Ejercicios resueltos del cruce monohíbrido dominante con combinatorias por álgebra, Ejemplo 7

[Genética clásica] [Mas ejercicios]

La esclerosis tuberosa es un trastorno hereditario que puede producir lesiones en distintos órganos y que, en determinadas familias, se transmite mediante un alelo autosómico dominante del gen TSC2. Un padre heterocigoto y una madre sin la variante familiar planean tener ocho hijos. Bajo un modelo de penetrancia completa, calcule: a) La probabilidad de que ninguno herede la variante. b) La probabilidad de que los cuatro primeros la hereden y los cuatro siguientes no. c) La probabilidad de que exactamente cinco hijos la hereden. d) Si los primeros seis hijos heredaron la variante, ¿qué probabilidad existe de que los dos últimos no la hereden?

Plantear la ley de la dominancia en una tabla

Carácter	Rasgo	Fenotipo	Genotipo
Esclerosis tuberosa	Afectado	\(D\)	\(AA\); \(Aa\)
	No afectado	\(r\)	\(aa\)

Nota: D = fenotipo dominante, y r = fenotipo recesivo

Usamos la tabla para traducir los rasgos y obtener los genotipos de P.

Un padre heterocigoto: \(Aa\)

Una madre sin la variante familiar: \(aa\)

Genotipos y fenotipos de la generación F1.

Factorizamos los gametos \[(A+a)a=1Aa+1aa=1D+1r\]

Calculamos las probabilidades de los fenotipos usando el [Teorema de la probabilidad],

\[\boxed{P_i=\frac{n_i}{n}}\]

donde la cantidad total \(n\) es la suma de los coeficientes.

\[n=1+1=2\]

\[P_{D}=\frac{1}{2}=0.5=50.00\%\]

\[P_{r}=\frac{1}{2}=0.5=50.00\%\]

Probabilidades

a) La probabilidad de que ninguno herede la variante.

Usamos el Teorema [Regla del complemento o probabilidad de no ocurrencia] junto con el Teorema [Regla de multiplicación de probabilidades para eventos independientes]

\[\boxed{P_{\neg i}=1-p_i}\]

\[P_{r}^{8}=(1-P_{D})^{8}=(\frac{1}{2})^{8}=\frac{1}{256}=0.00390625=0.39\%\]

b) La probabilidad de que los cuatro primeros la hereden y los cuatro siguientes no.

Usamos el Teorema [Regla de multiplicación de probabilidades para eventos independientes]

\[P_{(D^{4}r^{4})}=P_{D}^{4}\times P_{r}^{4}=(\frac{1}{2})^{4}\times(\frac{1}{2})^{4}=\frac{1}{256}=0.00390625=0.39\%\]

c) La probabilidad de que exactamente cinco hijos la hereden.

Usamos el Teorema [Probabilidad de una permutación específica sin repetición]

\[p_p=\frac{8!\times(\frac{1}{2})^{5}\times(1-\frac{1}{2})^{3}}{5!\,(8-5)!}=\frac{7}{32}=0.21875=21.88\%\]

d) Si los primeros seis hijos heredaron la variante, ¿qué probabilidad existe de que los dos últimos no la hereden?

Conocemos el resultado de los seis primeros nacimientos. Sin embargo, estos no modifican las probabilidades de los siguientes, porque los eventos son independientes, por lo que las probabilidades siguen siendo de 50.00 % para el fenotipo dominante y de 50.00 % para el fenotipo recesivo. Usamos el Teorema [Regla de multiplicación de probabilidades para eventos independientes]

\[p_{(rr)}=P_{r}^{2}=(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}=0.25=25.00\%\]

Resumen de resultados

Apartado	Acontecimiento	Probabilidad
a	La probabilidad de que ninguno herede la variante	0.39 %
b	La probabilidad de que los cuatro primeros la hereden y los cuatro siguientes no	0.39 %
c	La probabilidad de que exactamente cinco hijos la hereden	21.88 %
d	Si los primeros seis hijos heredaron la variante, ¿qué probabilidad existe de que los dos últimos no la hereden	25.00 %