarrollos babilónicos en estas áreas (Fatoohi & Stephenson, 1997; Olson, Zenigami, & Okazaki, 2008; Stephenson & Fatoohi, 1994).
Los romanos integraron medidas orientales en su sistema, donde el talento romano equivalía a 100 libras romanas, siendo la libra una unidad más pequeña que una mina pero de dimensiones comparables (West, 1941). La inconstancia de las masas de semillas llevó a la búsqueda de otros estándares, y el agua emergió como alternativa. Al igual que con las medidas de distancia, la caída del Imperio Romano fragmentó las unidades de masa. No fue hasta la Revolución Francesa que se logró un sistema estandarizado, marcando un hito en la evolución de las mediciones ponderales (Smith, 2013).
(4.5) Primeras propuestas de un sistema universal
El sistema métrico decimal, fundamentado en la base numérica 10, constituye una notación simbólica de medida intrínsecamente ligada al desarrollo cultural.
Este sistema hacía uso de símbolos independientes de las letras para la representación de textos, donde las magnitudes numéricas se expresaban mediante ideogramas distintos. Su origen se remonta a la India, según lo documentado por Burnett en 2006. Los símbolos asociados eran los siguientes: 0 para denotar la ausencia de valor, seguido en secuencia por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Notablemente, el diez no era representado por un símbolo independiente; en cambio, se empleaba la combinación de 1 y 0, formando así el 10. Del mismo modo, el cien se representaba mediante la combinación de tres símbolos 100, y así sucesivamente.
Aunque pueda parecer trivial cuando se enseña en los primeros niveles de educación primaria, para la época en la que surgió, este sistema representó una significativa revolución tanto en el ámbito científico como mercantil, como señalan Smith y Karpinski en 2013. En ese contexto, es relevante destacar que, durante ese período, los árabes islámicos alcanzaron su apogeo, y coincidentemente, introdujeron las cifras indicas en Europa. Este traslado incluyó el desarrollo de técnicas de cálculo comercial. En Europa, estos símbolos adquirieron la denominación de numerales arábigos, nombre que aún perdura en la actualidad.
Este sistema demostró ser altamente eficaz para la realización de cálculos comerciales, evidenciando una ventaja específica en la rapidez respecto al cálculo mediante ábaco. No obstante, su verdadero valor radicó en la capacidad para llevar a cabo cálculos más precisos, especialmente debido a la posibilidad de subdividir las unidades mediante la utilización de comas o puntos. De esta manera, fracciones como la mitad de una unidad se representaban como 0.5, la cuarta parte como 0.25, y así sucesivamente. Estas décimas resultaron críticas para los comerciantes, facilitando la establecimiento de acuerdos contractuales más precisos. Aunque algunos individuos no alfabetizados desconfiaban de aquellos que realizaban estos cálculos en bancos, utilizando un sistema que resultaba incomprensible para muchos, esta desconfianza originó la denominación de "cifras" para los numerales índicos, como se señala en el estudio de Murphy y Jones en 2005.
En cualquier caso, aquellos individuos que se encontraban involucrados en la realización de estos cálculos, mientras ocupaban posiciones en bancos, experimentaron un rápido acúmulo de poder y prestigio. La sanción contra la tramposa manipulación de tales transacciones era severa; el gobernante local intervenía, fracturaba la banca utilizada para los cálculos (según la investigación de Murphy y Jones en 2005) y llevaba al infractor ante la justicia, simbolizada a menudo por la horca. Esta medida drástica resaltaba la lección universal de no interferir con el patrimonio financiero de otro individuo. La expresión "banca" para referirse a las instituciones financieras tiene su origen en la realización literal de negocios en una estructura bancaria. Además, la noción de "banca rota" se derivaba literalmente de la destrucción de la mesa o banca utilizada para realizar los cálculos, como detallan Murphy y Jones en 2005.
En el contexto europeo, en el año 1202, Fibonacci desempeñó un papel fundamental al introducir los numerales con base decimal a los demás filósofos naturales de la región. Posteriormente, en 1586, Simon Stevin publicó "la décima", considerada por algunos autores como la primera exposición sobre las fracciones decimales. Este enfoque implicaba una modalidad distinta de definir los valores decimales, tratándolos como números fraccionarios; por ejemplo, una décima se representaba como 1/10, y una centésima como 1/100, según indican Sanford (1921), J. A. Smith (2008), y Struik (1959).
Este sistema demostró ser especialmente útil para aplicaciones fiscales, como la recaudación de impuestos o dividendos en transacciones comerciales. Simon Stevin anticipó que un sistema de medidas comerciales basado en una diferenciación decimal sería, inevitablemente, una cuestión de tiempo. En 1643, John Wilkins propuso que la base para dicho sistema decimal debería ser el péndulo para medir segundos, aunque en ese momento, la definición precisa del segundo aún no estaba completamente establecida.
En 1670, Gabriel Mouton propuso una definición de la unidad de distancia basada en el ángulo de la propia Tierra. La unidad base propuesta por Mouton fue la "milliare", una medida de longitud definida como la distancia en el meridiano entre dos líneas que se proyectan hasta el centro del planeta, formando así un arco-minuto. La milliare se dividía en 10 centurias, cada centuria a su vez se dividía en 10 decurias, y así sucesivamente, hasta llegar a 1 centésima dividida en 10 milésimas. Es importante destacar que, según nuestros estándares actuales, la "vírgula" propuesta por Mouton mediría 1.852 centímetros (Vervoort, 1973). Este planteamiento refleja un intento temprano de vincular la unidad de distancia con aspectos geodésicos fundamentales.
(4.6) Comerciantes y filósofos naturales
Durante el siglo XVIII, las naciones estado aliadas en bloques durante conflictos bélicos establecieron estrechas relaciones comerciales y científicas. Este entrelazamiento llevó a que tanto comerciantes como filósofos naturales instaran a sus respectivos gobiernos a la universalización del sistema de medición, un logro que, no obstante, se materializó únicamente entre los aliados. Se observaron alineaciones notables, como la colaboración entre españoles y franceses, así como entre ingleses y rusos, según documentan Jackson (1882) y Loidi J. N. & Saenz P. M. (2006). Sin embargo, es relevante destacar que el proceso de estandarización no fue exento de imperfecciones.
En 1783, James Watt expresó su inconformidad ante las dificultades experimentadas al intentar comunicar sus descubrimientos sobre la energía a otros filósofos naturales germánicos. Propugnó la instauración de un sistema universal, similar al propuesto por Wilkins, fundamentado en una modificación decimal tanto para medidas cortas como largas (Carnegie, 2005). Posteriormente, en 1788, el filósofo natural Antoine Lavoisier encargó la construcción de cilindros de estaño, conocidos como la libra francesa (Tavernor, 2007). A pesar de estos esfuerzos, la persistente resistencia de los monarcas a renunciar a ser la medida de todas las cosas obstaculizaba la implementación de un sistema universal. La única solución aparente fue la ejecución de los monarcas, un evento que finalmente tuvo lugar.
(5) Sistema métrico decimal
Inicio: ⟨Cursos⟩: ⟨Física⟩: {Preliminares}: [El informe de laboratorio] [Unidades y medidas]: (1 Introducción) (2 La medición y el método científico) (3 ¿Qué son las unidades de medición?) (4 Historia de la medición) (5 Sistema métrico decimal) (6 Viejo sistema internacional de unidades) (7 Unidades fundamentales) (8 El nuevo sistema internacional, 2019) (9 Unidades derivadas) (10 Prefijos decimales y notación exponencial) (11 Lenguaje del sistema internacional de unidades) (12 El sistema imperial Británico) (13 Cifras significativas) (14 Operaciones con cifras significativas) (15 Notación científica) (16 Conversiones de unidades) (17 La regla de tres analítica) (18 Análisis dimensional) (Referencias bibliográficas)
Históricamente, todas las unidades de medición se caracterizan por su atomización durante la Edad Media. Se observa una creciente necesidad, especialmente entre los filósofos naturales, de establecer un sistema universal que, al igual que el latín, facilite una comunicación efectiva entre ellos. La comunicación eficaz se presenta como un elemento clave para cualquier desarrollo científico. Según Kuhn (1970), el establecimiento de un lenguaje especializado unificado constituye un prerrequisito fundamental para el progreso científico. En este contexto, con la llegada de la física newtoniana y su enfoque matemático, los filósofos naturales se enfrentaron a una creciente presión. Sin un sistema de medidas efectivo, la aplicación eficaz del sistema científico newtoniano, especialmente en el ámbito experimental, resultaría comprometida..
(5.1) Los principios del sistema métrico
La primera implementación tangible de un sistema universal de unidades tuvo lugar en el siglo XVIII, llevada a cabo por el gobierno revolucionario francés. Este sistema se fundamentó en una serie de premisas que evolucionaron a lo largo de la Edad Media y los primeros años del Renacimiento. Estos principios, en última instancia, contribuyeron a dar forma al sistema contemporáneo de medición.
Este sistema adopta una estructura decimal, donde los nombres de las medidas base, cortas y largas son esencialmente idénticos, diferenciándose mediante prefijos que indican la reducción o ampliación de la medida base en potencias de 10. Por ejemplo, el decímetro representa la décima parte de un metro, mientras que el decámetro refleja una magnitud diez veces mayor que la medida estándar de un metro. La definición de las unidades base se destaca por su independencia de los caprichos gubernamentales, debiendo derivarse de fenómenos naturales no arbitrarios. Este principio, fundamental desde su instauración, aún genera desafíos para los científicos dedicados al estudio de la medición en la actualidad (Kindleberger, 1983).
(5.2) El sistema métrico como una manifestación política
En 1789, las finanzas del Reino de Francia estaban en un estado precario, evidenciando un marcado descontento socioeconómico. La reina María Antonieta y el rey de Francia parecían ignorar la situación, mientras los nobles, exentos de impuestos, disfrutaban de lujos en Versalles. Simultáneamente, el resto de Francia enfrentaba hambruna debido a un invierno riguroso y conflictos internos con otros reinos, alimentando la insatisfacción popular hacia la monarquía y la nobleza (Linton, 2016; Outram & Schiebinger, 1991; Rudé, 1959). En la segunda mitad del año, el pueblo, hastiado de sus gobernantes nobles, se alineó con los burgueses, educados y prósperos comerciantes excluidos de las decisiones estatales (Barber, 2015). Este descontento catalizó la Revolución Francesa, resultando en la caída de la monarquía, la ejecución de reyes y nobles, y la instauración de un gobierno republicano en Francia..
Uno de los primeros acontecimientos fue la supervisión de la Academia de las Ciencias de Francia por un comité encargado de investigar la reforma del sistema de medición francés. Este sistema heredó diversas unidades de medida tradicionales de la Edad Media, las cuales, al requerir conversiones aritméticas, se convirtieron en un foco de corrupción burocrática y generaron descontento entre los burgueses comerciantes (Alder, 2003).
En este contexto, destaca la figura prominente de Charles Maurice de Talleyrand-Périgord (Julien, 2015), un polifacético individuo del Renacimiento que desempeñó roles como político, diplomático, militar, teólogo y matemático, entre otras habilidades. Además de su papel como obispo de la Iglesia Católica, también actuó como representante eclesiástico ante la corona, aunque posteriormente abandonó sus votos religiosos. Talleyrand recibió dos títulos nobiliarios de príncipe: primero como príncipe de Bénévent y luego como príncipe de Talleyrand. Su genialidad le permitió mantener su posición intacta a lo largo de tumultuosos cambios de regímenes, incluyendo el reinado de Luis XVI, la República Revolucionaria, el Imperio Napoleónico y la restauración de la monarquía.
En el año subsiguiente a la Revolución Francesa, en 1790, Talleyrand emergió como una figura política relevante en Francia. A pesar de las incertidumbres de la época, su posición destacada se sostuvo sin represalias significativas. En ese periodo, estableció conexiones diplomáticas entre el secretario de la Academia de Ciencias, Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marqués de Condorcet, y los gobiernos del Imperio Británico y de los Estados Unidos de América. El objetivo de esta iniciativa era la instauración de un sistema universal de medición basado en el péndulo para la medición de segundos, que, aunque no exento de imperfecciones, proporcionaba medidas notables para la tecnología de la época (Clements & Ellerton, 2015; Hellman, 1931; Maestro, 1980; Ten, 1989; J. H. Williams, 2014).
El Marqués de Condorcet demostró un compromiso firme hacia la idea de un sistema de medidas unificado, cuyas palabras resuenan hasta hoy como el principio esencial del sistema internacional de medición: "El sistema métrico es para todas las personas, de todos los tiempos". Actualmente, podríamos ampliar esta perspectiva al afirmar que este sistema es aplicable a todas las personas en cualquier rincón del universo (Clements & Ellerton, 2015; Hellman, 1931; Maestro, 1980; Ten, 1989; J. H. Williams, 2014).
La visión de Condorcet abogaba por un enfoque universal, reflejando la aspiración de un sistema de medición que trascienda fronteras y se adapte a la diversidad temporal y espacial de la humanidad. Este principio ha influido de manera significativa en el desarrollo y la aceptación del sistema métrico internacional, que ha perdurado como un estándar global en la medición de magnitudes físicas. La idea de su aplicabilidad en cualquier lugar del universo refleja la aspiración contemporánea hacia normas de medición que puedan trascender incluso las limitaciones terrestres, resonando con los avances científicos y tecnológicos que buscan comprender y explorar el cosmos.
En un principio, los representantes designados por cada nación, John Riggs Miller y Thomas Jefferson, inicialmente aceptaron la idea de definir el péndulo como base para un sistema universal de medición. Sin embargo, se presentó un desafío fundamental relacionado con la elección de la latitud sobre la cual establecer el péndulo. La gravedad ejerce influencia sobre el péndulo de manera variable según la latitud, generando diferencias menores que afectarían las longitudes resultantes. Cada representante propuso latitudes que reflejaban el orgullo nacional de su respectivo país, lo que condujo a un estancamiento en las negociaciones debido a rivalidades políticas (Clements & Ellerton, 2015; Hellman, 1931; Maestro, 1980; Ten, 1989; J. H. Williams, 2014).
La variabilidad de la gravedad en función de la latitud planteó un dilema significativo para la implementación de un sistema universal de medición basado en el péndulo. La resistencia a ceder en la elección de la latitud indicó cómo las rivalidades políticas y el orgullo nacional podían superar los intereses científicos y la colaboración internacional. Este obstáculo refleja la complejidad de alcanzar acuerdos en la estandarización de medidas a nivel global, incluso cuando los beneficios científicos y prácticos eran evidentes.
(5.3) Comisión para el sistema universal
El gobierno revolucionario marcó el inicio del desarrollo del sistema universal de medidas, a pesar de su aceptación no global. Comisionó a destacados científicos de la época, algunos de origen noble, quienes, aparentemente, evitaron la pérdida de sus cabezas debido a su utilidad. Entre ellos se encuentran:
(a) Jean-Charles, Caballero de Borda, distinguido por sus contribuciones en matemáticas, física, política y marina.
(b) Joseph-Louis Lagrange, destacado matemático y renombrado astrónomo, conocido por establecer los puntos de Lagrange, áreas óptimas para la colocación de satélites y colonias espaciales con mínimo gasto de energía.
(c) Pierre-Simon, Marqués de Laplace, destacado en matemáticas, estadísticas, física y astronomía.
(d) Gaspard Monge, Comte de Péluse, destacado matemático y geógrafo.
(e) Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, Marqués de Condorcet, cuyas contribuciones ya han sido abordadas (Williams, 2014).
Este grupo de científicos, con su variada gama de habilidades, desempeñó un papel esencial en el establecimiento y desarrollo del sistema métrico, dejando un legado duradero en la ciencia y la estandarización de medidas. Cabe señalar que no todos los prominentes filósofos naturales sobrevivieron a la Revolución Francesa. Antoine-Laurent de Lavoisier, reconocido como el padre de la química, fue arrestado en 1793 debido a su participación en la recaudación de impuestos para el rey. A pesar de los esfuerzos de destacados personajes por salvarlo, resultó guillotinado el 8 de mayo de 1794, a los 50 años. La trágica ironía se evidenció en la frase del presidente del tribunal: "La república no precisa ni científicos ni químicos; no se puede detener la acción de la justicia". Lagrange, al día siguiente, lamentó la pérdida, expresando que "Ha bastado un instante para cortarle la cabeza, pero Francia necesitará un siglo para que aparezca otra que se le pueda comparar" (de Lavoisier, n.d.). Un año después de su ejecución, el nuevo gobierno francés lo exoneró, emitiendo una nota a su viuda que rezaba: "A la viuda de Lavoisier, quien fue falsamente condenado" (Donovan, 1996). Este episodio ejemplifica las complejidades y tragedias que caracterizaron a la Revolución Francesa, afectando incluso a figuras científicas ilustres.
(5.4) Unidades del primer sistema métrico
Después de extensos debates, el primer sistema métrico se formalizó en 1795 de la siguiente manera:
Tabla 5 1. Primeras unidades del sistema decimal
| Magnitud | Unidad | Símbolo y equivalencia |
|
Distancia |
Mètre |
m |
|
Área |
Are |
100 m2 |
|
Volumen |
Stere |
m3 |
|
Masa |
Gramme |
g |
Este sistema continuó la tradición de emplear unidades base independientes para dimensiones geométricamente relacionadas, como el metro para la distancia, el are para el volumen, el estere para volúmenes en seco y el litro para volúmenes en húmedo. El are dio origen a la unidad denominada hectárea, equivalente a 100 ares, que aún se utiliza para propósitos legales en muchos países latinoamericanos. El primer sistema métrico introdujo la noción de modificadores decimales, aunque en número limitado. Para medidas más cortas, se incorporaron el milímetro, indicando la milésima parte de la unidad base, y la miríada, que sugería medir 10000 veces la unidad base (Hargrove, 2006; Watson, 1906).
Esta estructura inicial del sistema métrico sentó las bases para una metodología estandarizada en la medición, ofreciendo flexibilidad para adaptarse a diversas necesidades. La inclusión de modificadores decimales facilitó la expresión precisa de magnitudes, promoviendo la simplicidad y coherencia en las mediciones. Aunque se han introducido modificadores adicionales a lo largo del tiempo, la esencia de este enfoque decimales persiste en la actualidad.
(5.5) La grava y el kilogramo
La unidad de masa originalmente fue denominada "grave". Un grave o grava se definió como el volumen de un litro de agua justo en el punto de fusión del hielo. El término "gramme" era más antiguo y representaba aproximadamente una miligrava. No obstante, "grave" estaba asociado con el título nobiliario de Conde en algunas lenguas germánicas. A pesar de que varios de los desarrolladores del sistema métrico poseían títulos nobiliarios previos a la revolución, evitaron controversias, especialmente después de la ejecución de Lavoisier en 1793. Decidieron establecer al gramo como nombre base, a pesar de que los patrones físicos para la medida de la masa eran mil veces más masivos y ya se había comisionado su construcción.
No obstante, el gramo no podía ser el patrón físico base debido a su ligereza, lo que podía generar errores en su reproducción para patrones de medidas largas necesarios en el comercio de los grandes señores burgueses. Esto llevó a una paradoja, ya que el nombre base era diferente al patrón base, pero decidieron no cambiarlo. El nombre del patrón base se convirtió en "kilogramo". Algunos sostienen que la razón fue la guillotinación de Lavoisier, quien definió la grava. En la actualidad, el kilogramo es la unidad base, a pesar de que el nombre base es el gramo. En todas las demás dimensiones, el nombre base y la unidad base concuerdan (BIPM, 2016b). Según el Comité Internacional de Pesos y Medidas, "nos encontramos atascados con la infelicidad de que una unidad base tenga un prefijo".
El gobierno francés oficializó la adopción del sistema métrico el 10 de diciembre de 1799, una década después de comisionar su desarrollo. Se promulgó su implementación en las provincias francesas mediante un edicto gubernamental y, posteriormente, se extendió a diversas partes del mundo durante el establecimiento del Imperio Francés por Napoleón. Este sistema no solo fue adoptado por las colonias francesas, sino también por sus aliados, como los países latinoamericanos, quienes, a pesar de enfrentar resistencia de expertos franceses en la ejecución de obras públicas, como en el caso de Colombia (Arboleda, 2013), abrazaron el sistema métrico como un estándar fundamental.
(5.6) Definiciones y prefijos.
Las dos unidades base del primer sistema métrico fueron la unidad de distancia y la unidad de masa. En el contexto de la nueva física newtoniana, ya se había clarificado la distinción entre masa y peso. El metro se definió como la diez millonésima parte de la distancia desde el Polo Norte hasta el Polo Sur a lo largo de una línea imaginaria que pasaba por la ciudad de París. Aunque estos detalles podrían presentar desafíos para la universalización futura del sistema métrico. El gramo se definió como la masa contenida en un recipiente de un centímetro cúbico que contenía agua justo en el punto de congelación. De esta manera, el agua se convirtió en la base para la medición de la masa y estableció un vínculo con la medición de la distancia.
Para las medidas largas, se introdujeron prefijos modificadores derivados del griego, como miria (10000 = 104), kilo (1000 = 103), hecta (100 = 102) y deca (10 = 101). En contraste, los prefijos para las medidas cortas, deci (0.1 = 10-1), centi (0.01 = 10-2) y mili (0.001 = 10-3), se derivaron del latín. Estos prefijos proporcionaron una estructura decimal para facilitar la expresión y comprensión de magnitudes en el sistema métrico, estableciendo así una metodología coherente para la medición.
(5.7) Patrones estándar, encarnaciones o realizaciones físicas
Los dos patrones estándar fundamentales eran el metro y el kilogramo. En 1799, se estableció el patrón de distancia, denominado "metro patrón" o "metro de los archivos", como una barra de platino. Este metro físico se designó para ser resguardado bajo condiciones controladas para prevenir la oxidación y, de manera crucial, evitar la dilatación o contracción térmica del metal con variaciones de temperatura. Durante los siguientes 90 años, este patrón sirvió como la referencia principal para la replicación llevada a cabo en todas las regiones del mundo donde Francia mantenía influencia militar, política y cultural (Merritt, 2012).
El estándar de masa también consistía en un cilindro de platino almacenado bajo condiciones controladas, conocido como el "kilogramo de los archivos", durante el mismo período de 90 años (Merritt, 2012). Estos patrones, meticulosamente mantenidos y reproducidos, desempeñaron un papel esencial en la consistencia y universalidad del sistema métrico durante ese período histórico.
