Demostración. Fracción de un elemento en función de la formula molecular

Para derivar un teorema que permita calcular el porcentaje de un elemento en función de la masa del compuesto que lo contiene y viceversa, se invocará el [axioma de la fracción de masa] aplicado a un elemento puro, junto con la fórmula molecular está descrita por la [Ley de Proust] y el [axioma de masa molar]

\[ w_x = \frac{m_x}{m_i}\tag{1}\]

\[ n_x = si_x \cdot n_i \tag{2}\]

\[ M = \frac{m}{n}\tag{3}\]

Despejamos la cantidad de (2) y reemplazaos en (1)

\[ n = \frac{m}{M}\tag{4}\]

Esto implica que cualquier cantidad sea elemento o compuesto puede expresarse como ratio de m/M, por lo que podemos transformar (2) bajo esa premisa.

 \[ \frac{m_x}{M_x} = si_x \cdot \frac{m_i}{M_i}  \tag{5}\]

Despejamos el ratio de masa de elemento sobre masa del compuesto i.

\[ \frac{m_x}{m_i} = si_x \cdot \frac{M_x}{M_i}  \tag{6}\]

Y al hacerlo obtenemos la definición de (1).

\[ w_x = si_x \cdot \frac{M_x}{M_i}  \tag{7}\]

Para el análisis inverso que es el mas complejo, despejamos el subíndice.

\[ si_x = w_x \cdot \frac{M_i}{M_x}  \tag{8}\]

Para finalizar aplicaremos la notacion de ratio de parámetro semejante para hacer las fórmulas mas compacvtas y hermosas.

\[ w_x = si_x \cdot M_{x/i}  \tag{9}\]

\[ w_x = si_x \cdot M_{i/x}  \tag{10}\]

Masa molar promedio de elementos y moléculas

Las masas molares de los núcleos constituyen la base para construir las masas molares promedio tanto de los elementos como de los compuestos. A partir de estas, es posible integrar la contribución de los distintos isótopos y sus abundancias para obtener valores representativos a escala macroscópica. En esta sección analizaremos el procedimiento mediante el cual se realiza esta construcción y cómo se conecta el nivel nuclear con las magnitudes químicas observables.

Masas molares de un elemento promedio

 La masa molar promedio de un elemento representa la contribución total de masa asociada a todos los átomos de sus distintos isótopos presentes en una muestra dada. Cada muestra posee una composición isotópica particular; sin embargo, la referencia utilizada en la tabla periódica corresponde, en general, a la composición típica de la corteza terrestre, lo que permite estandarizar los valores reportados.

En este contexto, la masa molar promedio se define como una suma ponderada, en la cual cada término corresponde al producto entre la fracción molar de un isótopo y su respectiva masa molar. Esta formulación refleja de manera directa la contribución relativa de cada especie isotópica a la masa total del elemento.

[Teorema de masa molar teórica] Masa molar de un elemento por factor marcado (FM.1) \[\frac{\text{suma}(frac.molar.isot \times m.molar.isot)\ \color{Indigo} \text{g} \ \color{NavyBlue} \text{elem}}{1\ \color{Indigo} \text{mol} \ \color{NavyBlue} \text{elem}} = \frac{(m.molar)\ \color{Indigo} \text{g} \ \color{NavyBlue} \text{elem}}{1\ \color{Indigo} \text{mol} \ \color{NavyBlue} \text{elem}}\] Masa molar de un elemento por álgebra simbólica (AS.1) \[M_x=\Sigma(\chi_A \cdot M_A)\]

La fracción molar de un isótopo expresa la proporción de núcleos de dicho isótopo con respecto al total de núcleos del elemento al que pertenece. Aunque en muchos textos esta magnitud se presenta bajo denominaciones como abundancia o frecuencia, su interpretación rigurosa corresponde a una cantidad adimensional con significado químico bien definido.

Enlace a la [Figura. Peso atómico]

El cálculo anterior, aplicado a la mayoría de los elementos, produce valores no enteros, que son precisamente los que aparecen en la tabla periódica. Esto ocurre porque la masa molar tabulada no corresponde a la masa de un solo átomo o de un único isótopo, sino al promedio ponderado de todos los isótopos naturales del elemento, teniendo en cuenta su abundancia relativa.

Como cada isótopo posee una masa ligeramente distinta y su proporción en la naturaleza no es la misma, el resultado del promedio raramente coincide con un número entero. Por esta razón, las masas molares que figuran en la tabla periódica suelen presentarse con varios decimales, reflejando la composición isotópica natural promedio del elemento. Solo en algunos casos particulares —cuando un elemento posee prácticamente un único isótopo estable o uno claramente dominante, y al mismo tiempo ese isótopo dominante tiene igual cantidad de protones y neutrones— la masa molar se aproxima a un valor entero o casi entero.