A pesar de la falta de entusiasmo personal de Napoleón por el sistema métrico (Hallerberg, 1973), reconoció su utilidad y lo estableció como el estándar en el Imperio Francés. Sin embargo, durante su gobierno, algunas unidades anteriores fueron restauradas pero redefinidas en términos del sistema métrico. Un ejemplo es la libra, que se dividió en la libra británica, manteniendo la definición original, y la libra métrica, establecida como la mitad de un kilogramo. En todos los territorios bajo el control de Napoleón, el sistema métrico se difundió inicialmente por decreto y luego por su eficacia práctica. Sin embargo, Inglaterra y Estados Unidos permanecieron independientes de la adopción del sistema métrico, principalmente por motivos de orgullo nacional, ya que Napoleón no conquistó estos países. Esto frustró a los filósofos naturales que reconocían la eficacia del sistema métrico decimal pero no lograron su aceptación en estas naciones.
Con el avance de las nuevas disciplinas científicas, particularmente la electricidad en el siglo XIX, el sistema métrico experimentó ajustes y adiciones que, en última instancia, contribuyeron a la complejidad relativa del sistema de medición enseñado en la actualidad. Estos cambios fueron impulsados por la necesidad de abordar fenómenos específicos relacionados con las ciencias emergentes. Aunque la evolución del sistema métrico ha agregado capas de complejidad, es fundamental para comprender las mediciones en el contexto de los avances científicos posteriores. Para mantener la coherencia con la progresión histórica, avanzaremos hacia la siguiente sección para explorar el sistema de medición moderno en detalle.
(6) Viejo sistema internacional de unidades
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Comúnmente abreviado como SI, el Sistema Internacional es la evolución moderna del sistema métrico francés y se emplea ampliamente para mediciones científicas y económicas en todo el mundo. Este sistema se compone de una serie coherente de patrones de medición basados en 7 unidades fundamentales. SI sigue un formato decimal y establece 20 prefijos modificadores para las medidas largas y cortas, proporcionando una flexibilidad que se adapta a una amplia gama de magnitudes. Estas características hacen del SI un marco de referencia esencial para la precisión y la consistencia en diversas disciplinas, desde la física hasta la economía (Measures, Taylor, & Thompson, 2001).
Desde una perspectiva epistemológica, el Sistema Internacional (SI) representa el lenguaje más universal en las ciencias naturales. Facilita la verificación y comparación de los trabajos empíricos y analíticos de los científicos, permitiendo la evaluación por parte de grupos de investigación en todo el mundo con fines comparativos. Aunque el SI tiene aplicaciones económicas, su esencia radica en ser un sistema científico construido por una comunidad de expertos para cumplir objetivos específicos. Este enfoque implica la necesidad de reunir periódicamente a dicha comunidad, promoviendo la colaboración y la coherencia en la evolución del sistema de medición (Measures, Taylor, & Thompson, 2001).
(6.1) El tratado del metro
El Tratado del Metro, iniciado por el gobierno francés en 1875 (Swindells, 1975), originalmente se centró en los estándares básicos del sistema métrico: el metro y el kilogramo de los archivos, las dos unidades base de la época. Durante la convención, se encargaron 30 nuevos prototipos utilizando una aleación de 90% de platino y 10% de iridio. Para cada unidad base, se desarrollaron 30 prototipos, eligiéndose uno al azar para ser el nuevo estándar. Estos prototipos se denominaron el Prototipo Internacional del Metro (IPM) y el Prototipo Internacional del Kilogramo (IPK), sustituyendo al metro y al kilogramo de los archivos. Además, las naciones que participaron en el Tratado del Metro establecieron tres organizaciones internacionales para supervisar el mantenimiento de los estándares internacionales, el prototipo y las copias respectivamente (BIPM, 2016a).
(a). La Conferencia General de Pesos y Medidas (CGPM) se reúne cada seis años, convocando delegados de cada país miembro para recibir y discutir los nuevos desarrollos científicos que puedan afectar a los estándares del sistema de medición.
(b). El Comité Internacional de Pesos y Medidas (CIPM), integrado por 18 expertos científicos, se reúne anualmente para ofrecer asesoramiento en aspectos técnicos relevantes.
(c). La Secretaría Internacional de Pesos y Medidas (BIPM), ubicada físicamente en Sevres, Francia, sirve como institución para resguardar los prototipos internacionales bajo condiciones controladas. Además, supervisa la fabricación de las copias patrón destinadas a los países miembros. Esta sede también acoge las convenciones del Comité Internacional y la Conferencia General cuando es necesario. Actualmente, la BIPM es responsable de mantener la página oficial que abarca todo lo relacionado con el Sistema Internacional (SI).
En 1921, la Convención del Metro se amplió para abarcar todas las medidas físicas desarrolladas a lo largo del siglo XIX, incluyendo las unidades relacionadas con la electricidad y la cantidad de materia. El idioma oficial del tratado del metro es el francés, por lo que todos los documentos oficiales en metrología se redactan inicialmente en francés y posteriormente se traducen al inglés como lengua internacional de la comunicación científica. Posteriormente, se realizan traducciones a los idiomas locales para facilitar la comprensión y aplicación de los estándares de medición en los diferentes países.
(6.2) La metrificación
Durante el siglo XIX, el sistema métrico se diversificó en variantes según las unidades utilizadas para medir la distancia, la masa y el tiempo. El sistema CGS, o centímetro-gramo-segundo, se empleó especialmente para definir las unidades electrostáticas y es conocido como el sistema gaussiano. Otra variante fue el MKS, o metro-kilogramo-segundo, que representaba el sistema clásico internacional o francés utilizado en sistemas de distribución eléctrica y prácticamente en todas las demás aplicaciones (Vawter & Ralph, 1971). La diversificación de estos sistemas reflejaba la adaptación a necesidades específicas en distintas disciplinas científicas.
El problema fundamental radicaba en la tentativa de expresar las unidades eléctricas en términos de las dimensiones de distancia, masa y tiempo, generando paradojas matemáticas insolubles. Giovanni Giorgi resolvió este problema en 1900 al proponer la incorporación de una nueva unidad fundamental o base, no reducible. Esta unidad representaría los fenómenos eléctricos y debía seleccionarse entre corriente, voltaje o resistencia. Actualmente, la unidad elegida es la intensidad de la corriente eléctrica, medida en amperios (Cañón, Sánchez y Sánchez, 2012; Markowitz, 1973). Un proceso similar se llevó a cabo para las dimensiones de energía, intensidad lumínica y cantidad de materia específica.
A finales de la Segunda Guerra Mundial, el desarrollo histórico de la metrología volvió a estancarse, dejando una diversidad de sistemas derivados del Sistema Internacional del Tratado del Metro. En 1948, al concluir la guerra, representantes de la Unión Internacional de Física Pura y Aplicada (IUPAP), el gobierno francés y la Novena Conferencia General de Pesos y Medidas instaron al Comité Internacional de Pesos y Medidas a dar indicaciones a los países miembros para reestandarizar el sistema de medición previo, evitando así un caso permanente que podría llevar a la destrucción del Tratado del Metro (Cañón et al., 2012; Markowitz, 1973).
En la Décima Conferencia General de Pesos y Medidas en 1954, se determinó que el Sistema Internacional debería constar de seis unidades base: distancia, masa, tiempo, intensidad lumínica, corriente eléctrica y temperatura. Posteriormente, en la Undécima Conferencia General de Pesos y Medidas de 1960, se adoptó oficialmente el nombre de Sistema Internacional de Unidades o SI, marcando el fin del periodo del sistema métrico decimal. En la Decimocuarta Conferencia General de Pesos y Medidas de 1971, se incorporó finalmente la unidad de cantidad de materia específica, el mol, una unidad predominantemente química, destacando entre las demás unidades definidas según criterios físicos (Cañón, Sánchez y Sánchez, 2012; Markowitz, 1973).
(6.3) Política
El Sistema Internacional (SI) ha emergido como el sistema de medición más ampliamente utilizado en todo el mundo, encontrando aplicación tanto en el ámbito comercial como en el científico. La transición al SI tuvo un impacto sutil en los países que ya estaban utilizando el sistema métrico decimal, dado que unidades como el metro, el kilogramo, el litro y el metro cúbico retuvieron sus definiciones fundamentales. No obstante, es importante señalar que la adopción del SI es completamente voluntaria según el Tratado del Metro, lo que ha resultado en variaciones en el grado y la velocidad de su implementación de un país a otro..
(6.3.1) Inglaterra y su mancomunidad
Antes conocido como el Imperio Británico, compitió con el estado revolucionario francés durante el siglo XVIII por la hegemonía de Europa occidental. A pesar de la victoria del Imperio Británico sobre el entonces Imperio Francés, el sistema métrico decimal demostró su supervivencia, a pesar de la resistencia de muchos franceses. La peculiaridad del sistema métrico radica en su extrema racionalidad, lo que resulta conveniente para los científicos de cualquier país. Bajo la presión de la comunidad científica, el Imperio Británico adoptó legalmente el sistema métrico decimal en 1864 y fue una de las naciones que firmó el Tratado del Metro en 1884. A pesar de esto, las unidades del Sistema Imperial de Medidas continuaron siendo el estándar en el imperio y sus colonias (Williams, 1973).
Cuando la evolución del sistema métrico se presentó en forma del SI en 1960, el único país de la Mancomunidad de Naciones de Inglaterra en adoptarlo inicialmente fue India. Aunque inicialmente fue un tema de orgullo nacional (Elliott, 2004), con el tiempo los comerciantes superaron a los políticos y, para 1970, se inició el programa de metrificación en Inglaterra y su Mancomunidad de Naciones, a pesar de la oposición. Muchos opositores británicos a la Unión Europea consideraban la metrificación como una imposición del bloque europeo continental (Speiring, 2001), generando cierta resistencia visceral. No obstante, en la actualidad, Inglaterra y su Mancomunidad han adoptado el sistema métrico tanto para el comercio como para la ciencia, aunque aún persisten el uso de las unidades imperiales en el comercio local en algunas áreas.
(6.3.2) La unión europea
En el contexto de ejercicios de cálculo que implican la incómoda conversión entre unidades métricas e imperiales, surge la pregunta evidente: ¿por qué esta dualidad? Dos bloques culturales, Europa y Estados Unidos, influyen significativamente en las ciencias naturales a nivel mundial. En Europa, aunque potencias importantes como Francia y Alemania adoptaron el sistema métrico hace mucho, algunos miembros aún no lo habían hecho. Además, los políticos británicos parecían presionar para que se aceptaran ciertas medidas del sistema imperial, al menos durante algún tiempo. Esta tensión política se manifiesta especialmente en la dimensión de la medida de la presión.
(6.3.3) Estados Unidos de América
La situación en Estados Unidos es similar a la de Inglaterra y su mancomunidad, pero con diferencias significativas. Dada la mayor extensión territorial de Estados Unidos, el país pudo mantener una economía relativamente más cerrada, exportando sin prestar demasiada atención a las opiniones externas durante muchos años. Los esfuerzos de algunos presidentes estadounidenses para la adopción del Sistema Internacional (SI) se encontraron con resistencia política, impulsada por motivos económicos a corto plazo o simplemente por orgullo nacional. Aunque actualmente los productos estadounidenses destinados a la exportación deben marcarse con unidades métricas, Estados Unidos sigue siendo la única gran potencia mundial en la que el comercio interno se realiza principalmente en unidades imperiales (Silverberg, 1997).
(6.3.4) Visión general
A pesar de las críticas dirigidas al Sistema Internacional (SI) como una supuesta dictadura internacional, una intromisión en los asuntos internos de una nación o como destructor de costumbres culturales, la realidad persiste. Este sistema está diseñado por y para científicos, quienes desarrollan tecnología con aplicaciones industriales. La comunidad científica es la primera en adoptar el sistema métrico, seguida por los grandes comerciantes que participan en el comercio internacional. Posteriormente, las fuerzas armadas, especialmente aquellas involucradas en operaciones supranacionales, como los miembros de la ONU, adoptan el sistema. De hecho, Estados Unidos se ha metricado en casi todos estos aspectos, con excepciones notables en la construcción de edificaciones y en la producción de aviones Boeing, lo que a veces ha resultado en accidentes.
Debido a la influencia significativa de científicos, comerciantes y militares en la sociedad, los políticos eventualmente se ven obligados a ceder en su lealtad nacionalista y adoptar el sistema métrico. En el momento de redacción de este texto, solo tres naciones en el mundo no han adoptado plenamente el sistema métrico: Birmania, Liberia y Estados Unidos. Sin embargo, Birmania anunció en 2013 su intención de adoptar el sistema métrico, mientras que en Estados Unidos, como se ha mencionado anteriormente, los militares, comerciantes, políticos y la mayoría de los proyectos de ingeniería ya utilizan el sistema métrico total o parcialmente (A Hundred, 1988; J. C. Smith, 1998; Vernick, 1987). Es importante señalar que la transición al sistema métrico puede plantear problemas graves de compatibilidad de magnitudes si no se maneja adecuadamente, como se discutió en la introducción de este capítulo.
(6.4) El Sistema Internacional como lengua
El sistema internacional de medición se distingue como el lenguaje más general empleado por los científicos. Aunque los sublenguajes especializados en áreas como la bioquímica y la paleontología pueden no ser comprendidos fácilmente entre sí, los patrones de medición son universalmente aceptados. Dada su condición de lenguaje formal más general de todas las ciencias de la naturaleza, es imperativo que los educadores aborden este tema con cautela, ya que implica enseñar el lenguaje de las ciencias. Los próximos capítulos se dedicarán a esta tarea, comenzando con las 7 dimensiones base sobre las cuales se construye el Sistema Internacional de Unidades (SI).
(7) Unidades fundamentales
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El Sistema Internacional de Unidades o SI consiste en una serie de unidades base y una serie de unidades derivadas, las cuales poseen nombres especiales, así como una serie de prefijos multiplicadores de potencias de 10.
Tabla 7‑1. Las siete magnitudes dimensionales y sus unidades; así como las siete unidades básicas con sus unidades. Observe que los símbolos de magnitud van en cursiva, mientras que los símbolos de unidad no. En las unidades fundamentales del sistema internacional existen dos que miden la cantidad de materia, que son el kilogramo y el mol.
| Magnitud o dimensión | Símbolo | Unidad patrón | Símbolo |
|
Distancia |
\(x\), \(r\), \(h\) |
Metro |
m |
|
Masa |
\(m\) |
Kilogramo |
kg |
|
Tiempo |
\(t\) |
Segundo |
s |
|
Temperatura |
\(T\) |
Kelvin |
K |
|
Intensidad lumínica |
\(R, J\) |
Candela |
cd |
|
Cantidad de sustancia |
\(n\) |
Mol |
mol |
|
Corriente eléctrica |
\(I\) |
Amperio |
A |
Aunque inicialmente el sistema métrico decimal solo contaba con dos unidades base, el metro y el kilogramo, el progreso científico ha llevado a la identificación de siete unidades base que constituyen la base de todas las mediciones científicas, además de derivar otras dimensiones de medición compuestas. Las siete unidades base y sus respectivas dimensiones son las siguientes: la distancia se mide en metros; la masa o cantidad de materia no específica se mide en kilogramos; el tiempo se mide en segundos; la corriente eléctrica se mide en amperios; la temperatura se mide en Kelvin; la intensidad lumínica se mide en candelas; y la cantidad de sustancia específica se mide en moles.
Estas unidades base se definen, en la medida de lo posible, en función de criterios físicos inmutables que, teóricamente, deben comportarse de manera consistente en cualquier parte del universo, excepto en un horizonte de sucesos, como un agujero negro. En otras palabras, estas definiciones deben aspirar a derivarse de fenómenos generales. Sin embargo, es importante señalar que la definición de la masa aún presenta desafíos significativos.
(7.1) Midiendo la distancia con el metro
La distancia se define como la cantidad de espacio entre dos puntos, y su unidad de medida en el Sistema Internacional (SI) es el metro. La realización física del metro, esencial para establecer patrones estandarizados de medida, ha experimentado una evolución a lo largo de la historia, desde el modesto metro del sastre hasta sistemas científicos de precisión.
La primera definición del metro surgió con la creación del sistema métrico decimal francés en 1795. Idealmente, se propuso que el metro fuera una barra de platino cuya longitud equivaldría a la diezmillonésima parte (10^(-7)) de la distancia que recorre el meridiano desde el polo norte geográfico hasta el ecuador, pasando por París. Sin embargo, los cartógrafos de la época cometieron un pequeño error al no considerar la curvatura del planeta y su efecto al aplanar el meridiano para crear una barra recta en 1799. Como resultado, la barra original de platino era ligeramente más corta que la longitud pretendida por la definición. Esta barra, conocida como el metro de los archivos, sirvió como referencia para las primeras copias maestras del metro durante 90 años (Gruber & Olsen, 1994; Kose, Siebert, & Wöger, 2003; Mills, Mohr, Quinn, Taylor, & Williams, 2006; Moreau, 1953; Quinn, 1995).
En 1889, se desarrolló una nueva calibración para la barra, denominada "prototipo internacional", utilizando una aleación de platino e iridio a la temperatura de congelación del agua. Posteriormente, en 1927, la barra fue recalibrada para patrones internacionales, considerando esta vez el efecto de la presión atmosférica. Sin embargo, depender exclusivamente de una barra para todo el comercio mundial planteaba riesgos significativos. ¿Qué sucedería si algo le ocurriera a la ciudad de Sèvres, como un bombardeo, tal como pudo ocurrir durante la Segunda Guerra Mundial? La idea de tener que reemplazar la barra patrón generaría cambios sustanciales en todas las magnitudes de las constantes universales para las operaciones de precisión científica e ingenieril. Este riesgo fue uno de los factores clave que llevó a la adopción del nuevo Sistema Internacional (SI), que buscaba un patrón independiente de una única barra en el universo.
En 1960, la definición del metro experimentó un cambio significativo al establecerse como la longitud equivalente a 1 650 763,73 longitudes de onda de radiación electromagnética en el vacío emitidas por el isótopo kriptón-86. Este cambio se fundamentó en la transición cuántica de electrones entre los orbitales 2p10 y 5p5. No obstante, esta definición aún estaba ligada a una sustancia específica. Actualmente, aprovechando la constancia de la velocidad de la luz en el vacío, el metro se define como la distancia que la radiación electromagnética recorre en 1/(299792458) segundos (Gobato, Gobato, & Fedrigo, 2015). En notación, el símbolo común para la distancia es \(r\).
(7.2) Midiendo la cantidad de sustancia con el gramo
La cantidad de materia no específica, conocida como masa, se mide sin considerar su origen específico, ya sea de un elemento o compuesto, lo cual no es relevante. Es crucial señalar que masa y peso son conceptos distintos según la física newtoniana. El peso es una fuerza, mientras que la masa representa la cantidad de materia, relacionándose ambas mediante la aceleración gravitacional. La masa es constante, a diferencia del peso, que es el producto de la masa por la gravedad. Por consiguiente, en otros planetas, el peso sería diferente, pero la masa se mantendría constante. Aunque la unidad base histórica y teórica es el kilogramo, en los cálculos prácticos se emplea el gramo como unidad base.
La primera definición del kilogramo, originalmente llamada grava, estableció su masa en 1793 como la de un litro de agua en su punto de congelación (Fisher Jr, 2005). En 1799, al igual que con el metro, se creó una barra de platino de masa comparable, designada como el kilogramo de los archivos, que sirvió como patrón durante los siguientes 90 años. En 1899, se sustituyó el kilogramo de los archivos por el Prototipo Internacional del Kilogramo (IPK), fabricado con una aleación de 90% de platino y 10% de iridio, resguardado en condiciones controladas en Sevres, Francia. Aunque el IPK es la única unidad fundamental que aún depende de una barra específica de platino e iridio, se ha mantenido como estándar internacional.
El IPK y sus copias, utilizadas a nivel internacional, mantienen coherencia en la práctica, aunque con el tiempo se ha observado una divergencia gradual. Algunas copias ganan masa, mientras que el IPK parece perder o volverse menos masivo que las demás. Este fenómeno, de naturaleza cíclica, carece de una explicación clara hasta el momento. Se barajan dos posibilidades: cuantificar la masa perdida por el IPK o buscar una alternativa para la manifestación física del kilogramo (BIPM, 2006; Davidson, 2012; Davis, 2011; Gläser, Borys, Ratschko, & Schwartz, 2010; Robinson, 2009; Michael Stock, Barat, Davis, Picard, & Milton, 2015). En 2019, se optó por la segunda opción, basando la definición del kilogramo en las constantes de Boltzmann y Avogadro.
(7.3) Midiendo el tiempo con el segundo minuto
El tiempo, concepto intrínsecamente ligado al cambio, resulta complejo de definir con precisión. En el ámbito de las unidades de tiempo, se destaca su conservación a lo largo de los sistemas de medición. Al instaurarse el sistema métrico, se intentó redefinir el segundo en términos decimales, aunque ambos proyectos eran relativamente independientes. A pesar de que el sistema métrico original no incluía unidades de tiempo definidas, compartía la misma esencia. El proyecto para el tiempo decimal proponía dividir el día en 10 horas decimales, cada hora en 100 minutos decimales, y cada minuto en 100 segundos decimales, manteniendo así el espíritu decimal del sistema métrico. Aunque el proyecto de conversión decimal del tiempo fue en gran medida infructuoso, especialmente después de 1805, las subdivisiones del segundo, como las centésimas y milésimas, conservan la esencia métrica (Carrigan, 1978; Kindleberger, 1983)..
Cuando se incorporó la medición del tiempo al sistema métrico de medidas, la unidad base designada fue el segundo (B. Taylor, 1995), definido originalmente en función de un día solar terrestre promedio. A partir de entonces, los segundos pueden ser interpretados conforme al espíritu métrico, utilizando prefijos decimales, o convertidos a minutos, horas o días.
En cuanto a la definición del segundo métrico, este se origina a partir de la combinación de métodos babilónicos y egipcios para medir el tiempo en la tradición helenística. De los egipcios heredamos la práctica de dividir el día y la noche en 12 segmentos cada uno, a los cuales llamamos horas. Inicialmente, las horas no tenían una definición fija y se basaban en relojes de sol, pero con la llegada de los relojes mecánicos se les proporcionó una definición precisa. De los babilónicos tomamos la idea de medir el tiempo en 60 segmentos, dividiendo cada hora en 60 minutos. Los relojes de arena y los primeros relojes mecánicos se encargaban de medir este tipo de tiempo. La tecnología de los relojes mecánicos alcanzó la suficiente precisión alrededor de 1660 para subdividir el minuto en un segundo grupo de 60 segmentos. Originalmente, los términos utilizados eran "minuto original" o "prima minuto" y "segundo minuto", pero con el tiempo evolucionaron a los actuales "minutos" y "segundos". En este punto, la definición del segundo se estableció como 1/86,400 parte de un día, y así se integró al sistema métrico (Dohrn-van Rossum, 1996).
En 1956 el segundo se definió como 1/( 31 556 925.9747) parte de un año solar tropical de enero de 1900. Sin embargo, pocos años después se descubrió que los isótopos radiactivos decaen con patrones constantes. En la actualidad el tiempo se define como 9 192 631 770 periodos de radiación, correspondiente a la transición de dos periodos hiperfinos del estado fundamental del cesio-133 (BIPM, 2006; Klioner et al., 2009; Szymaniec, Chalupczak, Whibberley, Lea, & Henderson, 2005). Con esto, el reloj nuclear de cesio puede crearse en cualquier parte del mundo, siendo una relización física de una unidad fundamental que no requiere ser resguardada con celo en la ciudad de Sevres.
(7.4) Midiendo la corriente eléctrica con el amperio
La unidad base original en la variante del sistema métrico denominada CGS no era el amperio. Inicialmente, en el sistema CGS, la unidad base era la corriente que fluía por un arco de 1 cm a lo largo de un círculo de 1 cm de radio, creando un campo de 1 oersted en el centro. El amperio representaba 1/10 de esa unidad de corriente. Más tarde, se definió el amperio como la corriente generada al depositar 0.001118000 gramos de plata por segundo a partir de una solución de nitrato de plata, aunque mediciones subsiguientes revelaron un error del 0.015%. Actualmente, se utiliza la balanza de Watt para definir el amperio: es la corriente constante que, si se mantiene entre dos conductores rectos y paralelos de longitud infinita y sección cruzada circular despreciable, dispuestos a 1 metro en el vacío, producirá una fuerza igual a 2 x 10-7 N/m (Benz & Hamilton, 2004; BIPM, 2006).
(7.5) Midiendo la temperatura con el kelvin
Antes de las redefiniciones de 2019, la escala de temperatura requería definir dos puntos fundamentales: el primero, el punto cero, que representa lo frío, y el otro, el que representa lo caliente. Diversas escalas de temperatura se han propuesto a lo largo del tiempo. La temperatura métrica original se definía en grados centígrados o Celsius, estableciendo el punto cero como la congelación del agua a nivel del mar y el punto 100 como la ebullición del agua a nivel del mar. Esta definición, propuesta en 1743 antes del sistema métrico, sirvió como base (Romer, 1982).
William Thomson, primer Barón de Kelvin, propuso en 1848 una escala de temperatura independiente de las propiedades de una sustancia específica, utilizando la teoría de la termodinámica y el hecho de que los gases parecían detener su movimiento molecular en un punto conocido como cero absoluto. Aunque el valor exacto del cero absoluto fue motivo de disputa hasta el siglo XX, modificó únicamente el punto cero de la escala (Romer, 1982). El punto caliente de la escala se ancla al agua y se define como el punto triple del agua, un estado específico de volumen, temperatura y presión en el que el agua coexiste en equilibrio en sus tres estados. Dividiendo estos dos puntos de forma que sus magnitudes coincidan con los grados Celsius, ambas unidades son más o menos intercambiables (BIPM, 2006). Esto ha cambiado nuevamente después de las redefiniciones de 2019, pero se abordará en secciones posteriores.
(7.6) Midiendo cantidad de sustancia con el mol
Esta unidad, conocida como mol, se utiliza para realizar cálculos que facilitan la producción industrializada de sustancias químicas mediante procedimientos simples. En 1900, se definió simplemente como la masa atómica o la masa de la molécula expresada en gramos. En 1967, experimentó una redefinición como la cantidad de átomos presentes en una muestra de 0.012 kg de carbono-12. Esta definición es crucial, ya que a partir de ella se establecen las masas atómicas de los demás elementos en las tablas periódicas (BIPM, 2006; Zombeck, 2006). Después de la redefinición de 2019, el mol pasa a depender exclusivamente del número de Avogadro vigente.
(7.7) Intensidad lumínica con la candela
Es el resplandor emitido por luz monocromática con una frecuencia de 5.4x1014 hertz y una intensidad radiante direccional de 1/683 watts por estereorradián (BIPM, 2006; Palmer & Carroll, 1999)..
(7.8) Utilidad
Cada una de las unidades tiene su utilidad en su respectivo campo, aunque algunas son más comúnmente empleadas en la vida diaria y escolar que otras. Las definiciones de distancia, masa, temperatura y tiempo son, de lejos, las más utilizadas en la vida cotidiana, seguidas por la corriente eléctrica. La cantidad de sustancia específica encuentra su aplicación en el contexto químico, mientras que la intensidad lumínica contribuye significativamente al efecto fotoeléctrico, que condujo a la formulación de la teoría cuántica ondulatoria. Sin embargo, por razones prácticas, nos enfocaremos en las candelas solo en este capítulo.
(8) El nuevo sistema internacional, 2019
Inicio: ⟨Cursos⟩: ⟨Física⟩: {Preliminares}: [El informe de laboratorio] [Unidades y medidas]: (1 Introducción) (2 La medición y el método científico) (3 ¿Qué son las unidades de medición?) (4 Historia de la medición) (5 Sistema métrico decimal) (6 Viejo sistema internacional de unidades) (7 Unidades fundamentales) (8 El nuevo sistema internacional, 2019) (9 Unidades derivadas) (10 Prefijos decimales y notación exponencial) (11 Lenguaje del sistema internacional de unidades) (12 El sistema imperial Británico) (13 Cifras significativas) (14 Operaciones con cifras significativas) (15 Notación científica) (16 Conversiones de unidades) (17 La regla de tres analítica) (18 Análisis dimensional) (Referencias bibliográficas)
El 16 de noviembre de 2018, la 26ª Conferencia General sobre Pesos y Medidas (CGPM) aprobó por unanimidad la revisión de las definiciones de las unidades base del Sistema Internacional (SI), propuestas previamente por el Comité Internacional de Pesos y Medidas (CIPM). Las nuevas definiciones entrarán en vigencia el 20 de mayo. El kilogramo, el amperio, el kelvin y el mol se definirán estableciendo valores numéricos exactos para la constante de Planck \(h\), la carga eléctrica elemental \(q_e\), la constante de Boltzmann \(k_B\) y la constante de Avogadro \(N_A\), respectivamente. El metro y la candela ya están definidos por constantes físicas, sujetas solo a correcciones por mejoras tecnológicas. Estas revisiones buscan mejorar el SI sin cambiar el tamaño de las unidades, garantizando así la continuidad con las mediciones existentes a partir de 2019 (Esser, 2018; NIST, 2018).
El sistema métrico fue concebido originalmente como un sistema de medición basado en fenómenos invariables, buscando ser aplicable "para todas las personas, de todos los tiempos" (Esser, 2018). Sin embargo, al ser introducido por primera vez en Francia en 1799, las limitaciones técnicas obligaron el uso de artefactos, como el metro patrón y el kilogramo patrón. A pesar de estar diseñados para no degradarse, estos prototipos perdieron cantidades mínimas de masa con el tiempo, incluso en ambientes sellados. Aunque los cambios eran casi imperceptibles, los instrumentos más sensibles ya no garantizaban mediciones exactas, al menos dentro de niveles de tolerancia aceptables. En 1960, el metro se redefinió en función de la longitud de onda de la luz de una fuente específica, permitiendo que se derivara de fenómenos naturales universales. Sin embargo, el kilogramo prototipo seguía siendo el único artefacto en el que se basaban las definiciones de las unidades SI. Con la redefinición de 2019, el SI se vuelve totalmente derivable de los fenómenos naturales.
De esta manera, los institutos encargados de crear patrones de medida, como el ICONTEC colombiano o el NIST norteamericano, pueden, al menos en teoría, generar sus propios kilogramos patrones sin depender del prerrequisito de solicitar una copia a Francia.
(8.1) El nuevo kilogramo
La definición del kilogramo ha experimentado un cambio fundamental: la definición previa establecía el kilogramo como la masa del prototipo internacional del kilogramo, un artefacto que no es una constante natural. En contraste, la nueva definición lo relaciona con la masa equivalente de la energía de un fotón dada su frecuencia, a través de la constante de Planck. La idea subyacente es sencilla: dado que los fotones de una frecuencia fija tienen una masa calculable mediante la constante de Planck, estos objetos físicos se convierten en el nuevo patrón internacional del kilogramo. Al ser inherentes al universo, son un estándar verdaderamente universal para todas las personas, en cualquier época y lugar. La nueva definición del kilogramo se expresa como sigue: el kilogramo, representado por kg, es la unidad de masa del Sistema Internacional (SI). Se define tomando el valor numérico constante de la constante de Planck \(h\) en 6.62607015×10-34 kg·m²/s, donde el metro se define en función de la velocidad de la luz y el segundo con el cesio-133 (Cabral, 2018; Robinson, 2018; Schlamminger, 2018; Stock, 2018).
Al fijar un valor definitivo para la constante de Planck, cuyas unidades incluyen el kilogramo, análogamente a cómo las unidades de la velocidad de la luz incorporan el metro, la masa del kilogramo mantiene una estabilidad constante. Podemos concebir esto de la siguiente manera: el kilogramo se ha vinculado a la constante de Planck, una conexión que perdurará indefinidamente, o al menos hasta que nuestra civilización lo permita. La redefinición del kilogramo en términos de la constante de Planck ha sido un desafío monumental que ha demandado décadas para su culminación. Por un lado, los científicos debieron medir la constante de Planck con una precisión extrema. Si nuestras estimaciones de la velocidad de la luz tuvieran un gran margen de error, la medición del metro no sería un anclaje confiable o una realización física. Lo mismo aplica para la constante de Planck. Durante décadas, científicos del NIST y otros laboratorios globales han empleado una máquina llamada balanza de Kibble (a veces conocida como balanza de Watt) para medir con precisión la constante de Planck a un nivel suficientemente cuidadoso, convirtiéndola en el nuevo estándar de masa (Cabral, 2018; Robinson, 2018; Schlamminger, 2018; Stock, 2018).
Al igual que los estándares de kilogramos, la balanza de Kibble se encuentra alojada bajo tierra en el NIST. Está construida sobre un piso de concreto que puede flotar literalmente sobre los cimientos del edificio, a fin de aislar mejor su equipo sensible de cualquier vibración proveniente del resto de la instalación. Los científicos deben usar redes de plástico en el cabello y los zapatos, ya que cualquier fragmento de escombros podría descalibrarla. La balanza de Kibble, bautizada en honor a su difunto inventor, el físico británico Bryan Kibble, opera de manera similar a una balanza mecánica de platos, pero con un giro mecánico cuántico. Equilibra la energía mecánica ejercida por la masa de un objeto con una cantidad equivalente de energía eléctrica; evidentemente, las ecuaciones matemáticas involucradas son más complejas que una simple relación \(m_1\) ≥ \(m_2\).
En las intrincadas ecuaciones de la balanza de Kibble, donde intervienen variables como masa, velocidad, fuerza gravitacional, magnetismo y electricidad, destaca la constante de Planck. Mediante esta máquina, los científicos han logrado determinar la constante de Planck con niveles de precisión y exactitud apropiados para un patrón de medición. La eficacia matemática radica en la comprensión de que, según la famosa ecuación de Albert Einstein, \(E = m c^2\), la masa y la energía son esencialmente expresiones diferentes de la misma entidad..
Ahora podrías preguntarte: ¿Cuál es la función del balance de Kibble ahora que la constante de Planck está definida? Su función radica en suplantar la necesidad del IPK en Francia y sus copias, ya que ahora conocemos la masa de un kilogramo en términos de la constante de Planck en cualquier lugar del universo. Esto proporciona una medida precisa, asegurando que un kilogramo siga siendo un kilogramo, lo que permite pesar objetos y determinar su masa con respecto a un patrón verdaderamente inmutable y, poéticamente inspirador, esencialmente la luz misma. Este nuevo patrón perdurará a lo largo del tiempo y en cualquier lugar del universo (Cabral, 2018; Robinson, 2018; Schlamminger, 2018; Stock, 2018)..
(8.2) El nuevo amperio
La definición del amperio experimentó una revisión significativa: se sustituyó la definición anterior, que resultaba difícil de realizar con alta precisión en la práctica, por una definición más intuitiva y fácil de llevar a cabo. Esta nueva definición se establece tomando el valor numérico constante de la carga elemental e en 1.0602176634×10-19 A∙s, donde el segundo se define en términos del cesio-133 (Cabral, 2018; Robinson, 2018; Schlamminger, 2018; Stock, 2018).
(8.3) El nuevo kelvin
La definición del kelvin experimentó un cambio fundamental. En lugar de utilizar el punto triple del agua para fijar la escala de temperatura, la nueva definición se basa en el equivalente de energía, como lo indica la ecuación de Boltzmann. Se establece tomando el valor numérico constante de la constante de Boltzmann \(k_B\), que a su vez es igual a la constante de los gases ideales (R) dividida entre el número de Avogadro \(N_A\): 1.380649×10-23 kg∙m2/(s2∙K), donde el kilogramo, el metro y el segundo se definen en términos de la constante de Planck \(h\), la velocidad de la luz y el cesio-133 (Cabral, 2018; Robinson, 2018; Schlamminger, 2018; Stock, 2018)..
(8.4) El nuevo mol
La diferencia principal radica en que ya no se definirá en función del carbono-12, sino directamente por el número de Avogadro (NA = 6.022 140 76×10-23 entidades elementales/mol). Cuando se utiliza el mol, las entidades elementales deben especificarse y pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas o grupos específicos de dichas partículas (Cabral, 2018; Robinson, 2018; Schlamminger, 2018; Stock, 2018). Según el Libro de Oro de la IUPAC, las entidades no se especifican en la parte operativa de las fórmulas, ya que al ser variables discretas o cuantizadas, se las considera adimensionales.
(9) Unidades derivadas
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El Sistema Internacional de Unidades especifica siete unidades base, a partir de las cuales todas las demás deben derivarse matemáticamente. Las unidades derivadas pueden ser adimensionales o expresarse como productos directos o inversos de una o más unidades básicas. Para conveniencia en diversas disciplinas, algunas unidades derivadas cuentan con nombres y símbolos específicos, facilitando así la manipulación dimensional mediante multiplicaciones y divisiones. Cabe destacar la excepción de las unidades de temperatura, que requieren conversiones mediante fórmulas que implican sumas o restas. Además de estas unidades derivadas, también exploraremos algunas unidades tradicionales ampliamente aceptadas y en uso común en el SI (BIPM, 2006). El lector debe tener en cuenta que, en algunos contextos, se requiere proponer símbolos para magnitudes o unidades que no están contempladas en estas tablas.
Tabla 9-1. Unidades derivadas de geometría, (BIPM, 2006).
| Magnitud dimensional | Nombre de la unidad | Símbolo de la unidad | Equivalencias |
Ángulo θ, β, α, -entre otras letras griegas. | Grado | ° |
|
Arco minuto / prima | ′ |
| |
Arco segundo / doble prima | ′′ |
| |
Radianes | rad |
| |
Área A | Metro al cuadrado | m2 | m·m |
Volumen V | Metro cúbico | m3 | m·m·m |
Tabla 9-2. Unidades derivadas de Física clásica, (BIPM, 2006).
| Magnitud dimensional | Nombre de la unidad | Símbolo de la unidad | Equivalencias |
Fuerza \(F\) | Newton | N | kg\(\cdot\)m\(\cdot\)s\(^{-2}\) |
Presión \(P\) | Pascales | Pa | N\(\cdot\)m\(^{-2}\) = Kg\(\cdot\)m\(^{-1}\)\(\cdot\)s\(^{-2}\) |
Rapidez \(v\) |
|
|
|
Aceleración \(a\) |
|
|
|
Velocidad angular \(\omega\) |
|
| rad\(\cdot\)s\(^{-1}\) |
Aceleración angular \(\alpha\) |
|
| rad\(\cdot\)s\(^{-2}\) |
Momento cinético o impulso \(p\) |
|
| N\(\cdot\)s = m\(\cdot\)kg\(\cdot\)s\(^{-1}\) |
Momento angular \(L\) |
|
| N\(\cdot\)m\(\cdot\)s = m\(^{2}\)\(\cdot\)kg\(\cdot\)s\(^{-1}\) |
Torque \(\tau\) |
|
| N\(\cdot\)m\(\cdot\)rad\(^{-1}\) = m\(^{2}\)\(\cdot\)kg\(\cdot\)s\(^{-2}\)\(\cdot\)rad\(^{-1}\) |
Tabla 9-3. Unidades derivadas de energía y termodinámica, (BIPM, 2006).
Magnitud dimensional | Nombre de la unidad | Símbolo de la unidad | Equivalencias |
Energía \(E, W, Q, U, H, G\) | Julio | J | N\(\cdot\)m = m\(^2\)\(\cdot\)kg\(\cdot\)s\(^{-2}\) = W\(\cdot\)s |
Potencia \(P\) | Watt | W | 1 W = 1 J\(\cdot\)s\(^{-1}\) = 1 m\(^2\)\(\cdot\)kg\(\cdot\)s\(^{-3}\) |
Entropía \(S\) |
|
| J\(\cdot\)K\(^{-1}\) = m\(^2\)\(\cdot\)kg\(\cdot\)s\(^{-2}\)\(\cdot\)K\(^{-1}\) |
Capacidad calorífica \(C\) |
|
| J\(\cdot\)K\(^{-1}\) = m\(^2\)\(\cdot\)kg\(\cdot\)s\(^{-2}\)\(\cdot\)K\(^{-1}\) |
Calor específico \(c\) |
|
| J\(\cdot\)K\(^{-1}\)\(\cdot\)kg\(^{-1}\) = m\(^2\)\(\cdot\)s\(^{-2}\)\(\cdot\)K\(^{-1}\) |
Calor latente \(L\) |
|
| J\(\cdot\)kg\(^{-1}\) = m\(^2\)\(\cdot\)s\(^{-2}\) |
Tabla 9-5. Unidades derivadas de química, (BIPM, 2006).
Magnitud dimensional | Nombre de la unidad | Símbolo de la unidad | Equivalencias |
Actividad catalítica \(\mathcal{Z}\) | Katal | kat | mol·s\(^{-1}\) |
Masa molar \({M}\) |
|
| g·mol\(^{-1}\) |
Coeficiente estequiométrico \(\nu\) |
|
|
|
Concentración masa a volumen \(\gamma\) |
|
| g·ml\(^{-1}\) = kg·L\(^{-1}\) |
Fracción de masas \(w\) |
|
|
|
Fracción de volúmenes \(\phi\) |
|
|
|
Fracción molar \(\chi\) |
|
|
|
Concentración molar \(c\) | Molar | \(M = [ ]\) | mol·L\(^{-1}\) |
Equivalente \(eq\) | Equivalentes | \(eq = \text{equiv}\) |
|
Equivalente molar \(em\) |
|
| eq·mol\(^{-1}\) |
Peso equivalente \(ew\) |
|
| g·eq\(^ |
Tabla 9-6. Unidades derivadas de electricidad, (BIPM, 2006).
Magnitud dimensional | Nombre de la unidad | Símbolo de la unidad | Equivalencias |
|---|---|---|---|
Voltaje \(V\) | Voltio | V | w·A⁻¹ = m²·kg·s⁻³·A⁻¹ |
Capacitancia \(C\) | Faradio | F | C·V = s⁻¹ = m⁻²·kg⁻¹·s⁴·A² |
Carga o cantidad de electricidad \(Q\) | Coulombio | C | s·A |
Resistencia, independencia A,C | Ohmio |
| = S⁻¹ = V·A⁻¹ = m²·kg·s⁻³·A⁻² |
Conductancia eléctrica \(G\) | Siemens | S | ⁻¹ = A·V⁻¹ = m⁻²·kg⁻¹·s³·A² |
Flujo magnético \(\Phi B\) | Weber | Wb | J·A⁻¹ = T·m² = m²·kg·s⁻²·A⁻¹ |
Campo magnético \(B,H\) | Tesla | T | V·s·m⁻² = Wb·m⁻² = N·A⁻¹·m⁻¹ = kg·s⁻²·A⁻¹ |
Inductancia eléctrica \(L\) | Henry | H | V·s·A⁻¹ = ·s = Wb·A⁻¹ = m²·kg·s²·A² |
Desplazamiento eléctrico \(D\) |
|
| C·m⁻² = s·A· m⁻² |
Densidad de carga \(\lambda q, \rho q, \sigma q\) |
|
| C·m⁻³ = s·A· m⁻³ |
Densidad de corriente \(J\) |
|
| A·m⁻² |
Conductividad eléctrica \(\rho\) |
|
| S·m⁻¹ = m⁻³·kg⁻¹·s³·A² |
Permisividad \(\epsilon\) |
|
| F·m⁻¹ = m⁻³·kg⁻¹·s⁴·A² |
Permeabilidad magnética \(\mu\) |
|
| H·m⁻¹ = m·kg·s⁻²·A⁻² |
Fuerza de campo eléctrico \(E\) |
|
| V·m⁻¹ = m·kg·s⁻³·A⁻¹ |
Fuerza de campo magnético \(M\) |
|
| A·m⁻¹ |
Densidad de masa lineal \(\lambda \bar{q}\) |
|
| kg⁻¹·m |
Densidad de carga lineal \(\lambda\) |
|
| C·m⁻¹ = s·A·m⁻¹ |
Momento dipolar magnético \(A\) |
|
| J·T⁻¹ = m²·A |
Tabla 9-7. Unidades derivadas de ondas y radioactividad, (BIPM, 2006).