Ejemplo 1. Calcule el peso atómico del cobre, que tiene dos isótopos con las siguientes propiedades: Cu-63 (62.93 uma, 69.17% de abundancia natural) y Cu-65 (64.93 uma, 30.83% de abundancia natural). Etapa analítica. Usaremos os teoremas FM.1 y AS.1; la variable dependiente es directamente lo que nos piden en la pregunta, y por ende podemos aplicarlos directamente. Expresaremos las unidades de mas a atómica en daltons (u = g/mol) en lugar de uma. La abundancia debe expresarse en su forma decimal, por lo que dividimos entre 100 todos los porcentuales. El resultado se expresa a 4 cifras significativas Etapa numérica por factor de conversión. \[ \frac{(0.6917 \times 62.93 + 0.3083 \times 64.93)\ \color{Indigo} \text{g} \ \color{NavyBlue} \text{Cu}}{1\ \color{Indigo} \text{mol} \ \color{NavyBlue} \text{Cu}} = \frac{63.55\ \color{Indigo} \text{g} \ \color{NavyBlue} \text{elem}}{1\ \color{Indigo} \text{mol} \ \color{NavyBlue} \text{elem}} \] Etapa numérica por álgebra simbólica. \[ M(\color{NavyBlue} \text{Cu}\color{black}) = (0.6917 \times 62.93 + 0.3083 \times 64.93)\ \color{Indigo} \text{u} \color{black}= 63.55\ \color{Indigo} \text{u} \]

Masa molar teórica de una molécula

La masa molar teórica de una molécula se define como la suma ponderada del producto entre el subíndice de cada átomo de un elemento y la masa molar promedio de dicho elemento. Esta formulación refleja que cada tipo de átomo contribuye de manera proporcional a la masa total de la molécula, de acuerdo con su cantidad y naturaleza química.

En consecuencia, las masas molares moleculares constituyen un promedio de promedios, ya que dependen de las masas molares promedio de los elementos, las cuales a su vez incorporan la composición isotópica. Por ello, estos valores son estrictamente válidos bajo las condiciones de referencia adoptadas, que corresponden, en general, a la composición isotópica de la corteza terrestre.

[Teorema de masa molar teórica] Masa molar de una molécula por factor marcado (FM.2) \[\frac{\text{suma}(sub.ind.elem \times m.molar.elem)\ \color{Indigo} \text{g} \ \color{NavyBlue} \text{sust}}{1\ \color{Indigo} \text{mol} \ \color{NavyBlue} \text{sust}} = \frac{(m.molar)\ \color{Indigo} \text{g} \ \color{NavyBlue} \text{sust}}{1\ \color{Indigo} \text{mol} \ \color{NavyBlue} \text{sust}}\] Masa molar de una molécula por álgebra simbólica (AS.2) \[M_i=\Sigma(si_x \cdot M_x) \]

La fórmula de la masa molar teórica de una molécula promedio queda definida en términos de dos tipos de constantes: una perfecta, correspondiente al subíndice estequiométrico, y otra imperfecta o medida, asociada a la masa molar promedio de cada elemento, la cual depende de su composición isotópica. En consecuencia, las cifras significativas del resultado están determinadas por la precisión de dichas masas molares de los elementos.

No obstante, aunque en la actualidad muchas de estas magnitudes se conocen con alta precisión, por convención se suelen redondear a dos decimales de confianza o incluso a valores enteros, dependiendo del nivel de exactitud requerido. Como regla general, si el ejercicio no especifica un criterio distinto, los cálculos deben realizarse utilizando dos decimales de confianza.