Magnitud dimensional | Nombre de la unidad | Símbolo de la unidad | Equivalencias |
|---|---|---|---|
| Flujo luminoso \(\Phi V\) | Lumen | lm | cd·sr |
| Iluminancia \(E_v\) | Lux | lx | lm·m-2 = cd·sr·m-2 |
| Periodo \(T\) | S | ||
| Longitud de onda \(\lambda\) | M | ||
| Energía lumínica \(E_l\) | J = cd·sr·s | ||
| Exposición lumínica \(H_v\) | lx·s = cd·sr·s·m-2 | ||
| Radioactividad | Bequerelio | Bq | desintegraciones·s-1 |
| Dosis absorbida \(D\) | Gray | Gy | J·kg-1 |
| Dosis equivalente \(H_T\) | Sievert | Sv | m2·s-2 |
| Densidad de área \(\rho_A\) | kg·m-2 |
Tabla 9-8. Otras, (BIPM, 2006).
| Magnitud dimensional | Nombre de la unidad | Símbolo de la unidad | Equivalencias |
|---|---|---|---|
| Densidad de volumen o densidad simple \(\rho\) | kg·m-3 | ||
| Viscosidad \(v\) | m2·s-1 | ||
| Compresibilidad \(\beta\) | Pa-1 | m·s·kg-1 | |
| Tiempo \(t\) | Hora | hr | 3600 s |
| Minuto | min | 60 s | |
| Día | d | 86400 s | |
| Área \(A\) | Hectárea | Ha | 10000 m2 |
| Volumen \(V\) | Litro | L, l | 0.001 m3 |
| Masa \(m\) | Tonelada | ton | 907.185 kg |
| Dalton | u | 1.66054x10-27 kg | |
| Energía \(E\) | Electrón-voltio | eV | 1.60218x10-19 J |
10) Prefijos decimales y notación exponencial
Inicio: ⟨Cursos⟩: ⟨Física⟩: {Preliminares}: [El informe de laboratorio] [Unidades y medidas]: (1 Introducción) (2 La medición y el método científico) (3 ¿Qué son las unidades de medición?) (4 Historia de la medición) (5 Sistema métrico decimal) (6 Viejo sistema internacional de unidades) (7 Unidades fundamentales) (8 El nuevo sistema internacional, 2019) (9 Unidades derivadas) (10 Prefijos decimales y notación exponencial) (11 Lenguaje del sistema internacional de unidades) (12 El sistema imperial Británico) (13 Cifras significativas) (14 Operaciones con cifras significativas) (15 Notación científica) (16 Conversiones de unidades) (17 La regla de tres analítica) (18 Análisis dimensional) (Referencias bibliográficas)
Al igual que en el primer sistema métrico decimal, se utilizan prefijos griegos para las medidas mayores que la unidad base y prefijos derivados del latín para las medidas menores que la unidad base. Cada prefijo está asociado a una potencia específica de 10, y su aplicación se entenderá claramente al introducir el concepto de notación científica y factor de conversión (BIPM, 2006).
(10.1) Unidad base matemática
Generalmente, la congruencia entre la unidad base, su implementación física y su expresión matemática es evidente, a excepción de la unidad de masa, el kilogramo. En este caso, la unidad base y su implementación física están en consonancia, pero su empleo matemático difiere. Con el propósito de la formulación matemática de la masa, se adopta el gramo como unidad base, siendo modificado mediante la aplicación de prefijos. (BIPM, 2006). No obstante, es crucial destacar que esta adaptación se efectúa en el ámbito de la matemática aplicada a la masa, preservando la coherencia con las normativas establecidas por el Bureau International des Poids et Mesures (BIPM).
(10.2) Medidas largas
Estas unidades encuentran aplicación en situaciones donde la magnitud de nuestra unidad base es diminuta, como, por ejemplo, cuando se pretende medir la distancia recorrida en un vehículo automotor. La elección del automóvil como analogía resulta pertinente en este contexto. A continuación, se utilizarán las unidades de distancia, particularmente el metro, como ejemplos ilustrativos para elucidar este concepto. En el caso de mediciones de distancias relativamente cortas, el metro se revela como una unidad base conveniente. No obstante, en circunstancias donde la escala de las mediciones se vuelve más diminuta, surgen las necesidades de emplear unidades derivadas, las cuales se adaptan a la magnitud específica del fenómeno en cuestión. Este ajuste es esencial para garantizar la precisión y la relevancia de las mediciones realizadas en el ámbito de la ciencia y la ingeniería. Además, la selección adecuada de unidades derivadas permite expresar las cantidades medidas de manera más comprensible y eficiente en contextos específicos.
Tabla 10‑1. Prefijos modificadores para medidas largas.
| Nombre | Prefijo | Potencia | Fracción |
|---|---|---|---|
| Yotta | Y | \(10^{24}\) | 1 000 000 000 000 000 000 000 000 |
| Zetta | Z | \(10^{21}\) | 1 000 000 000 000 000 000 000 |
| Exa | E | \(10^{18}\) | 1 000 000 000 000 000 000 |
| Peta | P | \(10^{15}\) | 1 000 000 000 000 000 |
| Tera | T | \(10^{12}\) | 1 000 000 000 000 |
| Giga | G | \(10^9\) | 1 000 000 000 |
| Mega | M | \(10^6\) | 1 000 000 |
| Kilo | k | \(10^3\) | 1 000 |
| Hecto | h | \(10^2\) | 100 |
| Deca | da | \(10\) | 10 |
Para cuantificar distancias en el orden de las decenas (da), nos referimos a magnitudes como la altura de edificios medianos o distancias recorridas a pie. Esta escala resulta aplicable en contextos urbanos y actividades cotidianas. Al adentrarnos en el ámbito de las centenas (h), las mediciones se amplían a distancias considerables, como la altura de edificaciones notables. Un ejemplo paradigmático es el Burj Khalifa en Dubai, con una altura de 829.8 metros (o 8.298 hectómetros) en su punto más elevado, contrastado con las extintas Torres Gemelas de Estados Unidos, que medían 526.3 metros (o 5.263 hectómetros).
El uso de kilómetros (k) abarca medidas que alcanzan magnitudes de miles de metros. Esta escala se emplea comúnmente para describir recorridos extensos, como en el caso de la media maratón de Bogotá, con recorridos de 10 y 21 kilómetros. La mítica carrera de Filípides, desde Maratón hasta Atenas, que abarcaba 213 kilómetros, sirve como un ejemplo histórico relevante.
El salto a millones (M) lleva las mediciones a escalas geográficas significativas. Un megámetro puede representar distancias entre grandes ciudades, como la separación entre Sevilla y Barcelona en España. Las unidades de gigámetros (G) encuentran aplicación en mediciones astronómicas, como la distancia Tierra-Sol, que es de aproximadamente 150 gigámetros.
Los terámetros (T) son idóneos para medir distancias interestelares, como las distancias entre planetas y el Sol. Entre el Sol y Saturno hay 1.4 terámetros, mientras que entre el Sol y Neptuno la distancia se extiende a 4.4 terámetros. A mayores escalas, el petámetro (P) se emplea para medir distancias en el orden de miles de billones de metros, un ejemplo sería el tiempo que la luz tarda en recorrer dicha distancia, algo que toma poco más de un mes.
Los equitrillones (E) permiten abordar distancias cósmicas, equivaliendo a aproximadamente 100 años luz. En comparación, la estrella más cercana a nuestro sistema solar, Próxima Centauri, se encuentra a 4.22 años luz. Los zettametros (Z) son apropiados para mediciones a escala galáctica, siendo la distancia de la Vía Láctea de aproximadamente un zettametro. Las distancias intergalácticas se exploran con unidades de yottametros (Y), siendo capaces de medir extensiones astronómicas entre galaxias. Finalmente, los brontometros (Br) se reservan para las mayores distancias en el universo conocido, como las distancias entre cúmulos de galaxias y supercúmulos.
(10.3) Medidas cortas
Se recurre a las medidas de escala reducida con el propósito de cuantificar magnitudes de dimensiones inferiores a la unidad base. A continuación, se utilizarán las unidades de distancia como ejemplos ilustrativos para contextualizar esta práctica. En el ámbito de las mediciones más precisas, se adoptan unidades de escala inferior a la unidad base, resultando en la utilización de submúltiplos que facilitan la descripción de fenómenos y objetos de menor envergadura. Esta metodología es particularmente aplicable en disciplinas científicas, ingeniería y otras áreas donde la precisión y la discriminación detallada son esenciales. Tomando las unidades de distancia como paradigma, la elección de unidades más cortas que el metro, como el decímetro (dm), el centímetro (cm) y el milímetro (mm), permite una representación más acotada y específica de longitudes, adecuada para mediciones precisas en diversas situaciones. Estas unidades, al ser submúltiplos del metro, posibilitan una mayor granularidad en la cuantificación de distancias, facilitando la expresión de dimensiones más pequeñas de manera clara y concisa.
Tabla 10‑2. Prefijos modificadores para medidas largas.
| Nombre | Prefijo | Potencia | Fracción |
|---|---|---|---|
| Deci | d | \(10^{-1}\) | 0.1 |
| Centi | c | \(10^{-2}\) | 0.01 |
| Mili | m | \(10^{-3}\) | 0.001 |
| Micro | µ | \(10^{-6}\) | 0.000001 |
| Nano | n | \(10^{-9}\) | 0.000000001 |
| Pico | p | \(10^{-12}\) | 0.000000000001 |
| Femto | f | \(10^{-15}\) | 0.000000000000001 |
| Atto | a | \(10^{-18}\) | 0.000000000000000001 |
| Zepto | z | \(10^{-21}\) | 0.000000000000000000001 |
| Yocto | y | \(10^{-24}\) | 0.000000000000000000000001 |
Para cuantificar magnitudes en fracciones de la unidad base, se recurre a medidas de menor escala. En el contexto de la longitud, las unidades que representan fracciones cada vez más diminutas incluyen las décimas (d), que se aplican, por ejemplo, en reglas escolares midiendo poco más de 3 décimas de centímetro o 2 decímetros. La escala continúa con las centésimas (c), donde el centímetro se convierte en el estándar de medida común para estudiantes, reflejándose en cuadernos cuadriculados con cuadros que miden entre 0.5 y 1 centímetro.
A medida que descendemos en la escala, las milésimas (m) plantean desafíos adicionales, representando la unidad más pequeña con la que las personas ordinarias interactúan, siendo también la subdivisión más minúscula de una regla escolar. Posteriormente, las millonésimas (µ) se introducen con el micrómetro, que permite medir objetos microscópicos como células musculares (10 a 100 micrómetros) y bacterias como Escherichia coli (2 micrómetros). Además, se aplica a longitudes de onda, como la luz infrarroja, medida en micrómetros.
Al avanzar hacia medidas aún más diminutas, las mil millonésimas (n) encuentran aplicación en el nanómetro, siendo esenciales para medir escalas atómicas y estructuras celulares extremadamente pequeñas. Por ejemplo, el diámetro de la nube de probabilidades electrónicas del helio es de aproximadamente 0.1 nanómetros. Las billonésimas (p), o picómetros, se utilizan en disciplinas como física de partículas, química y acústica. Estas mediciones abarcan desde dimensiones de nubes de probabilidades electrónicas de átomos hasta enlaces químicos, donde el enlace simple entre carbonos se mide alrededor de 154 picómetros.
La escala continúa con las mil billonésimas (f), conocidas como fermis, honrando a Enrico Fermi. Estas unidades se aplican a mediciones en el ámbito subatómico, especialmente en las dimensiones de los núcleos atómicos, expresadas en femtómetros. Ingresamos al reino cuántico con las trillonésimas (a), y a partir de las mil trillonésimas (z) y cuatrillonésimas (y), nos adentramos en medidas teóricas sin aplicación práctica conocida hasta la fecha. Estas últimas representan escalas extremadamente diminutas, típicamente asociadas con el estudio de partículas fundamentales del universo.
(10.4) Algunos detalles a tener en cuenta
El uso de prefijos en las medidas tiene sus raíces en la introducción del sistema métrico en 1799, mucho antes de su incorporación oficial por parte del Sistema Internacional de Unidades (SI) en 1960. Algunos de estos prefijos, como centi- o quilo-, son de antigua data, y su adopción por el SI no alteró significativamente las prácticas cotidianas de las personas. Es relevante señalar que estos prefijos también pueden ser aplicados a unidades no oficiales, como las milidinas, indicando la flexibilidad del sistema.
En el ámbito de la masa, las unidades de medida varían desde las cortas hasta el kilogramo, siendo de uso común en aplicaciones cotidianas y científicas. Sin embargo, a partir del megagramo, se prefiere emplear la tonelada métrica para objetos de gran masa. En lo que respecta al volumen, se tiende a utilizar litros para mediciones más cortas y metros cúbicos para aquellas de mayor magnitud. Esta práctica simplifica la expresión y comprensión de volúmenes tanto en contextos diarios como científicos.
La medición de distancias involucra unidades como el micrómetro, que ocasionalmente se denomina micrón, y el femtómetro, conocido como fermi. Históricamente, ha existido unidades como el Armstrong, empleado por químicos y equivalente a 0.1 nm. En medidas astronómicas de gran magnitud, se evita el uso del metro, optando por unidades como las astronómicas, los años luz y los parsecs. En el ámbito temporal, el segundo es ampliamente utilizado para mediciones cortas, incluso fuera de contextos científicos. Sin embargo, en mediciones temporales más extensas, se prefieren unidades como minutos, horas, días y años en lugar de basarse en el segundo. En la medición de ángulos, el grado es preferido al radian, subdividiéndose en arcos minutos y arcos segundos, en lugar de recurrir a divisiones decimales.
En lo que respecta a la temperatura, es crucial considerar el tipo de unidad utilizado. En el caso de Celsius o centígrados, el prefijo debe preceder al símbolo de grado (por ejemplo, miligrado Celsius se expresa como m °C). No obstante, en grados Kelvin, no es necesario incluir el símbolo de grado, expresándose simplemente como milikelvin (mK). Estas convenciones son esenciales para una comunicación precisa en el ámbito científico y técnico (BIPM, 2006).
(11) Lenguaje del sistema internacional de unidades
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En 1947, la novena Conferencia General de Pesas y Medidas aprobó recomendaciones fundamentales para la escritura de los símbolos en el sistema métrico. Estas recomendaciones se erigieron como la base normativa para la representación de unidades en el Sistema Internacional de Unidades (SI). Posteriormente, dichas normas fueron adoptadas y aplicadas por la Organización Internacional de Estandarización (ISO) y la Comisión Internacional Electrotécnica (IEC). Estas entidades, reconocidas a nivel internacional por su papel en la estandarización, contribuyeron al establecimiento y la consolidación de las reglas para la notación de unidades en el contexto del sistema métrico y, más específicamente, en el marco del SI.
En un hito significativo de colaboración, en agosto de 2013, la ISO y la IEC llevaron a cabo la unificación de sus estándares, resultando en la publicación conjunta de la norma ISO/IEC 80000. Este documento consolida las pautas y normativas para la escritura y notación de símbolos en el ámbito internacional, proporcionando una guía coherente y unificada para la comunidad científica, tecnológica y de medición. La norma ISO/IEC 80000, derivada de las recomendaciones originalmente establecidas en 1947, representa un esfuerzo continuo para mantener la coherencia y la uniformidad en la comunicación de unidades y medidas en todo el mundo. Su adopción y aplicación contribuyen a la precisión y la consistencia en el lenguaje de las ciencias y la ingeniería a nivel global.
(11.1) Nombres de las unidades
Los nombres de las unidades, siguiendo convenciones científicas, se expresan como sustantivos comunes, lo que implica que deben escribirse con letras minúsculas, incluso cuando estos nombres rinden homenaje a distinguidos científicos. Así, al referirnos a Newton con mayúscula, aludimos al apellido de Isaac Newton, el ilustre científico; en contraste, al escribir newton con minúscula, nos referimos a las unidades de fuerza básicas en el sistema internacional de medidas.
Para las unidades vinculadas al símbolo de grado, se mantiene la expresión del nombre, ya sea grados (°) o grados centígrados (°). Sin embargo, es importante destacar que, en la actualidad, la unidad Kelvin ya no se antecede por el término "grado". En consecuencia, se expresa simplemente como kelvin (K), indicando la temperatura en la escala absoluta. Esta normativa contribuye a la precisión y consistencia en la notación de unidades, promoviendo un estándar claro y universalmente aceptado en el ámbito científico.
La pronunciación y la denominación de cada unidad pueden ajustarse a las convenciones locales de cada idioma. Por ejemplo, el término "litro" puede ser escrito como "liter" o "litre", dependiendo de las características lingüísticas específicas. Esta flexibilidad en la expresión de las unidades permite adaptarse a las peculiaridades fonéticas y ortográficas de las distintas lenguas.
Al pluralizar las unidades, como en el caso de "varios metros", se aplican las reglas locales de cada idioma para llevar el sustantivo al plural. En el contexto del español, este proceso se realiza típicamente mediante la adición de la letra "s" al final del sustantivo en la mayoría de los casos. Esta variación en la forma plural de las unidades responde a las normas gramaticales de cada lengua y subraya la flexibilidad del sistema de medidas para acomodarse a las particularidades lingüísticas regionales.
Ante la necesidad de abordar decisiones delicadas, como en el caso de la unidad de medida Newton, se aplicará la siguiente convención. Los nombres con terminación consonante, originarios de lenguas extranjeras y no completamente integrados, forman su plural añadiendo directamente una -s a la consonante final, como en el caso de "salacot" (plural: "salacots") o "complot" (plural: "complots"). Aquellos términos finalizados en -r, de incorporación más sencilla, generalmente adoptan el plural en -es, por ejemplo, "bar" (plural: "bares") o "yogur" (plural: "yogures"). Aplicando esta normativa, el plural para "Newton" será "newtons". En situaciones similares, como el término "Hertz", que presenta una decisión compleja, se recurre al sinónimo singular "hercio", adoptando el plural como "hercios". No obstante, este enfoque puede plantear casos adicionales que requieren consideración cuidadosa.
(11.2) Escritura de los símbolos
Aunque los nombres de las unidades de medida están intrínsecamente vinculados al idioma local, la representación escrita de estas unidades y sus magnitudes debe mantenerse consistente a nivel mundial. La uniformidad en la notación es esencial para preservar la integridad del tratado del metro, asegurando su aplicabilidad universal. Se espera que las siguientes reglas ideales se apliquen en la redacción de documentos formales, ya sea mediante procesadores de texto o escritos a mano. A pesar de la falta de conocimiento generalizado sobre estas reglas, es beneficioso esforzarse por adherirse a ellas, dada su importancia en la promoción de una comunicación clara y coherente en el ámbito científico y técnico a nivel global.
En la notación, el valor de la magnitud es seguido por un espacio que representa el signo de multiplicación, seguido por el símbolo de la unidad. Por ejemplo, 70 kg, 7.3 m, 22 K. Esta regla se extiende al símbolo porcentual (%), pero excluye los símbolos de medida de arcos, ya sean grados, arcos minutos o arcos segundos (°, ′, ″), en los cuales no se deja espacio.
Los símbolos son considerados términos algebraicos y no acrónimos, por lo que no se les agrega un punto final, a menos que marque el final de una oración o un párrafo.
Los prefijos decimales se consideran parte integral de la unidad, implicando que no se deja espacio con respecto al símbolo base y se tratan como un todo individual, por ejemplo, "k" en "km", "M" en "MPa" o "G" en "GHz". Los prefijos compuestos no están permitidos.
Cuando expresamos un compuesto generado por una unidad derivada, se debe emplear un punto central o un espacio para evitar confusiones con un símbolo decimal, por ejemplo, "N·m" o "N m".
Los símbolos de unidades derivadas que implican divisiones se representan con "/" o con exponente negativo, como en "(m/s)".
En situaciones en las que se escribe en un renglón, como en Word o un blog, se debe evitar colocar más de un "/", ya que esto puede resultar confuso, manteniendo así la claridad en la notación y su interpretación..
Si el símbolo de una unidad deriva del apellido de un científico célebre, se escribe en mayúscula, o, si consta de más de una letra, se coloca la primera en mayúscula y las demás en minúscula. Por ejemplo, el pascal (Pa) rinde homenaje a Blaise Pascal. La única excepción es el litro, cuya representación puede ser en mayúscula (L) o minúscula (l), ambas son aceptables, pero por convención se utiliza (L) cuando no está acompañado de un prefijo decimal, y (l) cuando sí lo está, como en mililitros (ml). Se recomienda el uso de (L) mayúscula para evitar confusiones con el número 1.
Los símbolos de las unidades nunca se expresan en plural. Por ejemplo, "25 kg" se pronuncia "kilogramos", pero el símbolo nunca se escribe como "kgs", ya que esto podría generar confusiones con el símbolo de la unidad de tiempo, el segundo (s).
Las mayúsculas y minúsculas en los símbolos de unidades tienen significado, por lo que es imperativo seguir las recomendaciones de las listas. Por ejemplo, las unidades "mW" y "MW" difieren en órdenes de magnitud considerables y, por lo tanto, no son intercambiables. La unidad "miliwatt" (mW) representa la potencia típica de un audífono, mientras que "megawatt" (MW) indica la potencia necesaria para mover un tren. Este distingo es crucial para aquellos que escriben exclusivamente en mayúsculas.
El separador decimal puede ser un punto (.) o una coma (,). En la práctica, el punto se emplea comúnmente en los países angloparlantes y en Asia, mientras que la coma se utiliza en la zona europea y Latinoamérica. Independientemente de la elección, es crucial mantener la consistencia. Para aquellos propensos a olvidar qué patrón están empleando, se aconseja utilizar exclusivamente el símbolo punto o coma para separar los decimales, mientras que para los conjuntos de tres dígitos, como miles, se representen con un espacio, como en "1 000".
Para separar los tres ceros con valor a la derecha, se emplea un espacio en lugar de puntos o tildes, con el objetivo de prevenir posibles confusiones. Es importante destacar que esta convención contribuye a mantener la claridad en la representación numérica.
Dada la variabilidad en las definiciones de "billón" y "trillón" en distintos idiomas, se recomienda discontinuar el uso de unidades como partes por millón y partes por trillón en el contexto de la masa, a fin de evitar ambigüedades y asegurar la coherencia en la comunicación científica.
En un procesador de texto, los símbolos de unidad y las variables deben ser claramente distinguibles. Las unidades se expresarán en fuente simple (m, s, kg, A), mientras que los símbolos de variables se presentarán en cursiva o en un estilo de texto similar al itálico \(x\), \(t\), \(m\), \(I\).
Los símbolos de unidad deben tener un tamaño ligeramente más pequeño que el de los numerales arábigos, y la altura de los exponentes deberá ser casi idéntica a la altura de los numerales arábigos utilizados para representar las magnitudes.
Aunque, por lo general, todo se escribe en negro sólido, en el contexto de objetivos didácticos, se ha optado por emplear un código de color arbitrario. Esta elección puede resultar especialmente útil durante el análisis dimensional algebraico para resaltar y facilitar la identificación de diferentes componentes.
En unidades compuestas no lineales, como cm², es crucial tener en cuenta que la potencia afecta tanto a la unidad como al prefijo decimal. Esta consideración es esencial para garantizar la correcta interpretación y aplicación de las unidades en el contexto de las magnitudes físicas.
Química de Brown 13 Ejercicio 1.4. Identifique cada uno de los siguientes como medidas de longitud, área, volumen, masa, densidad, tiempo o temperatura: (a) 25 ps, (b) 374,2 mg, (c) 77 K, (d) 100 000 km2, (e) 1.06 mm, (f) 16 nm2, (g) -78 °C, (h) 2.56 g/cm3, (i) 28 cm3.
(12) El sistema imperial Británico
Inicio: ⟨Cursos⟩: ⟨Física⟩: {Preliminares}: [El informe de laboratorio] [Unidades y medidas]: (1 Introducción) (2 La medición y el método científico) (3 ¿Qué son las unidades de medición?) (4 Historia de la medición) (5 Sistema métrico decimal) (6 Viejo sistema internacional de unidades) (7 Unidades fundamentales) (8 El nuevo sistema internacional, 2019) (9 Unidades derivadas) (10 Prefijos decimales y notación exponencial) (11 Lenguaje del sistema internacional de unidades) (12 El sistema imperial Británico) (13 Cifras significativas) (14 Operaciones con cifras significativas) (15 Notación científica) (16 Conversiones de unidades) (17 La regla de tres analítica) (18 Análisis dimensional) (Referencias bibliográficas)
El sistema imperial de unidades, sistema imperial, unidades imperiales, unidades Británicas, sistema Imperial Británico, unidades inglesas o Estándares de Hacienda de 1826 (Hosch, 2010), es el sistema de unidades definido por primera vez en la Ley de Pesas y Medidas Británicas de 1824 y continuó desarrollándose a través de una serie de Leyes y enmiendas de Pesos y Medidas.
El sistema imperial se desarrolló a partir de unidades inglesas anteriores, al igual que el sistema relacionado pero diferente de unidades tradicionales de los Estados Unidos. Las unidades imperiales reemplazaron a los Estándares de Winchester, que estuvieron vigentes desde 1588 hasta 1825 (Chaney, 1897). El sistema entró en uso oficial en todo el Imperio Británico en 1826.
A finales del siglo XX, la mayoría de las naciones del antiguo imperio habían adoptado oficialmente el sistema métrico como su principal sistema de medición, pero las unidades imperiales todavía se utilizan junto con las unidades métricas en el Reino Unido y en algunas otras partes del antiguo imperio, especialmente Canadá, Estados y Unidos de América.
El sistema imperial se fundamenta en las mediciones históricas y la necesidad de tener pesos y medidas que permitieran la venta de bienes y servicios para operar de manera eficiente al interior de las fronteras del Imperio Británico. Por ejemplo, el pie, una medida de unos 30 cm de longitud (o la longitud de una regla estándar), fue definido por primera vez en la ley por Eduardo I “el zanquilargo” en 1305, y se cree que se deriva de la longitud del pie de un hombre con zapatos.
Para aquellos que no han sido educados usando el sistema imperial para medir, puede parecer una forma muy difícil de medir las cosas. No opera en un sistema de unidades base y prefijos estándar, como el SI, por lo que esto significa que hay muchas relaciones diferentes para recordar para cada conjunto de medidas. Estos tampoco se basan en el número diez (como el SI), por lo que los cálculos y conversiones entre unidades no son tan sencillos.
(12.1) Orígenes
El sistema imperial británico evolucionó a partir de las miles de unidades locales romanas, celtas, anglosajonas y tradicionales empleadas en la Edad Media. Los nombres tradicionales como libra, pie y galón se usaban ampliamente, pero los valores así designados variaban con el tiempo, el lugar, el comercio, las especificaciones del producto y docenas de otros requisitos (Augustyn, 2021).
Los primeros estándares reales establecidos para imponer la uniformidad tomaron el nombre de Winchester, en honor a la antigua capital de Gran Bretaña, donde el rey sajón del siglo X, Edgar “el Pacifico”, mantuvo una medida de celemín real y muy posiblemente otras. Los estatutos del siglo XIV registraron una yarda (tal vez basado originalmente en una vara o palo) de 3 pies, cada pie contenía 12 pulgadas, cada pulgada equivale a la longitud de tres granos de cebada (empleados simplemente como un dispositivo de aprendizaje ya que el estándar real era el espacio entre dos marcas en una barra de jardín). También se especificaron unidades de capacidad y peso (Augustyn, 2021)
A finales del siglo XV, el rey Enrique VII reafirmó los estándares habituales de Winchester en cuanto a capacidad y longitud y distribuyó los estándares reales (encarnaciones físicas de las unidades aprobadas) por todo el reino. Este proceso se repitió aproximadamente un siglo después, durante el reinado de la reina Isabel I (Augustyn, 2021)
En el siglo XVI, la vara (5.5 yardas o 16.5 pies) se definió (una vez más como un dispositivo de aprendizaje y no como un estándar) como la longitud del los pies izquierdos de 16 hombres alineados con los talones con los pies al salir de la iglesia. Para el siglo XVII, el uso y el estatuto habían establecido el acre, la vara y el estadio en sus valores actuales (4.840 yardas cuadradas, 16.5 pies y 660 pies, respectivamente), junto con otras unidades históricas. Las diversas libras comerciales de uso común se redujeron a solo dos: la libra troy, principalmente para metales preciosos, y la libra avoirdupois, para otros bienes vendidos por peso (Augustyn, 2021).
(12.2) Establecimiento
La Ley de Pesos y Medidas de 1824 y la Ley de 1878 establecieron el Sistema Imperial Británico basándose en definiciones precisas de unidades existentes seleccionadas. La ley de 1824 instituyó un único galón imperial para reemplazar los galones de vino, cerveza y maíz (trigo) que entonces estaban en uso general. El nuevo galón se definió como equivalente en volumen a 10 libras avoirdupois de agua destilada pesadas a 62 °F, con el barómetro a 30 pulgadas, o 277.274 pulgadas cúbicas (luego corregido a 277.421 pulgadas cúbicas) (Augustyn, 2021).
Las dos nuevas unidades estándar básicas fueron la yarda estándar imperial y la libra troy, esta última posteriormente restringida a la medición de drogas, metales preciosos y joyas. Una ley de 1963 abolió medidas arcaicas como la vara y el caldero (una medida de carbón equivalente a 36 bushels) y redefinió la yarda y la libra estándar como 0.9144 metros y 0.45359237 kg, respectivamente. El galón actualmente equivale al espacio ocupado por 10 libras de agua destilada con una densidad de 0.998859 gramos por mililitro, medida en aire con una densidad de 0.001217 gramos por mililitro, contra pesos de densidad 8.136 gramos por mililitro (Augustyn, 2021).
Mientras que los británicos llevaban a cabo reformas en sus pesos y medidas en el siglo XIX, los estadounidenses simplemente estaban adoptando unidades basadas en aquellas descartadas por la Ley de 1824. El galón estadounidense estándar se fundamenta en el galón de vino Queen Anne, que tenía un volumen de 231 pulgadas cúbicas, y es aproximadamente un 17 por ciento más pequeño que el galón imperial británico. De manera similar, el bushel estadounidense, con un volumen de 2150.42 pulgadas cúbicas, derivado del bushel de Winchester abandonado en Gran Bretaña, es aproximadamente un 3 por ciento más pequeño que el bushel imperial británico (Augustyn, 2021).
En el sistema británico, las unidades de capacidad líquida y seca son iguales, mientras que en los Estados Unidos difieren significativamente. Por ejemplo, la pinta líquida y seca en Gran Bretaña equivale a 0.568 decímetros cúbicos, mientras que la pinta líquida en los Estados Unidos es de 0.473 decímetros cúbicos y la pinta seca en los Estados Unidos es de 0.551 decímetros cúbicos (Augustyn, 2021). Estas divergencias en las unidades subrayan las diferencias históricas y contextuales en la evolución de los sistemas de medidas en ambos países.
Las unidades británicas y estadounidenses de medida lineal y peso comparten similitudes esenciales, si bien existen excepciones notables. Entre ellas se encuentra la "piedra británica", que equivale a 14 libras y no se utiliza en los Estados Unidos. Además, se observa una discrepancia en la definición del quintal, siendo de 100 libras en los Estados Unidos y de 112 libras en Gran Bretaña, resultando en dos toneladas distintas: la tonelada estadounidense corta de 2000 libras y la tonelada británica larga de 2240 libras.
En 1959, las principales naciones de habla inglesa adoptaron definiciones métricas estandarizadas para la pulgada (2.54 cm), la yarda (0.9144 metros) y la libra imperial (0.4536 kg) (Augustyn, 2021). A continuación, se presenta una tabla que describe algunas de las unidades imperiales más comunes, detallando sus equivalencias y aplicaciones específicas.
Tabla 12‑1. Tabla de unidades imperiales de masa. A parte de las unidades imperiales colocaremos algunos equivalentes métricos importantes. También marcamos algunas unidades de uso común debido a la confusión con sus sinónimos.
Unidad | Símbolo | Definición | Equivalencia con SI |
Tonelada “ton” corta Avoirdupois | ton | 20 quintales cortos, o 2000 libras | 9.07 x 105 g |
Tonelada “ton” larga Avoirdupois | ton | 20 quintales largos o 2240 libras | 1.016 x 106 g |
Tonelada métrica | ton | Kilogramo patrón | 106 g |
Quintal “hundredweight” corto Avoirdupois |
| 100 libras o 0.05 toneladas cortas | 4.5359 x 104 g |
Quintal “hundredweight” largo Avoirdupois |
| 112 libras o 0.05 toneladas largas | 5.0802 x 104 g |
Quintal métrico “hundredweight” |
| 105 g | 105 g |
Libra imperial “pound” Avoirdupois | lb | 16 onzas o 7000 granos | 453.592 g |
Libra imperial “pound” Troy | lb t | 12 onzas, 240 centavos o 5760 granos | 373 g |
Libra métrica “pound” | lb | 500 g | 500 g |
Onza imperial “ounce” Avoirdupois | oz | 16 dracmas, 437.5 granos o 0.0625 libras | 28.350 g |
Onza imperial “ounce” Troy | oz t | 20 centavos, 480 granos o 0.083 libras | 31.103 g |
Onza métrica “ounce” | oz | 25.000 g | 25.000 g |
Dracma “dram” Avoirdupois | dr | 27.344 granos o 0.0625 onzas | 1.772 g |
Grano “grain” Avoirdupois | gr | 0.037 dram o 0.002286 onzas | 0.0648 g |
Piedra “stone” Avoirdupois | st | 0.14 quintales corto, o 14 libras | 6.350 x 103 g |
Tabla 12‑2. Tabla de unidades de volumen líquido en Estados Unidos
Unidad | Símbolo | Definición | Equivalencia con SI |
Galón | gal | 4 cuartos | 3.785 L |
Cuarto | qt | 2 pintas | 0.946 L |
Pinta | pt | 4 gills | 0.473 L |
Gill | gi | 4 onzas líquidas | 118.294 mL |
Onza líquida | fl oz | 8 dracmas líquidos | 29.573 mL |
Dracma líquido | fl dr | 60 mínimas | 3.697 mL |
Mínima | min | 1/60 dracmas líquidos | 0.061610 mL |
Tabla 12‑3. Tabla de unidades de volumen seco en Estados Unidos
Unidad | Símbolo | Definición | Equivalencia con SI |
Celemín “bushel” | bu | 4 pecks | 35.239 L |
Peck | pk | 8 cuartos | 8.810 L |
Cuarto seco | qt | 2 pintas | 1.101 L |
Pinta seca | pt | ½ cuarto | 0.551 L |
Tabla 12‑4. Tabla de unidades de volumen británicas
| Unidad | Símbolo | Definición | Equivalencia con SI |
Celemín “bushel” | bu | 4 pecks | 36 L |
Peck | pk | 2 galones | 9.1 L |
Galón imperial | gal | 4 cuartos | 4.546 L |
Cuarto imperial | qt | 2 pintas | 1.135 L |
Pinta | pt | 4 gills | 568.26 mL |
Gill | gi | 5 onzas fluidas | 142.066 mL |
Onza fluida | fl oz | 8 dracmas fluidos | 28.412 mL |
Dracma fluido | fl dr | 60 minimas | 3.5516 mL |
Mínima | min | 1/60 dracma fluido | 0.059194 mL |
Yarda cúbica | yd3 | 27 pies cúbicos o 46656 pulgadas cúbicas | 765 L |
Pie cúbico | ft3 | 1728 pulgadas cúbicas, o 0.0370 yardas cúbicas | 28.3168 L |
Pulgada cúbica | in3 | 0.00058 pie cúbico, o 0.000021 yarda cúbica | 16.387 mL |
Pie-acre | ac-ft | 43560 pies cúbicos o 1613 yardas cúbicas | 1.233 x 106 L |
Pie de tabla | bd-ft | 144 pulgadas cúbicas o 1/12 de pie cúbico | 2.36 L |
Cable | cd | 28 pies cúbicos | 3.620 x103 L |
Tabla 12‑5. Tabla de unidades imperiales de distancia.
Unidad | Símbolo | Definición | Equivalencia con SI |
Milla náutica | nmi | 6076 pies o 1.151 millas | 1852 m |
Milla | mi | 5280 pies, 1760 yardas o 320 cañas | 1609 m |
Furlong | fur | 660 pies, 220 yardas o 1/8 de milla | 201 m |
Vara “rod” | rd | 5.50 yardas o 16.5 pies | 5.029 m |
Braza “fathom” | fth | 6 pies o 72 pulgadas | 1.829 m |
Yarda | yd | 3 pies o 36 pulgadas | 0.9144 m |
Pie | ft | 12 pulgadas o 0.333 yardas | 30.48 cm |
Pulgada “inch” | in | 0.083 pies o 0.028 yardas | 2.54 cm |
Tabla 12‑6. Tabla de unidades imperiales de área.
Unidad | Símbolo | Definición | Equivalencia con SI |
Milla cuadrada | mi2 | 640 acres, o 102,400 varillas cuadradas | 2.590 km2 |
Acre |
| 4840 yardas cuadradas o 43560 pies cuadrados | 4047 m2 |
Cara cuadrada | rd2 | 30.25 yardas cuadradas, o 0.00625 acres | 25.293 m2 |
Yarda cuadrada | yd2 | 1296 pulgadas cuadradas o 9 pies cuadrados | 0.836 m2 |
Pie cuadrado | ft2 | 144 pulgadas cuadradas o 0.111 yardas cuadradas | 0.093 m2 |
Pulgada cuadrada | in2 | 0.0069 pies cuadrados, o 0.00077 yardas cuadradas | 6.452 cm2 |
(12.3) Encarnaciones de las unidades imperiales
La Ley del Parlamento de 1824 estableció definiciones para la yarda y la libra, vinculándolas a estándares prototipo. Además, la legislación definió valores para ciertas constantes físicas, anticipando la necesidad de recrear los estándares en caso de daño. En el caso de la yarda, se definió como la longitud de un péndulo que oscila segundos en la latitud de Greenwich, al nivel medio del mar en vacío, con una extensión de 39.01393 pulgadas. Respecto a la libra, se estableció que la masa de una pulgada cúbica de agua destilada, bajo una presión atmosférica de 30 pulgadas de mercurio y a una temperatura de 62 ° Fahrenheit, equivalía a 252458 granos, con 7000 granos por libra (Rickards, 1817).
Tras la destrucción de los prototipos originales durante el incendio de las Casas del Parlamento en 1834, resultó impracticable recrear los estándares según estas definiciones. Por lo tanto, en 1855 se promulgó una nueva Ley de Pesos y Medidas (Victoria 18 y 19, Cap. 72) que autorizó la reconstrucción de los prototipos a partir de estándares secundarios reconocidos. Este acto legislativo permitió mantener la integridad y confiabilidad de los estándares de medida, asegurando su continua utilidad y aplicabilidad.
(12.4) Relaciones con otros sistemas ingleses
El sistema imperial se sitúa como uno de los múltiples sistemas de unidades inglesas. La definición de la mayoría de las unidades abarca más de un sistema, y ciertas unidades subsidiarias se emplean de manera más extensa o para propósitos específicos en una región en comparación con otra. Las distinciones entre los sistemas a menudo carecen de precisión clara.
Una de estas distinciones se observa entre el sistema imperial y las unidades o sistemas británicos/ingleses más antiguos, así como con las adiciones más recientes relacionadas con las definiciones de los Estados Unidos de América. Es esencial destacar que el término "imperial" no debe ser aplicado a las unidades inglesas prohibidas por la Ley de Pesas y Medidas de 1824 o anteriores, ni a aquellas que habían caído en desuso en ese período. Tampoco se debe utilizar para hacer referencia a las invenciones posimperiales, como la "babosa" o el "pounda". Estas precisiones ayudan a mantener la claridad conceptual en la comprensión y aplicación de los sistemas de unidades en contextos históricos y contemporáneos.
El sistema de unidades utilizado comúnmente en los Estados Unidos tiene sus raíces en las unidades inglesas que estaban en vigencia durante el establecimiento inicial de América del Norte desde Inglaterra en el siglo XVII. Dado que Estados Unidos logró la independencia de Gran Bretaña antes del siglo XIX, las unidades de medida tradicionales estadounidenses no se vieron afectadas por la introducción del sistema imperial por parte de Gran Bretaña en 1824. Este hecho ha contribuido a la persistencia y continuidad de las unidades de medida tradicionales en el contexto estadounidense, estableciendo una base duradera para su uso en la actualidad.
(13) Cifras significativas
Inicio: ⟨Cursos⟩: ⟨Física⟩: {Preliminares}: [El informe de laboratorio] [Unidades y medidas]: (1 Introducción) (2 La medición y el método científico) (3 ¿Qué son las unidades de medición?) (4 Historia de la medición) (5 Sistema métrico decimal) (6 Viejo sistema internacional de unidades) (7 Unidades fundamentales) (8 El nuevo sistema internacional, 2019) (9 Unidades derivadas) (10 Prefijos decimales y notación exponencial) (11 Lenguaje del sistema internacional de unidades) (12 El sistema imperial Británico) (13 Cifras significativas) (14 Operaciones con cifras significativas) (15 Notación científica) (16 Conversiones de unidades) (17 La regla de tres analítica) (18 Análisis dimensional) (Referencias bibliográficas)
Cuando se lleva a cabo una medición, se utiliza un instrumento de medición específico. Por ejemplo, se puede emplear un metro para medir una altura, una balanza para determinar un peso o un termómetro para evaluar una temperatura. Los valores medidos directamente generalmente requieren ser utilizados en cálculos matemáticos, los cuales no siempre resultan en números enteros. Para controlar la precisión de los resultados obtenidos en dichos cálculos, se aplican reglas específicas denominadas colectivamente como cifras significativas.
Las cifras significativas constituyen un conjunto de valores que poseen un significado real dentro del número en cuestión. Previo a adentrarse en la manipulación de cifras significativas en operaciones matemáticas, resulta fundamental adquirir la capacidad de reconocerlas en diversos tipos de números. Este reconocimiento facilita la correcta aplicación de las reglas asociadas con las cifras significativas, contribuyendo así a la exactitud y relevancia de los resultados obtenidos en el contexto de la medición y el análisis científico.
(13.1) Números exactos e inexactos
La viabilidad del redondeo está intrínsecamente vinculada al tipo de número que se enfrenta en una determinada situación.
(13.1.1) Números exactos
Un número exacto, por definición, representa un valor conocido con certeza absoluta, caracterizado por una ausencia total de incertidumbre y un número infinito de cifras significativas. Este tipo de número no puede simplificarse ni reducirse y abarca diversas categorías, como números contados, unidades definidas y conversiones de unidades definidas.
Numerosos ejemplos de números exactos abarcan tanto valores enteros como decimales, algunos de los cuales se detallan a continuación: el número de personas en una familia, el número de manzanas en una bolsa, la velocidad de la luz en el vacío (exactamente 299792458 m/s), el número de pies en una milla (exactamente 5280), el número de centímetros en un metro (exactamente 100), el número de protones en un átomo de carbono (6), minutos en una hora (60), el número de Avogadro bajo la definición de 2019 (6.02214076000000000000000 × 10^23), el número de centímetros en una pulgada (exactamente 2.54) y el número de páginas en un libro.
Es pertinente destacar que algunas de estas constantes se establecen arbitrariamente, como el número de Avogadro, que teóricamente debía poseer 23 cifras significativas antes de 2019, pero a partir de dicho año se convino que siempre tendría 9 cifras significativas. Este ajuste resalta la importancia de mantener estándares precisos y actualizados en el ámbito de las constantes científicas. No todos los números exactos son definiciones arbitrarias; en muchos casos, se trata de relaciones fundamentales entre entidades numéricas, fenómeno particularmente prevalente en la disciplina química. Ejemplos de estas relaciones incluyen:
(a). La fórmula molecular, regida por la ley de proporciones definidas, emplea subíndices para indicar el número preciso de átomos por molécula. Esta proporción constituye un número exacto que refleja la naturaleza intrínseca de la composición molecular.
(b). La estructura atómica presenta una característica fundamental: cada átomo contiene un número exacto de protones, neutrones y electrones. Esta propiedad contribuye a la estabilidad y coherencia de la materia a nivel atómico.
(c). La relación molar entre cualquier reactivo y producto en una ecuación química balanceada es un número exacto. Esta relación cuantifica la conservación de la masa y establece una base matemática precisa para las transformaciones químicas.
(d). El estado de oxidación y el número de electrones de valencia de un átomo son ejemplos adicionales de números exactos que caracterizan propiedades específicas de los elementos químicos.
(e). En términos generales, el número de átomos en una molécula constituye un número exacto, contribuyendo a la coherencia estructural de las sustancias químicas.
No obstante, existen excepciones a esta regla, y algunos polímeros representan instancias donde la cuantificación precisa puede volverse más compleja debido a la variabilidad en la longitud de la cadena polimérica. Estos casos resaltan la necesidad de un enfoque cuidadoso al tratar con ciertas clases de compuestos, donde las propiedades pueden exhibir una mayor heterogeneidad estructural.