Ejemplo 2. Calcule la masa molar del (a) dioxígeno O2, (b) el agua H2O, (c) el dióxido de carbono CO2 y (d) el ácido sulfúrico H2SO4. Etapa analítica. Usaremos os teoremas FM.2 y AS.2; la variable dependiente es directamente lo que nos piden en la pregunta, y por ende podemos aplicarlos directamente. Las masas molares de los elementos promedio se encuentran en la tabla periódica como peso atómico o masa atómica. Etapa numérica por factor de conversión. (a) dioxígeno O2 \[ \frac{(2 \times 16.00)\ \color{Indigo} \text{g} \ \color{NavyBlue} \text{O}_2}{1\ \color{Indigo} \text{mol} \ \color{NavyBlue} \text{O}_2} = \frac{32.00\ \color{Indigo} \text{g} \ \color{NavyBlue} \text{O}_2}{1\ \color{Indigo} \text{mol} \ \color{NavyBlue} \text{O}_2} \] (b) el agua H2O  \[ \frac{(2 \times 1.01 + 16.00)\ \color{Indigo} \text{g} \ \color{NavyBlue} \text{H}_2\text{O}}{1\ \color{Indigo} \text{mol} \ \color{NavyBlue} \text{H}_2\text{O}} = \frac{18.02\ \color{Indigo} \text{g} \ \color{NavyBlue} \text{H}_2\text{O}}{1\ \color{Indigo} \text{mol} \ \color{NavyBlue} \text{H}_2\text{O}} \] (c) el dióxido de carbono CO2 \[ \frac{(12.01 + 16.00 \times 2)\ \color{Indigo} \text{g} \ \color{NavyBlue} \text{CO}_2}{1\ \color{Indigo} \text{mol} \ \color{NavyBlue} \text{CO}_2} = \frac{44.01\ \color{Indigo} \text{g} \ \color{NavyBlue} \text{CO}_2}{1\ \color{Indigo} \text{mol} \ \color{NavyBlue} \text{CO}_2} \] (d) el ácido sulfúrico H2SO4. \[ \frac{(1.01 \times 2 + 32.07 + 16.00 \times 4)\ \color{Indigo} \text{g} \ \color{NavyBlue} \text{H}_2\text{SO}_4}{1\ \color{Indigo} \text{mol} \ \color{NavyBlue} \text{H}_2\text{SO}_4} = \frac{98.09\ \color{Indigo} \text{g} \ \color{NavyBlue} \text{H}_2\text{SO}_4}{1\ \color{Indigo} \text{mol} \ \color{NavyBlue} \text{H}_2\text{SO}_4} \] Etapa numérica por álgebra simbólica. (a) dioxígeno O2 \[ M(\color{NavyBlue} \text{O}_2\color{black}) = (2 \times 16.00)\ \color{Indigo} \text{u} \color{black}= 32.00\ \color{Indigo} \text{u} \] (b) el agua H2O \[ M(\color{NavyBlue} \text{H}_2\text{O}\color{black}) = (2 \times 1.01 + 16.00)\ \color{Indigo} \text{u} \color{black}= 18.02\ \color{Indigo} \text{u} \] (c) el dióxido de carbono CO2 \[ M(\color{NavyBlue} \text{CO}_2\color{black}) = (12.01 + 16.00 \times 2)\ \color{Indigo} \text{u} \color{black} = 44.01\ \color{Indigo} \text{u} \] (d) el ácido sulfúrico H2SO4. \[ M(\color{NavyBlue} \text{H}_2\text{SO}_4\color{black}) = (1.01 \times 2 + 32.07 + 16.00 \times 4)\ \color{Indigo} \text{u} \color{black}= 98.09\ \color{Indigo} \text{u} \]

Referencias

Atkins, P., & de Paula, J. (2014). Atkins' Physical Chemistry (10th ed.). Oxford University Press.

Chang, R., & Goldsby, K. (2016). Química (12ª ed.). McGraw-Hill.

García García, J. L. (2025). Dimensional Analysis in Chemistry Textbooks 1900–2020 and an Algebraic Alternative. Educación Química, 36(1), 82–108.

IUPAC. (2019). Compendium of Chemical Terminology (Gold Book).

Petrucci, R. H., Herring, F. G., Madura, J. D., & Bissonnette, C. (2017). General Chemistry: Principles and Modern Applications (11th ed.). Pearson.

Smith, J. G. (2010). General, Organic, and Biological Chemistry (2nd ed.). McGraw-Hill.

Figura. Peso atómico

 La figura muestra un recuadro típico de la tabla periódica de Walter, muy común en Colombia en contextos escolares, donde se presentan múltiples propiedades de un elemento químico, en este caso el escandio (Sc). Este tipo de tablas de mano organiza información como el número atómico, la configuración electrónica, los estados de oxidación, así como propiedades físicas como el punto de fusión, punto de ebullición y la densidad. Además, incluye datos energéticos como la electronegatividad y el potencial de ionización, lo que la convierte en una herramienta compacta pero muy completa para el estudio de la química general.

Uno de los aspectos más relevantes de estas tablas es la presencia del valor etiquetado como “peso atómico”, aunque en otras versiones puede aparecer como “masa atómica”. A pesar de la diferencia en el nombre, ambas etiquetas hacen referencia a una misma magnitud: la masa molar del elemento promedio, es decir, el promedio ponderado de las masas de sus isótopos naturales según su abundancia relativa. Este valor suele presentarse como un número decimal sin unidades explícitas, lo cual puede generar confusión en estudiantes que están iniciando en el estudio de la química.

Sin embargo, por definición, el lector debe interpretar que este valor está expresado en unidades de masa molar, es decir, en gramos por mol (g/mol) o de forma equivalente en unidades de masa atómica o dalton (u) cuando se refiere a una escala microscópica. Esta omisión de unidades responde a una convención histórica en la presentación de la tabla periódica, pero es fundamental comprender que no se trata de una cantidad abstracta, sino de una magnitud física con unidades bien definidas, esencial para cálculos estequiométricos y conversiones químicas.