La determinación de si una unidad y sus conversiones constituyen números exactos puede presentar desafíos, ya que no todas las unidades están definidas de manera precisa. A partir de 2019, todas las unidades fundamentales del Sistema Internacional (SI) se encuentran definidas de manera arbitraria, lo que implica que son consideradas números exactos. Algunas unidades imperiales también se definen en relación con las unidades básicas del SI, confiriéndoles la característica de números exactos.
Históricamente, muchas de estas magnitudes dependían de mediciones empíricas y, como resultado, eran inherentemente inexactas. Un ejemplo paradigmático de este fenómeno radica en la velocidad de la luz y la masa de un kilogramo, cuyos valores fueron determinados mediante mediciones empíricas hasta un período relativamente reciente.
Es importante destacar que, con los avances científicos y tecnológicos, la tendencia actual es definir las unidades de medida de manera precisa y consistente, evitando así la variabilidad asociada con métodos de medición antiguos. Este enfoque contribuye a la uniformidad y coherencia en los estándares de medición, facilitando el progreso científico y tecnológico en diversas disciplinas.
(13.1.2) Números inexactos
Diversos números encapsulan un grado inherente de incertidumbre. Los valores derivados de mediciones, estimaciones, números redondeados y algunas conversiones de unidades se clasifican como números inexactos. A continuación, se presentan ejemplos ilustrativos de esta categoría:
(a). Peso en una báscula: La medición del peso en una balanza introduce incertidumbre debido a factores como la precisión del instrumento y las fluctuaciones naturales en la masa corporal.
(b). Distancia entre el polo norte y el polo sur: La vasta escala geográfica de esta medida, combinada con desafíos logísticos y la variabilidad en la topografía terrestre, confiere incertidumbre a la determinación precisa de esta distancia.
(c). Constante de Avogadro (6.022 x 1023): Aunque esta constante es fundamental en la química, la precisión exacta de su valor puede depender de la instrumentación utilizada en las mediciones experimentales.
(d). Aproximación del número de libras por kilogramo (1 kg = 2.2 lb): Esta conversión introduce una aproximación para simplificar el cálculo, pero implica una cierta cantidad de inexactitud debido a la redondez del factor de conversión.
(e). Número de horas que duermes: Este valor, al ser una medida subjetiva, introduce incertidumbre inherente debido a variaciones individuales y la dificultad de medir con precisión la duración exacta del sueño.
La comprensión de la naturaleza inexacta de estos números es esencial para realizar análisis críticos y contextualizar los resultados en el ámbito científico, donde la precisión y la exactitud son fundamentales.
(13.1.3) Significancia
Los números exactos desempeñan un papel crucial en los cálculos científicos, ya que carecen de incertidumbre y poseen infinitas cifras significativas. Es relevante destacar que la magnitud de un número exacto, aunque pueda consistir en un solo dígito, no impone restricciones sobre la cantidad de cifras significativas en un cálculo determinado. La identificación precisa de números exactos requiere cautela y no siempre implica la presencia de puntos decimales.
Por ejemplo, al reportar la masa de dos moles de átomos de carbono, el número "2" se considera exacto. Su representación es simplemente "2", sin incluir decimales como "2.0" o "2.00". En contraste, la masa de un mol de átomos de carbono (12.01 g/mol) constituye un número redondeado con cuatro cifras significativas. En el caso de la respuesta, al calcular la masa de dos moles (2 x 12.01 = 24.01 gramos), se conservan las cuatro cifras significativas. Es fundamental comprender que, en una operación conjunta, el valor con el menor número de dígitos significativos determina la precisión de la respuesta.
Es relevante señalar que los números exactos suelen ser constantes de proporcionalidad, y en los cálculos, se asume que estas constantes no afectan la cantidad de cifras significativas. Sin embargo, al redondearlas, se debe ejercer prudencia para evitar desviaciones que puedan comprometer la integridad de los resultados científicos. Este enfoque contribuye a la coherencia y la fiabilidad de los análisis realizados en el ámbito científico.
(13.2) Reglas para las cifras significativas
En el ámbito científico, la precisión en la expresión de números es esencial para garantizar la exactitud y la confiabilidad de los resultados obtenidos a través de cálculos y mediciones. Las cifras significativas son una herramienta fundamental en este contexto, estableciendo reglas específicas que determinan la validez y la relevancia de los dígitos presentes en un número. A continuación, se describen algunas reglas importantes para comprender y aplicar las cifras significativas de manera efectiva.
(a). Separación de Enteros y Decimales: Emplee un símbolo de separación, ya sea un punto o una coma, únicamente para separar enteros de decimales. Evitar la separación en miles, millones, trillones, entre otros, contribuye a minimizar confusiones durante la interpretación de los números.
(b). Consideración de Valores en Enunciados: Los valores presentes en un enunciado se asumen como significativos, estableciendo una base inicial para la evaluación de las cifras significativas en el contexto de un problema científico.
(c). Cifras Significativas en Números Enteros: Todos los números enteros, incluso aquellos con ceros a la derecha, son considerados cifras significativas. Por ejemplo, 50 posee dos cifras significativas, y 1000 posee cuatro cifras significativas, consolidando la importancia de cada dígito en la expresión numérica.
(d). Ceros Intermedios en Enteros y Decimales: Los ceros intermedios, presentes tanto en números enteros como en decimales, cuentan como cifras significativas.
(e). Ceros a la Izquierda: Los ceros a la izquierda nunca se consideran significativos. Por ejemplo, en el número 0.0050, se cuentan únicamente dos cifras significativas, destacando la relevancia de los dígitos no nulos en la determinación de la precisión.
(f). Notación Científica: En la notación científica, el valor antes de la expresión x10^n se considera significativo, mientras que la base y la potencia no lo son, simplificando la evaluación de cifras significativas en representaciones compactas de números.
(g). Impacto de Constantes y Definiciones: Las constantes y definiciones no afectan las cifras significativas en un cálculo. Al manipular constantes con decimales, se recomienda redondearlas a las cifras significativas del ejercicio para mantener la coherencia en los resultados.
La aplicación adecuada de estas reglas proporciona una base sólida para la correcta interpretación y manipulación de cifras significativas en el ámbito científico, contribuyendo a la integridad de los análisis y mediciones realizados.
Química de Chang 10. Ejemplo 1.4.Determine el número de cifras significativas en las siguientes medidas: (a) 478 cm, (b) 6.01 g, (c) 0.825 m, (d) 0.043 kg, (e) 1.310 × 1022 átomos, (f) 7000 mL.
Química de Chang 10. Práctica 1.5.Determine el número de cifras significativas en cada una de las siguientes medidas: (a) 24 ml, (b) 3001 g, (c) 0.0320 m3, (d) 6.4 × 104 moléculas, (e) 560 kg.
Química de Chang 10. Problema-1.33ad.Determine el número de cifras significativas en los siguientes valores: (a) 4867 mi (b) 56 mL (c) 60,104 ton (d) 2900 g.
Química de Chang 10. Problema-1.33eh.Determine el número de cifras significativas en los siguientes valores: (e) 40.2 g/cm3 (f) 0.0000003 cm (g) 0.7 min (h) 4.6 x 1019 átomos.
Química de Chang 10. Problema-1.34ac.Determine el número de cifras significativas en los siguientes valores: (a) 0.006 L, (b) 0.0605 dm, (c) 60.5 mg,
Química de Chang 10. Problema-1.34dg. Determine el número de cifras significativas en los siguientes valores: (d) 605.5 cm2, (e) 960 x 10-3 g, (f) 6 kg, (g) 60 m.
Química de Brown 13. Muestra 1.5.¿Qué diferencia existe entre los valores medidos 4.0 y 4.00 g?
Química de Brown 13. Práctica 1.5.1.Mo Farah ganó la carrera de 10000 metros en los Juegos Olímpicos de 2012 con un tiempo oficial de 27 minutos, 30.42 s. Con el número correcto de cifras significativas, ¿cuál fue la rapidez promedio de Farah en m/s? (a) 0.6059 m/s, (b) 1.65042 m/s, (c) 6.059064 m/s, (d) 0.165042 m/s, (e) 6.626192 m/s.
Química de Brown 13. Práctica 1.5.2.Una muestra que tiene una masa de aproximadamente 25 g se pesa en una balanza que tiene una precisión de ± 0.001 g. ¿Cuántas cifras significativas se deben reportar para esta medida?
Química de Brown 13. Muestra 1.6.El estado de Colorado aparece en un atlas de carreteras con una población de 4 301 261 y un área de 104 091 millas cuadradas. ¿Parece razonable el número de cifras significativas en estas dos cantidades? Si no, ¿qué parece estar mal con ellos?
Química de Brown 13. Práctica 1.6.1.¿Cuáles de los siguientes números en tu vida personal son números exactos? (a) Su número de teléfono celular, (b) su peso, (c) su coeficiente intelectual, (d) su número de licencia de conducir, (e) la distancia que caminó ayer.
Química de Brown 13. Práctica 1.6.2.La contraportada interior del libro nos dice que hay 5280 pies en 1 milla. ¿Esto hace que la milla sea una distancia exacta?
Química de Brown 13. Muestra 1.7.¿Cuántas cifras significativas hay en cada uno de los siguientes números (suponga que cada número es una cantidad medida)? (a) 4.003, (b) 6.023 x 1023, (c) 5000.
Química de Brown 13. Práctica 1.6.3.¿Cuántas cifras significativas hay en cada una de las siguientes medidas? (a) 3.549 g, (b) 2.3 x 104 cm, (c) 0.00134 m3.
Química de Brown 13. Ejercicio 1.35. Indique cuáles de los siguientes son números exactos: (a) la masa de una ficha de 3 por 5 pulgadas, (b) el número de onzas en una libra, (c) el volumen de una taza de café Seattle's Best, ( d) el número de pulgadas en una milla, (e) el número de microsegundos en una semana, (f) el número de páginas en este libro.
Química de Brown 13. Ejercicio 1.37¿Cuál es el número de cifras significativas en cada una de las siguientes cantidades medidas? (a) 601 kg, (b) 0.054 s, (c) 6.3050 cm, (d) 0.0105 L, (e) 7.0500 x 10-3 m3, (f) 400 g.
Química de Brown 13. Ejercicio 1.38Indique el número de cifras significativas en cada una de las siguientes cantidades medidas: (a) 3.774 km, (b) 205 m2, (c) 1.700 cm, (d) 350.00 K, (e) 307.080 g, (f) 1.3x103 m/s.
(13.3) Aproximaciones de Fermi
En física e ingeniería, un problema de Fermi, también conocido como prueba de Fermi, pregunta de Fermi, estimación de Fermi, cálculo de Fermi, aproximación de Fermi o estimación de orden, representa un ejercicio diseñado para cultivar la habilidad de análisis dimensional y aproximación en el ámbito científico. Esta técnica de estimación toma su nombre en honor al eminente físico Enrico Fermi, quien era reconocido por su habilidad excepcional para realizar cálculos aproximados precisos con escasa o nula información real.
Los problemas de Fermi presentan la característica de requerir conjeturas fundamentadas sobre cantidades, sus variaciones o límites inferiores y superiores. Este enfoque busca generar números redondos que puedan ser fácilmente calculados sin la necesidad de instrumentos precisos, proporcionando así respuestas aproximadas pero razonadas.
El método de Fermi se destaca por su utilidad en el desarrollo de habilidades analíticas y la capacidad para realizar estimaciones rápidas en situaciones donde la información detallada puede ser limitada o inaccesible. Además, este enfoque fomenta el pensamiento crítico y la agilidad mental al abordar problemas complejos mediante la simplificación y la aproximación. La aplicación sistemática de los principios de Fermi en problemas prácticos contribuye al desarrollo de una perspicacia científica valiosa en el ámbito de la investigación y la resolución de cuestiones ingenieriles.
En el ámbito de los cálculos físico-químicos, la precisión demandada puede variar según el propósito y los recursos disponibles. Es importante reconocer que, en ocasiones, la exactitud extrema no resulta imprescindible, especialmente en situaciones donde no se dispone de instrumentos precisos o calculadoras. Un ejemplo ilustrativo de esta adaptación es la determinación aproximada del número de moléculas en una cantidad específica de moles, una tarea frecuente en contextos científicos y educativos.
Cuando nos enfrentamos a la necesidad de multiplicar el número de moles por la constante de Avogadro (6.022 x 1023 mol⁻¹), la aplicación de una estimación de Fermi proporciona una alternativa eficaz. En lugar de considerar todos los decimales de la constante de Avogadro, podemos realizar el cálculo tomando simplemente el valor aproximado de 6 x 1023 mol⁻¹. Esta estrategia simplificada no solo agiliza el proceso mental, sino que también se ajusta a situaciones en las cuales el acceso a una calculadora puede estar limitado.
Las estimaciones o aproximaciones de Fermi, en este contexto, ofrecen una herramienta valiosa cuando las restricciones de tiempo o la imposibilidad de emplear dispositivos de cálculo más precisos, como en las pruebas de Estado Saber 11, están presentes. Este enfoque práctico y adaptable permite realizar cálculos razonados de manera expedita, facilitando el abordaje de problemas complejos en condiciones donde la exactitud absoluta puede ser secundaria frente a la necesidad de obtener resultados de manera eficiente y con un nivel aceptable de precisión.
(14) Operaciones con cifras significativas
Inicio: ⟨Cursos⟩: ⟨Física⟩: {Preliminares}: [El informe de laboratorio] [Unidades y medidas]: (1 Introducción) (2 La medición y el método científico) (3 ¿Qué son las unidades de medición?) (4 Historia de la medición) (5 Sistema métrico decimal) (6 Viejo sistema internacional de unidades) (7 Unidades fundamentales) (8 El nuevo sistema internacional, 2019) (9 Unidades derivadas) (10 Prefijos decimales y notación exponencial) (11 Lenguaje del sistema internacional de unidades) (12 El sistema imperial Británico) (13 Cifras significativas) (14 Operaciones con cifras significativas) (15 Notación científica) (16 Conversiones de unidades) (17 La regla de tres analítica) (18 Análisis dimensional) (Referencias bibliográficas)
En el ámbito de la ciencia y la ingeniería, la manipulación adecuada de cifras significativas es esencial para garantizar la precisión y la coherencia en los resultados obtenidos a través de operaciones matemáticas. Las cifras significativas, que representan la confiabilidad de las mediciones y datos, imponen reglas particulares al realizar sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y otras operaciones aritméticas.
La correcta aplicación de estas reglas se convierte en un componente crucial para evitar la propagación de errores y asegurar que los resultados finales reflejen de manera fiel la magnitud real de las cantidades involucradas. Esta introducción explorará los principios fundamentales que guían las operaciones con cifras significativas, destacando la importancia de preservar la exactitud en el contexto científico y técnico.
(14.1) Regla de acceso a calculadora
La ejecución precisa de operaciones matemáticas en el ámbito científico requiere una estrategia meticulosa para gestionar las cifras significativas, y esta metodología puede variar según la disponibilidad de herramientas de cálculo avanzadas como calculadoras. Este proceso se bifurca en dos enfoques distintos:
(a) Utilizando Calculadoras o Equivalentes: Cuando se dispone de una calculadora, se recomienda llevar a cabo todas las operaciones utilizando la mayor cantidad de cifras significativas posible en cada paso, o como mínimo llevando una cifra de más. Posteriormente, el resultado final debe redondearse a la cantidad de cifras significativas indicadas para preservar la coherencia y la precisión.
(b) Operaciones Manuales: En situaciones donde el acceso a una calculadora no es factible y las operaciones deben realizarse manualmente, se sugiere un procedimiento alternativo. Previo a realizar la aritmética, se procede a redondear todos los términos involucrados al límite de cifras significativas especificado. En este contexto, la aplicación de aproximaciones de Fermi, siempre que sea posible, agiliza el proceso de estimación. Las operaciones se llevan a cabo calculando los términos más significativos primero, priorizando así la preservación de la relevancia de las cifras en el resultado final.
Es crucial recordar que, en ciencias físicas, los cálculos no representan entidades matemáticas puras, sino más bien aproximaciones útiles dentro del marco de incertidumbre impuesto por la instrumentación. En este contexto, el redondeo y la estimación no solo son prácticas aceptables, sino herramientas de optimización válidas. Aunque desde una perspectiva puramente abstracta, un matemático puro podría cuestionar la justificación de tales operaciones, en el ámbito científico, estas se revelan esenciales para adaptarse a las limitaciones instrumentales y proporcionar resultados realistas y prácticos.
(14.2) Redondeo
Cuando se eliminan las cifras decimales para obtener las cifras significativas, es necesario llevar a cabo la operación de redondeo. La regla de redondeo establece que se debe identificar la primera cifra sin significado a la derecha.
(14.2.1) Redondeo inferior
Cuando la cifra no significativa más grande, denominada "primera no significativa", es igual a 4 o menor, se procede a expresar el número hasta la última cifra significativa sin realizar alteraciones: 20.1094 ≅ 20.1194 ≅ 20.01294 ≅ 20.1394 ≅ 20.1494 ≅ 20.1.
(14.2.2) Redondeo superior
Cuando la cifra no significativa más grande, denominada "primera no significativa", es igual a 5 o mayor, se procede a aumentar la última cifra significativa una unidad relativa: 20.1594 ≅ 20.1694 ≅ 20.1794 ≅ 20.1894 ≅ 20.1994 ≅ 20.2.
A continuación, se presentan ejemplos ilustrativos. Supongamos que en todos los valores con decimales se debe redondear a solo un decimal de confianza. En este caso, es necesario distinguir entre la última cifra que aparece, la primera cifra que desaparece y las cifras que no intervienen en el redondeo
Ejemplo. Redondee el peso atómico del carbono, el hidrógeno y el oxígeno a sin decimales.
Ejemplo. Redondee el peso atómico del sodio, el litio y el potasio a dos decimales de confianza.
Química de Brown 13. Práctica 1.9.1. ¿Cuál de los siguientes números está correctamente redondeado a tres cifras significativas, como se muestra entre paréntesis? (a) 12 556 [12 500], (b) 4.5671 x 10-9 [4.567 x 10-9], (c) 3.00072 [3.001], (d) 0.006739 [0.00674], (e) 5.4589 x 105 [5.459 x 105].
(14.3) Sumas y restas
En el contexto de operaciones aritméticas, específicamente en sumas y restas, se limita la consideración de las cifras significativas únicamente a aquellas que corresponden a la parte decimal y que están ubicadas a la derecha de la coma decimal. La regla que rige la determinación de la cantidad de decimales en el resultado final establece que este deberá ser igual al número mínimo de decimales presente entre los operandos involucrados en la operación. De esta manera, se garantiza la coherencia y la correcta expresión del resultado en términos de la precisión numérica inherente a los operandos.
Química de Chang. Ejemplo 1.5a. Realice la siguiente operación aritmética con el número correcto de cifras significativas 11 254.1 g + 0.1983 g,
Química de Chang. Ejemplo 1.5b. Realice la siguiente operación aritmética con el número correcto de cifras significativas 66.59 L – 3.113 L,
Química de Chang. Práctica 1.5a. Realice la siguiente operación aritmética con el número correcto de cifras significativas 26.5862 L + 0.17 L
Química de Chang. Práctica 1.5b. Realice la siguiente operación aritmética con el número correcto de cifras significativas 9.1 g - 4.682 g
Química de Brown 13. Ejercicio 1.41a. Realice la siguiente operación y exprese las respuestas con el número apropiado de cifras significativas. 14.3505 + 2.65
Química de Brown 13. Ejercicio 1.41b. Realice la siguiente operación y exprese las respuestas con el número apropiado de cifras significativas 952.7 - 140.7389
(14.4) Multiplicaciones y divisiones:
En el ámbito de operaciones aritméticas, se consideran TODAS las cifras significativas, independientemente de su posición con respecto a la coma decimal. La cantidad de cifras significativas en el resultado se equipará al menor número de cifras significativas presentes en los términos de la operación. La particularidad de este enfoque radica en la posibilidad de obtener múltiples opciones para el resultado final. Estas opciones pueden incluir la retención de la posición original de la coma, el desplazamiento de la coma hacia la derecha o su desplazamiento hacia la izquierda. La flexibilidad inherente en estas alternativas refleja la necesidad de preservar la coherencia y la precisión en el contexto de las cifras significativas en operaciones matemáticas.
Ejemplo.Realizar la siguiente operación teniendo en cuenta las cifras significativas A = 6.221 x 5.2
Ejemplo. Realizar la siguiente operación teniendo en cuenta las cifras significativas n = 60 / 12.01
Química de Chang. Ejemplo 1.5c.Realice la siguiente operación aritmética con el número correcto de cifras significativas 8.16 m x 5.1355.
Química de Chang. Ejemplo 1.5d. Realice la siguiente operación aritmética con el número correcto de cifras significativas 0.0154 kg / 88.3 mL,
Química de Chang. Práctica 1.5d.Realice la siguiente operación aritmética con el número correcto de cifras significativas 6.54 g / 86.5542 ml
Química de Brown. Muestra 1.8. El ancho, largo y alto de una caja pequeña son 15.5, 27.3 y 5.4 cm, respectivamente. Calcula el volumen de la caja, usando el número correcto de cifras significativas en tu respuesta.
Química de Brown. Práctica 1.8.2. Un velocista tarda 10.5 s en correr 100.00 m. Calcule su velocidad promedio en metros por segundo y exprese el resultado con el número correcto de cifras significativas.
Química de Brown. Ejercicio 1.41d. Realice la siguiente operación y exprese las respuestas con el número apropiado de cifras significativas (d) 0.0588/0.677.
(14.5) Potencias no base 10 y raíces:
En las potencias con bases no diez \(m^n\), tanto la base \(m\) como el exponente \(n\) inciden en las cifras significativas de acuerdo con las mismas reglas aplicables en multiplicaciones y divisiones. Este principio se extiende también a las raíces, las cuales, en esencia, se representan como potencias fraccionarias. La raíz cuadrada equivale a la potencia ½, la raíz cúbica a la potencia 1/3, y así sucesivamente. No obstante, en el contexto de cálculos que involucran raíces, consideraremos estas potencias como constantes que no afectan el número de cifras significativas. La omisión de tal consideración conduciría a resultados engañosos, ya que implicaría que los cálculos que incorporan raíces, como las aceleraciones, siempre poseerían una sola cifra significativa. Este enfoque, de manera prudente, evita distorsiones maliciosas en la precisión numérica de los resultados obtenidos.
Ejemplo.Realizar la siguiente operación teniendo en cuenta las cifras significativas 420.25 40.25 420.5
(14.6) Logaritmos base diez, logaritmos naturales y potencias base 10 sin coeficientes significativos:
Es imperativo considerar las cifras significativas mediante la introducción del concepto de mantisa. En el ámbito logarítmico, la mantisa de un número decimal se define como su parte decimal o fraccionaria, excluyendo la parte entera. Para ilustrar, en el número decimal 123.7585, la parte entera es 123, mientras que la mantisa es 0.7585. En el caso del número decimal negativo -17.228, la parte entera es -17 y la mantisa es 0.228.
En el análisis de logaritmos, solo los dígitos presentes en la mantisa son considerados significativos, siendo los dígitos ubicados después del separador decimal de particular importancia. En consecuencia, al determinar las cifras significativas en este contexto, se cuenta a partir del primer dígito decimal de confianza hacia adelante. Este enfoque garantiza una evaluación precisa de las cifras significativas en operaciones logarítmicas, preservando la integridad numérica de los resultados obtenidos.
Ejemplo. Realizar la siguiente operación teniendo las cifras significativas log(42)
Ejemplo. Realizar la siguiente operación teniendo las cifras significativas ln(32)
Para la potencia base 10, las cifras significativas de su respuesta se contarán únicamente con la mantisa de su potencia.
Ejemplo. Realizar la siguiente operación teniendo las cifras significativas 10-1.45
(15) Notación científica
Inicio: ⟨Cursos⟩: ⟨Física⟩: {Preliminares}: [El informe de laboratorio] [Unidades y medidas]: (1 Introducción) (2 La medición y el método científico) (3 ¿Qué son las unidades de medición?) (4 Historia de la medición) (5 Sistema métrico decimal) (6 Viejo sistema internacional de unidades) (7 Unidades fundamentales) (8 El nuevo sistema internacional, 2019) (9 Unidades derivadas) (10 Prefijos decimales y notación exponencial) (11 Lenguaje del sistema internacional de unidades) (12 El sistema imperial Británico) (13 Cifras significativas) (14 Operaciones con cifras significativas) (15 Notación científica) (16 Conversiones de unidades) (17 La regla de tres analítica) (18 Análisis dimensional) (Referencias bibliográficas)
La notación científica constituye un método eficaz para representar de manera concisa y aproximada cantidades extremadamente grandes o pequeñas, así como una alternativa expresiva a los prefijos decimales del Sistema Internacional de Unidades. Fundamentada principalmente en el manejo de potencias con base 10, esta notación facilita la manipulación de números en escalas significativas.
Es común que muchos estudiantes encuentren dificultades al enfrentarse con el control y la realización de operaciones que involucran potencias de 10. Por consiguiente, nos enfocaremos en brindar una atención especial a este tema, con el objetivo de fortalecer la comprensión y habilidades de los estudiantes en relación con las potencias de 10 y sus aplicaciones en el contexto de la notación científica.
(15.1) Componentes de la notación científica
La notación científica constituye un método preciso para representar números de gran magnitud. Este enfoque se vale de las reglas de los exponentes, específicamente aquellos asociados con la base 10. Un número expresado en notación científica se compone de una o más cifras significativas multiplicadas por 10 elevado a un exponente específico. Este exponente indica la cantidad de lugares decimales que se deben desplazar hacia la derecha o izquierda desde la cifra significativa.
Los elementos de un número en notación científica del tipo \( a.b \times 10^{\pm c}\) se desglosan de la siguiente manera: el coeficiente significativo, compuesto por una unidad única (a) y una mantisa (b) que almacena las cifras significativas. Aunque matemáticamente la parte entera del coeficiente podría ser mayor a una unidad, por convención se expresa siempre como un entero acompañado de una mantisa decimal. La notación \(\pm\) indica que el exponente de la base 10 puede ser tanto positivo (para números grandes) como negativo (para números pequeños), proporcionando flexibilidad en la representación de cantidades en diferentes escalas numéricas.
(15.2) Moviendo la coma/punto
La cantidad de cifras significativas, la posición de la coma y el exponente están intrínsecamente interrelacionados en la notación científica. Cualquier modificación en la posición de la coma implica necesariamente un ajuste correspondiente en el exponente. Esta relación es particularmente beneficiosa cuando el coeficiente significativo no es un número entero. El desplazamiento de la coma hacia la derecha conlleva a una disminución del exponente, mientras que su movimiento hacia la izquierda resulta en un aumento del exponente.
Es relevante destacar que, en el caso de números enteros sin decimales, la posición de la coma se considera implícita y se sitúa a la izquierda de las unidades. Este principio facilita la comprensión y aplicación de la notación científica, permitiendo representar de manera eficaz una amplia gama de números en diversas magnitudes, manteniendo la coherencia y la precisión en su expresión..
Ejemplo.Exprese el siguiente número como una notación científica a dos cifras significativas 4898
Ejemplo. Exprese el siguiente número como una notación científica a una cifras significativa 354
Ejemplo. Exprese el siguiente número como una notación científica a dos cifras significativas 0.000488
Ejemplo. Exprese el siguiente número como una notación científica a dos cifras significativas 0.000052
Química de Chang 10. Problema-1.29. Expresar los siguientes valores a notación científica (a) 0.000000027, (b) 356, (c) 47764, (d) 0.096.
Química de Chang 10. Problema-1.30. Expresar los siguientes valores a notación decimal; (a) 1.52 x 10-2, (b) 7.78 x 10-8.
Química la Brown 13. Ejercicio 1.39. Redondee cada uno de los siguientes números a cuatro cifras significativas y exprese el resultado en notación exponencial estándar: (a) 102.53070, (b) 656.980, (c) 0.008543210, (d) 0.000257870, (e) -0.0357202.
Química la Brown 13. Ejercicio 1.40a. El diámetro de la Tierra en el ecuador es 7926.381 mi. Redondee este número a tres cifras significativas y expréselo en notación exponencial estándar.
Química la Brown 13. Ejercicio 1.40b. La circunferencia de la Tierra a través de los polos es de 40008 km. Redondee este número a cuatro cifras significativas y expréselo en notación exponencial estándar.
(15.3) Cifras significativas
En la notación científica, las cifras significativas están directamente relacionadas con el coeficiente significativo, que incluye tanto la unidad como la mantisa en el caso de multiplicaciones y divisiones, y únicamente la mantisa para sumas y restas. Es fundamental destacar que tanto la base como la potencia no son consideradas como cifras significativas y se tratan por separado en las operaciones.
(15.4) Sumas y restas
Para realizar la suma o resta de dos números expresados en notación científica, es esencial comenzar por ajustar los exponentes y posteriormente abordar las cifras significativas. La regla imperante establece que solo es posible sumar o restar cifras significativas si sus exponentes son idénticos; de lo contrario, es necesario igualar los exponentes, lo cual implica modificar la cantidad de cifras significativas en uno de los valores a sumar o restar. La justificación subyacente en esta operación radica en que la base diez y su exponente representan un factor común para los términos significativos involucrados en la operación, por lo que se aplica el principio de "Factor Común" para llevar a cabo la suma o resta de manera coherente.
Ejemplo. Realizar la operación teniendo en cuenta las cifras significativas 5.2 x 10-2 + 4.8 x10-2.
Ejemplo. Realizar la operación teniendo en cuenta las cifras significativas 3.52 x 10-3 + 7.402 x10-2.
Química de Chang 10. Ejemplo 1.5e. Realice la siguiente operación aritmética con el número correcto de cifras significativas 2.64 x 103 cm + 3.27 x 102 cm.
Química de Chang 10. Práctica 1.5e. Realice la siguiente operación aritmética con el número correcto de cifras significativas (7.55 x 104 m) - (8.62 x 103 m).
Química de Chang 10. Problema-1.31a. Exprese la respuesta del siguiente cálculo en notación científica 145.75 + (2.3 x 10-1).
Química de Chang 10. Problema-1.31c. Exprese la respuesta del siguiente cálculo en notación científica (7.0 x 10-3) - (8.0 x 10-4).
Química de Chang 10. Problema-1.32a. Exprese la respuesta del siguiente cálculo en notación científica 0.0095 + (8.5 x 10-3).
Química de Chang 10. Problema-1.32c. Exprese la respuesta del siguiente cálculo en notación científica 850000 - (9.0 x 105).
(15.5) Multiplicaciones y divisiones
La multiplicación de números en notación científica obedece a la regla de sumar ceros o agregar las potencias, y esto es posible gracias a que la base es constante. A diferencia de las operaciones de suma o resta, la multiplicación permite la combinación de cualquier potencia, sin la necesidad de que los factores compartan la misma potencia.
En el proceso de multiplicación, se lleva a cabo un paso intermedio que implica aplicar la ley conmutativa de la multiplicación. Dado que el orden de los factores no afecta el producto, se organizan los coeficientes en un lado y las potencias en el otro. La operación aritmética se realiza multiplicando los coeficientes, mientras que para las potencias se conserva la base 10 y se suman los exponentes. Este enfoque sistemático garantiza la precisión y consistencia en la realización de operaciones de multiplicación en notación científica.
Ejemplo. Realizar la operación teniendo en cuenta las cifras significativas (4.1x10^-3) x (2.35x10^-2).
Ejemplo. Realizar la operación teniendo en cuenta las cifras significativas (2.5 x 10^-3) / ( 1.53 x10^-2 ).
Química de Chang 10. Práctica 1.5c. Realice la siguiente operación aritmética con el número correcto de cifras significativas 7.1 x 10^4 dm x 2.2654 x 10^2 dm
Química de Chang 10. Problema-1.31b. Exprese la respuesta del siguiente cálculo en notación científica 79500 ÷ (2.5 x 10^2).
Química de Chang 10. Problema-1.31d. Exprese la respuesta del siguiente cálculo en notación científica (1.0 x 10^4) x (9.9 x 10^6).
Química de Chang 10. Problema-1.32b. Exprese la respuesta del siguiente cálculo en notación científica 653 ÷ (5.75 x 10^-8).
Química de Chang 10. Problema-1.32d. Exprese la respuesta del siguiente cálculo en notación científica (3.6 x 10^-4) x (3.6 x 10^6).
Química de Brown 13. Ejercicio 1.41c. Realice la siguiente operación y exprese las respuestas con el número apropiado de cifras significativas (c) (3.29 x 10^4)(0.2501)
Química de Brown 13. Ejercicio 1.42a. Realice la siguiente operación y exprese las respuestas con el número apropiado de cifras significativas. (a) 320.5 – (6104.5/2.3).
Química de Brown 13. Ejercicio 1.42b. Realice la siguiente operación y exprese las respuestas con el número apropiado de cifras significativas. (b) ((285.3 x 10^5) – (1.200 x 10^3)) x 2.8954.
Química de Brown 13. Ejercicio 1.42c. Realice la siguiente operación y exprese las respuestas con el número apropiado de cifras significativas. (c) (0.0045 x 20000.0) + (2813 x 12).
Química de Brown 13. Ejercicio 1.42d. Realice la siguiente operación y exprese las respuestas con el número apropiado de cifras significativas. (d) 863 x (1255 – (3.45 x 10^8)).
(16) Conversiones de unidades
Inicio: ⟨Cursos⟩: ⟨Física⟩: {Preliminares}: [El informe de laboratorio] [Unidades y medidas]: (1 Introducción) (2 La medición y el método científico) (3 ¿Qué son las unidades de medición?) (4 Historia de la medición) (5 Sistema métrico decimal) (6 Viejo sistema internacional de unidades) (7 Unidades fundamentales) (8 El nuevo sistema internacional, 2019) (9 Unidades derivadas) (10 Prefijos decimales y notación exponencial) (11 Lenguaje del sistema internacional de unidades) (12 El sistema imperial Británico) (13 Cifras significativas) (14 Operaciones con cifras significativas) (15 Notación científica) (16 Conversiones de unidades) (17 La regla de tres analítica) (18 Análisis dimensional) (Referencias bibliográficas)
La correcta manipulación de unidades es esencial al abordar problemas mediante métodos manuales. Se distinguen dos categorías de unidades: aquellas que son proporcionales y las que no lo son. Las unidades proporcionales pueden convertirse entre distintos sistemas mediante factores de conversión o reglas de tres. La aplicación de modificaciones utilizando los prefijos del sistema métrico facilita su manipulación a través de factores de conversión o reglas de tres, basándose en notaciones científicas.
Para unidades provenientes de diferentes sistemas de medición, se requiere identificar la proporcionalidad básica mediante la consulta de literatura científica, ya sea en línea o en libros de texto. Por otro lado, las unidades sin una proporcionalidad clara dependen de sistemas de conversión adicionales. Este es especialmente el caso de las unidades de temperatura, donde se recurre a sumas y fórmulas no proporcionales para lograr una conversión precisa. La comprensión de estas distinciones es crucial para la correcta resolución de problemas y el manejo efectivo de unidades en contextos diversos.
(16.1) Estableciendo relaciones
Los factores de conversión se fundamentan en la premisa de multiplicar (de ahí la denominación de factor) una cantidad por una proporción, de manera que las unidades se transformen, pero la proporción permanezca constante. Esta misma lógica se aplica a la técnica de conversión denominada regla de tres. Ambos enfoques requieren que el operador pueda establecer relaciones proporcionales a partir de igualdades teóricas, como por ejemplo: 1 pulgada = 2.54 centímetros; 1 metro cúbico = 1000 litros; 1 kilogramo = 1000 gramos.
El manejo adecuado de las proporciones resulta fundamental para utilizar efectivamente los factores de conversión, las reglas de tres y otros métodos de conversión. Dichas proporciones se derivan de las relaciones entre dos unidades distintas, pero de la misma dimensión. Por ejemplo, la dimensión de volumen puede expresarse en litros o en metros cúbicos. Sin embargo, es esencial comprender la relación entre ambas y cómo expresar dicha relación en términos de una técnica de conversión específica.
La primera interrogante es directa; las relaciones entre unidades se encuentran disponibles en la literatura, presentadas en tablas de libros de texto o accesibles en línea, tal como se ha explorado en este capítulo. Por esta razón, antes de abordar ejercicios de física o química, es imperativo contar con tablas que detallen las relaciones entre las unidades utilizadas en el libro de estudio.
Respecto a la segunda pregunta, se debe analizar cómo funcionan las técnicas de conversión de unidades. Este ejercicio se define de manera más formal como la habilidad para proponer relaciones proporcionales. Una vez que se puede establecer proporcionalidades a partir de igualdades teóricas, el siguiente paso es comprender cómo manejar una proporción para encontrar un valor desconocido.
En el transcurso de este curso de química o física, se abordarán tres técnicas de conversión de unidades. Las primeras dos se encuentran comúnmente explicadas en diversas fuentes de libros de texto dedicadas a la física o la química. En contraste, la tercera técnica ha sido desarrollada de manera única por mí mismo.
(16.2) Métodos de conversión en situaciones simples
En un escenario de conversión simple, se logra obtener el valor de la unidad deseada en un solo paso mediante el empleo de una sola igualdad teórica. En este contexto, se presentan tres algoritmos: la regla de tres y el factor de conversión, que son mecanismos clásicos. Sin embargo, en este curso proponemos una tercera alternativa, que denominamos reemplazo algebraico..
(16.2.1) Regla de tres:
En el ámbito de las matemáticas, específicamente en aritmética básica y álgebra elemental, cuando nos enfrentamos a una ecuación que involucra fracciones o expresiones racionales, se puede recurrir a la técnica del "multiplicación cruzada". Esta técnica resulta útil tanto para simplificar la ecuación como para determinar el valor de una variable desconocida cuando se conocen tres valores constantes. Aunque la teoría nos brinda este recurso, ¿cómo lo aplicamos? A continuación, se detallan los pasos:
(a) En primer lugar, se plantea la ecuación del problema, ubicando la variable desconocida a la izquierda de la igualdad y el dato proporcionado por el enunciado a la derecha.
(b) Luego, dividiendo cada uno de los términos, se incorporan los términos de la igualdad teórica.
(c) La variable desconocida se coloca en el denominador del término teórico que representa la unidad en la cual se busca obtener el resultado.
(d) Finalmente, el dato proporcionado se sitúa en el denominador del término teórico correspondiente, junto con su unidad homóloga.
Estos pasos estructurados permiten aplicar la regla de tres de manera efectiva y sistemática.
(16.2.2) Factor de conversión:
El factor de conversión se presenta como una herramienta matemática eficaz para transformar unidades de medida, utilizando un factor de proporcionalidad expresado como un número fraccionario o racional. Aunque comparte la función básica de la regla de tres, se destaca por su rapidez y capacidad para realizar múltiples operaciones en una sola línea de expresiones matemáticas. Esta eficiencia no solo ahorra tiempo, sino que también reduce la probabilidad de cometer errores.
Desde el punto de vista técnico, el factor de conversión realiza la misma tarea que la regla de tres y requiere la habilidad de plantear proporciones. Sin embargo, la particularidad del factor de conversión radica en la flexibilidad para ajustar las proporciones durante el proceso. Generalmente, se concibe un factor de conversión con el propósito de convertir una unidad (u) a otra unidad (v). Al multiplicar un valor por la proporción, se obtiene su equivalente en la otra unidad, estableciendo así que la fracción de proporción es igual al factor de conversión. Para generar un factor de conversión, el procedimiento implica:
(a) Anotar el dato proporcionado.
(b) Multiplicarlo por un factor de conversión, representado como un fraccionario.
(c) En el denominador del fraccionario, incluir el término de la igualdad teórica que posee la misma unidad que el dato.
(d) En el numerador del factor de conversión, incorporar el término de la igualdad teórica cuya unidad es la deseada en el resultado..
(16.2.3) Reemplazo algebraico:
El método de reemplazo algebraico se fundamenta en la concepción de que las unidades, en su esencia, son términos algebraicos que utilizamos para representar ya sea la magnitud de la unidad o su relación con otras unidades. Se basa en el principio algebraico de que el número 1 no afecta a un término. Por ejemplo, si una unidad dada, como 1 libra métrica, equivale a 500 gramos, podemos cancelar el uno y obtener la igualdad resultante: libra = 500 gramos. Esto nos permite realizar el reemplazo directo o por definición en la línea aritmética, simplificando así el proceso de conversión de unidades.
El reemplazo algebraico facilita conversiones rápidas entre unidades modificadas con prefijos decimales, siempre y cuando se tenga en cuenta que estos prefijos poseen valores asociados a potencias de base diez. La premisa subyacente es que los prefijos decimales son esencialmente modos abreviados de notación científica y, en su esencia, representan valores adimensionales. Por ejemplo, la "m" de mili puede cancelarse y ser reemplazada directamente por su definición, 10-3, en la línea aritmética, sin comprometer la igualdad. Este enfoque resulta práctico para realizar conversiones eficientes y precisas entre unidades con prefijos decimales.
Ejemplo. Convertir 1250 mL a L por factor de conversión, regla de tres y reemplazo algebraico.
(16.3) Problemas anidados
Un problema anidado se presenta cuando no es posible alcanzar la solución final mediante una sola igualdad teórica, especialmente cuando se requiere la conversión entre dos unidades modificadas. Una estrategia para abordar estas situaciones es realizar la operación en dos pasos: primero, de una unidad modificada a una unidad base, y luego de la unidad base a otra unidad modificada. Sin embargo, tanto el factor de conversión como el reemplazo algebraico ofrecen la posibilidad de anidar una solución. Anidar una solución implica concatenar dos o más igualdades teóricas de manera que, dimensionalmente, se obtenga la unidad que se busca expresar. Este enfoque proporciona flexibilidad y eficiencia al resolver problemas anidados de conversión de unidades.
Ejemplo. Convertir 300 kg a mg por regla de tres.
Ejemplo. Convertir 300 kg a mg por factor de conversión.
Ejemplo. Convertir 300 kg a mg por reemplazo algebraico.
(16.4) No lineales
Existen relaciones que no siguen un comportamiento lineal, lo que implica que las potencias influyen en los modificadores decimales. Por ende, al abordar un problema lineal, se debe ajustar el enfoque de la siguiente manera:
(a). Escribir la relación lineal.
(b). Elevar la relación lineal a la potencia deseada.
(c). Recordar que cualquier número elevado a la potencia de uno sigue siendo uno.
(d). Resolver las potencias elevadas a la potencia mediante la multiplicación de las potencias, manteniendo la misma base.
En el caso del método de reemplazo algebraico, es crucial tener en cuenta que los prefijos decimales también se ven afectados por las potencias de una unidad compuesta. Por ejemplo, en 10 cm^2, el prefijo modificador decimal "centi" estará elevado al cuadrado, al igual que la unidad base "metro". Este detalle es esencial para una manipulación precisa de las unidades en problemas que involucran potencias y relaciones no lineales.
Ejemplo. Convertir 10 cm2 a m2 por factor de conversión, regla de tres y reemplazo algebraico.
Lo cual nos lleva a relaciones importantes con la relación litros a metros cúbicos y viceversa.
(16.5) Temperatura
Las conversiones de las unidades de temperatura no pueden hacerse por análisis dimensional simple, por lo que deberemos emplear fórmulas especiales.
|
\[ T_{K} = T_{^oC}+273.15 \] \[ T_{^oC} = T_{K}-273.15 \] |
Eq 16.1. Algoritmos de conversión de grados Celsius y Kelvin. Se presenta una ecuación incompleta donde el enfoque se centra en obtener el valor de la solución. La respuesta se proporciona en Kelvin por mera definición. |
|
\[ T_{F} = \frac{9}{5} \ T_{^oC} +35\] \[ T_{^oC} = \frac{5}{9} \ T_{^oF} -35\] |
Eq 16.2. Algoritmos de conversión de grados Celsius y Fahrenheit. Se presenta una ecuación incompleta donde el enfoque se centra en obtener el valor de la solución. La respuesta se proporciona en Kelvin por mera definición. |
(16.6) Ejercicios resueltos de conversión de unidades
Ejemplo. Convertir los siguientes datos de temperatura a Kelvin o a centígrados: 280 K, 10 °C, 315 K, 100 °C.
Ejemplo. de libro de texto
Ejemplo. Convertir 0.075 kg a mg.
Ejemplo. Como convertir 10 lb a kg
Ejemplo. Como convertir 12 km a metros
Ejemplo. Como convertir 180 km/h a m/s
Ejemplo. Como convertir 10 m/s a km/h
Ejemplo. Como convertir 40 minutos a horas
Ejemplo. Como convertir 5 horas a minutos
Ejemplo. Como convertir 5.0 pies a metros
Ejemplo. Como convertir 5 millas a metros
Química de Chang 10
Ejemplo 1.3b. El helio tiene el punto de ebullición más bajo de todos los elementos a 2452 °F. Convierte esta temperatura a grados Celsius.
Práctica 1.3a. Convierta 327.5 °C (el punto de fusión del plomo) a grados Fahrenheit.
Práctica 1.3b. Convierta 172.9 °F (el punto de ebullición del etanol) a grados Celsius;
Práctica 1.3c. Convierta 77 K, el punto de ebullición del nitrógeno líquido, a grados Celsius.
Práctica 1.6. Un rollo de papel de aluminio tiene una masa de 1.07 kg. ¿Cuál es su masa en libras?
Ejemplo 1.7. Un adulto promedio tiene 5.2 L de sangre. ¿Cuál es el volumen de sangre en m3?
Práctica 1.7. El volumen de una habitación es 1.08 x 108 dm3. ¿Cuál es el volumen en m3?
Práctica 1.8. La densidad del metal más ligero, el litio (Li), es de 5.34 × 102 kg/m3. Convierte la densidad a g/cm3.
Problema-1.39a. Convertir 22.6 m a decímetros por factor de conversión, regla de tres y reemplazo algebraico.
Problema-1.39b. Convertir 25.4 mg a kilogramos por factor de conversión y reemplazo algebraico.
Problema-1.39c. Convertir 556 mL a litros por factor de conversión, regla de tres y reemplazo algebraico.
Problema-1.39d. Convertir 10.6 kg/m3 a g/cm3 por factor de conversión y reemplazo algebraico.
Problema-1.40a. Convertir 242 lb a miligramos por factor de conversión y reemplazo algebraico.
Problema-1.40b. Convertir 68.3 cm3 a metros cúbicos por factor de conversión y reemplazo algebraico.
Problema-1.40c. Convertir 7.2 m3 a litros por factor de conversión y reemplazo algebraico.
Problema-1.40d. Convertir 28.3 microgramos a libras por factor de conversión y reemplazo algebraico.
Problema-1.41. La velocidad media del helio a 25 °C es 1255 m/s. Convierta esta velocidad a millas por hora (mph).
Problema-1.42. ¿Cuántos segundos hay en un año solar de 365.24 días? Usar el factor de conversión y reemplazo algebraico
Problema-1.49b. Convertir 32.4 yardas a centímetros.
Problema-1.49c. Convertir 3.0 x 1010 cm/s a pies/s.
Problema-1.50a. Convertir 185 nm en metros.
Problema-1.50b. Convertir 4.5 mil millones de años (aproximadamente la edad de la Tierra) en segundos. (Suponga que hay 365 días en un año.)
Problema-1.50c. Convertir 71.2 cm3 en m3
Problema-1.50d. Convertir 88.6 m3 a litros
Problema-1.52. La densidad del gas amoniaco en determinadas condiciones es de 0.625 g/L. Calcule su densidad en g/cm3.
Química la ciencia central 13
Muestra 1.2. ¿Cuál es el nombre de la unidad que equivale a (a) 10-9 gramos, (b) 10-6 segundos, (c) 10-3 metros? R Nanogramos, milisegundos y milimetros
Práctica 1.2.2a. ¿Cuántos picómetros hay en 1 m?
Práctica 1.2.2b. Exprese 6.0 x 103 m usando un prefijo para reemplazar la potencia de diez.
Práctica 1.2.2c. Utilice la notación exponencial para expresar 4.22 mg en gramos.
Práctica 1.2.2d. Utilice la notación decimal para expresar 4.22 mg en gramos.
Ejercicio 1.25. ¿Qué notación exponencial representan las siguientes abreviaturas? (a) d, (b) c, (c) f, (d) μ, (e) M, (f) k, (g) n, (h) m, (i) p.
Ejercicio 1.26a. Use prefijos métricos apropiados para escribir la siguiente medida sin usar exponentes: 2.3 x 10-10 L.
Ejercicio 1.26b. Use prefijos métricos apropiados para escribir la siguiente medida sin usar exponentes: 4.7 x 10-6 g
Ejercicio 1.26c. Use prefijos métricos apropiados para escribir la siguiente medida sin usar exponentes: 1.85 x 10-12 m
Ejercicio 1.26d. Use prefijos métricos apropiados para escribir la siguiente medida sin usar exponentes: 16.7 x 106 s
Ejercicio 1.26e. Use prefijos métricos apropiados para escribir la siguiente medida sin usar exponentes: 15.7 x 103 g
Ejercicio 1.26f. Use prefijos métricos apropiados para escribir la siguiente medida sin usar exponentes: 1.34 x 10-3 m
Ejercicio 1.26g. Use prefijos métricos apropiados para escribir la siguiente medida sin usar exponentes: 1.84 x 102 cm
Práctica 1.10.2. Determine la longitud en kilómetros de una carrera de automóviles de 500.0 millas. Regla de tres
Práctica 1.10.2. Determine la longitud en kilómetros de una carrera de automóviles de 500.0 millas. Factor de conversión
Práctica 1.10.2. Determine la longitud en kilómetros de una carrera de automóviles de 500.0 millas. Reemplazo algebraico
Muestra 1.11. La velocidad media de una molécula de nitrógeno en el aire a 25 °C es de 515 m/s. Convierte esta velocidad a millas por hora.
Práctica 1.11.2. Un automóvil recorre 28 millas por galón de gasolina. ¿Cuál es el kilometraje en kilómetros por litro? Factor de conversión
Práctica 1.11.2. Un automóvil recorre 28 millas por galón de gasolina. ¿Cuál es el kilometraje en kilómetros por litro? Reemplazo algebraico
Muestra 1.12. Los océanos de la Tierra contienen aproximadamente 1.36 x 109 km3 de agua. Calcular el volumen en litros. Factor de conversión
Muestra 1.12. Los océanos de la Tierra contienen aproximadamente 1.36 x 109 km3 de agua. Calcular el volumen en litros. Reemplazo algebraico
Muestra 1.3. Un meteorólogo predice que la temperatura alcanzará los 31 °C. ¿Cuál es esta temperatura (a) en K, (b) en °F?
Ejercicio 1.9. Cuando conviertes unidades, ¿cómo decides qué parte del factor de conversión está en el numerador y cuál en el denominador?
Ejercicio 1.10. Muestre los pasos para convertir la velocidad del sonido, 344 metros por segundo, en millas por hora. Factor de conversión.
Ejercicio 1.10. Muestre los pasos para convertir la velocidad del sonido, 344 metros por segundo, en millas por hora. Reemplazo algebraico.
Ejercicio 1.27a. Convertir: 72 °F a °C.
Ejercicio 1.27b. Convertir: 216.7 °C a °F.
Ejercicio 1.27c. Convertir: 233 °C a K.
Ejercicio 1.27d. Convertir: 315 K a °F.
Ejercicio 1.27e. Convertir: 2500 °F a K.
Ejercicio 1.27f. Convertir: 0 K a °F.
Ejercicio 1.28a. La temperatura en un día caluroso de verano es de 87 °F. ¿Cuál es la temperatura en °C?
Ejercicio 1.28b. Muchos datos científicos se informan a 25 °C. ¿Cuál es esta temperatura en Kelvin y en grados Fahrenheit?
Ejercicio 1.28c. Suponga que una receta requiere una temperatura de horno de 400 °F. Convierte esta temperatura a grados Celsius y Kelvin.
Ejercicio 1.28d. El nitrógeno líquido hierve a 77 K. Convierta esta temperatura a grados Fahrenheit ya grados Celsius.
Ejercicio 1.47a. Un abejorro vuela con una velocidad respecto al suelo de 15.2 m/s. Calcula su velocidad en km/h.
Ejercicio 1.47b. La capacidad pulmonar de la ballena azul es 5.0 x 103 L. Convierta este volumen en galones.
Ejercicio 1.47c. La Estatua de la Libertad mide 151 pies de altura. Calcula su altura en metros.
Ejercicio 1.47d. El bambú puede crecer hasta 60.0 cm/día. Convierta esta tasa de crecimiento en pulgadas por hora.
Ejercicio 1.48a. La velocidad de la luz en el vacío es 2.998 x 108 m/s. Calcula su velocidad en millas por hora.
Ejercicio 1.48b. La Torre Sears en Chicago tiene 1454 pies de altura. Calcula su altura en metros.
Ejercicio 1.51a. Convertir 5.00 días a s
Ejercicio 1.51b. Convertir 0.0550 mi a m,
Ejercicio 1.51c. Convertir $1.89/gal a dólares por litro,
Ejercicio 1.51d. Convertir 0.510 in./ms a km/hr, Factor de Conversión
Ejercicio 1.51d. Convertir 0.510 in./ms a km/hr, Factor de Conversión
Ejercicio 1.51e. Convertir 22.50 gal/min a L/s,
Ejercicio 1.51f. Convertir 0.02500 ft3 a cm3.
Ejercicio 1.52a. Convertir 0.105 in a mm, por factor de conversión
Ejercicio 1.52a. Convertir 0.105 in a mm, por reemplazo algebraico
Ejercicio 1.52b. Convertir 0.650 qt a mL, por factor de conversión
Ejercicio 1.52b. Convertir 0.650 qt a mL, por reemplazo algebraico
Ejercicio 1.52c. Convertir 8.75 mm/s a km/hr, por factor de conversión
Ejercicio 1.52c. Convertir 8.75 mm/s a km/hr, por reemplazo algebraico
Ejercicio 1.52d. Convertir 1.955 m3 a yd3,
Ejercicio 1.52e. Convertir $3.99/lb a dólares por kg,
Ejercicio 1.52f.Convertir 8.75 lb/ft3 a g/mL.
Ejercicio 1.53a. ¿Cuántos litros de vino caben en un barril de vino cuya capacidad es de 31 galones?
Ejercicio 1.53c. Si un automóvil puede viajar 400 km con 47.3 L de gasolina, ¿cuál es el consumo de gasolina en millas por galón?
Ejercicio 1.54b. Si un somorgujo migratorio vuela a una velocidad promedio de 14 m/s, ¿cuál es su velocidad promedio en mi/h?
Ejercicio 1.54c. ¿Cuál es el desplazamiento del pistón del motor en litros de un motor cuyo desplazamiento se indica como 450 in3?
(17) La regla de tres analítica
Inicio: ⟨Cursos⟩: ⟨Física⟩: {Preliminares}: [El informe de laboratorio] [Unidades y medidas]: (1 Introducción) (2 La medición y el método científico) (3 ¿Qué son las unidades de medición?) (4 Historia de la medición) (5 Sistema métrico decimal) (6 Viejo sistema internacional de unidades) (7 Unidades fundamentales) (8 El nuevo sistema internacional, 2019) (9 Unidades derivadas) (10 Prefijos decimales y notación exponencial) (11 Lenguaje del sistema internacional de unidades) (12 El sistema imperial Británico) (13 Cifras significativas) (14 Operaciones con cifras significativas) (15 Notación científica) (16 Conversiones de unidades) (17 La regla de tres analítica) (18 Análisis dimensional) (Referencias bibliográficas)
En el ámbito de las matemáticas, especialmente en aritmética y álgebra elementales, cuando nos enfrentamos a una ecuación entre dos fracciones o expresiones racionales, podemos recurrir al método del "multiplicación cruzada". Este método nos permite simplificar la ecuación o determinar el valor de una variable desconocida. En esencia, podemos reducir este principio a la idea de que, al conocer tres datos, podemos calcular una incógnita.
Este método también se conoce ocasionalmente como el método de "cruzar el corazón", ya que se pueden trazar líneas que se asemejan al contorno de un corazón para recordar qué elementos deben multiplicarse. Sin embargo, la forma aritmética de la regla de tres presenta ciertos inconvenientes al realizar conversiones de unidades, como la inclusión de pasos adicionales para una sola conversión en comparación con el factor de conversión o el reemplazo algebraico, y la dificultad para resolver situaciones anidadas.
En esta sección, no exploraremos la regla de tres aritmética, que ya ha sido discutida en la sección de conversión de unidades. Nos centraremos en una generalización de la regla de tres aplicada a situaciones algebraicas, específicamente a las leyes de la naturaleza que siguen la forma general de un modelo lineal con intersección en el origen (b = 0).
|
\[ y = k\cdot x\] |
Eq 17.1. Ecuación de la recta con intercepto en el origen (0;0). |
En esta representación, las variables de los ejes respectivos, (x) y (y), simbolizan cantidades o magnitudes físicas, mientras que la pendiente (m) denota una constante de proporcionalidad. Aplicar una regla de tres analítica a una ley natural que sigue un modelo lineal permite eliminar la pendiente, o dicho de otra manera, omitir la constante de proporcionalidad que suele ser desconocida. Este enfoque supone que la constante de proporcionalidad es constante entre dos estados del sistema.
Normalmente, los estados del sistema se consideran en relación con la variable de tiempo relativo, es decir, el sistema en un estado inicial con respecto al sistema en un estado final. No obstante, también podemos asumir un sistema en un estado estándar, medido en tablas presentes en la literatura científica o proporcionadas en el enunciado del ejercicio, y compararlo con el sistema en un momento problemático.
En cualquier caso, una vez que hemos eliminado la pendiente, el sistema adopta la forma de una regla de tres analítica, en la que contamos con dos variables estándar o iniciales y dos variables problema o finales. Con esto, el enunciado solo necesita proporcionar un dato en el momento final o problemático, y con la ayuda de los dos datos iniciales o estándar, podemos calcular la incógnita final o problema.
Es importante destacar que la regla de tres analítica solo es aplicable a leyes naturales que siguen el modelo lineal: demostración: Igualar una ecuación lineal con intercepto en el origen para dos puntos diferentes llamados inicial y final mediante (a) Igualación a la pendiente (b) división algebraica.
|
\[ \frac{y}{x}=\frac{y_o}{x_o}\] |
Eq 17.2. Forma dinámica de una recta con pendiente constante e intercepto en el origen en una relación lineal simple positiva. |
Adicionalmente esta técnica también servirá para los modelos lineales inversos, que siguen la fórmula general:
|
\[ y=k \cdot \frac{1}{x}\] |
Eq 17.3. Forma estática de la recta inversa. |
|
\[ \frac{y}{x}=\frac{x_o}{y_o}\] |
Eq 17.4. Forma dinámica de una inversa a la recta con pendiente m constante e Intercepto en el origen. |
En términos generales, denominaremos a las formas resultantes de aplicar la regla de tres analítica a las leyes naturales como "formas dinámicas". Estas formas nos proporcionan la capacidad de comprender cómo se manifiesta el cambio en una propiedad físico-química en función de tres términos conocidos, siendo uno de ellos la misma propiedad, pero evaluada en un momento inicial. No obstante, es importante señalar que esta técnica tiene limitaciones significativas, siendo la principal la omisión de los acontecimientos que ocurren durante el intervalo de tiempo entre el inicio y el fin. Para abordar este aspecto, sería necesario recurrir a técnicas matemáticas más avanzadas, derivadas del cálculo infinitesimal.
(18) Análisis dimensional
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En ingeniería y ciencia, el análisis dimensional es el proceso de examinar las relaciones entre diferentes cantidades físicas mediante la identificación de sus unidades fundamentales (como longitud, masa, tiempo y carga eléctrica) y las unidades de medida específicas (por ejemplo, millas versus kilómetros o libras versus kilogramos), siguiendo estas dimensiones a medida que se realizan cálculos o comparaciones. La conversión de unidades de una dimensión a otra resulta a menudo más sencilla dentro del sistema métrico o SI que en otros, gracias a la base regular de 10 presente en todas las unidades. El análisis dimensional, en particular el método de factor de conversión, también conocido como método de factor unitario, se erige como una técnica ampliamente empleada para llevar a cabo estas conversiones mediante la aplicación de reglas algebraicas.
Joseph Fourier introdujo el concepto de dimensión física en 1822. Las cantidades físicas que pertenecen al mismo tipo, también conocidas como conmensurables (por ejemplo, longitud, tiempo o masa), comparten la misma dimensión y pueden ser comparadas directamente entre sí, incluso si se expresan inicialmente en distintas unidades de medida, como yardas y metros. En contraste, si las cantidades físicas poseen dimensiones diferentes, como longitud versus masa, no pueden ser expresadas en términos de unidades similares y carecen de comparación cuantitativa, siendo consideradas inconmensurables. Por ejemplo, la pregunta de si un kilogramo es más grande que una hora carece de sentido, ya que las dimensiones de masa y tiempo son inherentemente distintas.
(18.1) Homogeneidad dimensional
Cualquier ecuación físicamente significativa (así como cualquier desigualdad) exhibirá la misma homogeneidad dimensional en ambos lados, una propiedad conocida como homogeneidad dimensional. La comprobación de la homogeneidad dimensional es una aplicación común del análisis dimensional, que funciona como una validación de la coherencia en ecuaciones y cálculos resultantes. Además de servir como guía y restricción, esta verificación se utiliza para derivar ecuaciones que puedan describir un sistema físico en ausencia de una derivación más rigurosa. En la práctica, el análisis dimensional se reduce a la revisión de la homogeneidad dimensional. Este proceso puede llevarse a cabo de manera explícita para cada problema o de manera implícita, siempre y cuando la estructura de la ecuación lo permita.
(18.2) Análisis dimensional explícito
En el análisis dimensional explícito, procedemos a reemplazar de manera evidente las unidades de las constantes y los términos que actúan como datos. Luego, mediante operaciones de multiplicación y división con las unidades pertinentes, buscamos obtener una unidad que sea coherente con la variable despejada. Esto implica necesariamente que si hemos despejado la variable "desplazamiento", la unidad de la respuesta deberá ser en metros o su equivalente en el sistema internacional o en el sistema imperial. En el caso de haber despejado un volumen, la unidad resultante debe ser en litros o su equivalente en los sistemas mencionados. Este proceso nos conduce a las reglas de cancelación de unidades:
|
Figura 18.1. Regla de Cocientes Homogéneos de valores: Se pueden cancelar las mismas unidades que multiplican y dividen. |
Ejemplo. Convertir 1.18 mg/mL a g/L por regla de tres.
(18.3) Análisis dimensional implícito
El análisis dimensional implícito consiste en la cancelación de unidades sin necesidad de escribirlas explícitamente en el código, permitiendo así una presentación más elegante y con una menor carga simbólica en la línea aritmética. Este enfoque, a su vez, reduce la posibilidad de cometer errores.
Cuando se tiene un cociente de variables similares con unidades equivalentes, como en el caso de 40 gramos y 2 gramos, las unidades pueden cancelarse de manera analítica. Es decir, la cancelación puede realizarse mentalmente, lo que implica únicamente el reemplazo de valores explícitos en el cálculo, con el objetivo de optimizar el tiempo empleado.
Si tenemos un cociente de variables similares con las mismas unidades, estas pueden cancelarse de manera analítica. Es decir, podemos reemplazar directamente el valor del enunciado sin incluir su unidad, lo que nos permite ahorrar tiempo y reducir la carga simbólica. Este proceso es conocido como análisis dimensional implícito (García García, 2020). Es importante destacar que en el análisis de homogeneidad no es necesario realizar un reemplazo explícito de unidades, siempre y cuando asumamos que las variables homólogas comparten el mismo tipo de unidad, por ejemplo, que ambas presiones dadas estén expresadas en atmósferas.
Aunque es opcional, al despejar una variable durante un proceso analítico, es recomendable buscar que la fórmula final se presente de la manera más elegante posible. La pregunta clave es: ¿Qué entendemos por una fórmula elegante? Tomemos como ejemplo la ley de Boyle, que requiere despejar una variable, como el volumen final. La cuestión es: ¿Cuál es el método de despeje que facilita un análisis de homogeneidad dimensional? Examinemos diversas opciones para el despeje del volumen final \(V\) en función de la presión final \(P\) y sus versiones iniciales correspondientes \(V_o\) y \(P_o\).
Aunque las tres ecuaciones anteriores son equivalentes, solo una de las expresiones facilita el análisis de homogeneidad dimensional. Esta es aquella en la cual se evidencia un cociente de variables homogéneas (Figura 18.6-C). Al asumir que las presiones final e inicial están expresadas en la misma unidad, dichas unidades deben cancelarse. Por lo tanto, ambos lados de la expresión deben estar dados en unidades de volumen.
¿Por qué es esto relevante? En química, a diferencia de la física, las ecuaciones despejadas tienden a generar numerosos cocientes de variables homogéneas. Esto nos permite realizar análisis dimensionales rápidos o implícitos. En resumen, para llevar a cabo un análisis dimensional rápido o implícito, se deben cumplir dos condiciones. Primero, la ecuación debe tener variables homogéneas que generen cocientes al despejar, lo cual es común en ecuaciones que describen cambios entre momentos finales e iniciales. Segundo, las unidades proporcionadas para las variables homogéneas también deben ser homogéneas. Por ejemplo, si tenemos un par de masas, inicial y final, ambas deben estar expresadas en gramos o ambas en toneladas. En caso de que las unidades no sean homogéneas, será necesario realizar un factor de conversión.
Química de Chang 10. Problema-1.35a. Se midieron tres longitudes cuyos valores fueron 5.6792 m 0.6 m 4.33 m. Sume las longitudes y exprese el resultado con el número de cifras significativas correcto.
Química de Chang 10. Problema-1.35b. Una masa medida de 3.70 g le fueron retirados exactamente 2.9133 g. Determine la masa final con el número de cifras significativas correcto.
Química de Chang 10. Problema-1.35c. Calcule el área de un rectángulo de lados 4.51 cm x 3.6666 cm exactamente, teniendo en cuenta el número correcto de cifras significativas.
Química de Chang 10. Problema-1.35d. Un objeto de masa 3 x 104 g que ocupaba 0.043 cm3 aumentó su masa en 6.827 g, pero disminuyó su volumen en 0.021 cm3. Determine la densidad final teniendo en cuenta el número de cifras significativas.
Química de Chang 10. Problema-1.36a. Exprese el siguiente cálculo con el número de cifras significativas correcto (a) 7.310 km ÷ 5.70 km
Química de Chang 10. Problema-1.36b. Exprese el siguiente cálculo con el número de cifras significativas correcto (3.26 x 10-2 mg) - (7.88 x 10-5 mg).
Química de Chang 10. Problema-1.36c. Exprese el siguiente cálculo con el número de cifras significativas correcto (4.02 x 106 dm) + (7.74 x 107 dm).
Química de Chang 10. Problema-1.36d. Exprese el siguiente cálculo con el número de cifras significativas correcto (7.8 m – 0.34 m)/(1.15 s + 0.82 s).
Referencias bibliográficas
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