Ejercicios resueltos del cruce monohíbrido dominante con combinatorias por álgebra, Ejemplo 6

[Genética clásica] [Mas ejercicios]

La poliquistosis renal autosómica dominante puede originarse por variantes patogénicas del gen PKD1. Para estudiar la transmisión de una variante mediante un modelo mendeliano simplificado, consideraremos el cruzamiento hipotético de dos individuos heterocigotos para una misma variante dominante, suponiendo que ambos pueden reproducirse. La pareja desea tener seis hijos. Considere que heredar la variante no implica necesariamente presentar síntomas durante la infancia y que se clasificará como portador de la variante a cualquier descendiente que posea al menos una copia. Determine: a) La probabilidad de que los seis hereden la variante. b) La probabilidad de que únicamente los dos hijos mayores la hereden. c) La probabilidad de que exactamente cuatro la hereden. d) Si los tres primeros no la heredaron, ¿cuál es la probabilidad de que los tres siguientes sí la hereden?

Plantear la ley de la dominancia en una tabla

Carácter	Rasgo	Fenotipo	Genotipo
Poliquistosis renal autosómica dominante	Afectado	\(D\)	\(AA\); \(Aa\)
	No afectado	\(r\)	\(aa\)

Nota: D = fenotipo dominante, y r = fenotipo recesivo

Usamos la tabla para traducir los rasgos y obtener los genotipos de P.

Primer individuo heterocigoto: \(Aa\)

Segundo individuo heterocigoto: \(Aa\)

Genotipos y fenotipos de la generación F1.

Factorizamos los gametos \[(A+a)(A+a)=1AA+2Aa+1aa=3D+1r\]

Calculamos las probabilidades de los fenotipos usando el [Teorema de la probabilidad],

\[\boxed{P_i=\frac{n_i}{n}}\]

donde la cantidad total \(n\) es la suma de los coeficientes.

\[n=3+1=4\]

\[P_{D}=\frac{3}{4}=0.75=75.00\%\]

\[P_{r}=\frac{1}{4}=0.25=25.00\%\]

Probabilidades

a) La probabilidad de que los seis hereden la variante.

Usamos el Teorema [Regla del complemento o probabilidad de no ocurrencia] junto con el Teorema [Regla de multiplicación de probabilidades para eventos independientes]

\[\boxed{P_{\neg i}=1-p_i}\]

\[P_{D}^{6}=(1-P_{r})^{6}=(\frac{3}{4})^{6}=\frac{729}{4096}=0.17797852=17.80\%\]

b) La probabilidad de que únicamente los dos hijos mayores la hereden.

Usamos el Teorema [Regla de multiplicación de probabilidades para eventos independientes]

\[P_{(D^{2}r^{4})}=P_{D}^{2}\times P_{r}^{4}=(\frac{3}{4})^{2}\times(\frac{1}{4})^{4}=\frac{9}{4096}=0.00219727=0.22\%\]

c) La probabilidad de que exactamente cuatro la hereden.

Usamos el Teorema [Probabilidad de una permutación específica sin repetición]

\[p_p=\frac{6!\times(\frac{3}{4})^{4}\times(1-\frac{3}{4})^{2}}{4!\,(6-4)!}=\frac{1215}{4096}=0.29663086=29.66\%\]

d) Si los tres primeros no la heredaron, ¿cuál es la probabilidad de que los tres siguientes sí la hereden?

Conocemos el resultado de los tres primeros nacimientos. Sin embargo, estos no modifican las probabilidades de los siguientes, porque los eventos son independientes, por lo que las probabilidades siguen siendo de 75.00 % para el fenotipo dominante y de 25.00 % para el fenotipo recesivo. Usamos el Teorema [Regla de multiplicación de probabilidades para eventos independientes]

\[p_{(DDD)}=P_{D}^{3}=(\frac{3}{4})^{3}=\frac{27}{64}=0.421875=42.19\%\]

Resumen de resultados

Apartado	Acontecimiento	Probabilidad
a	La probabilidad de que los seis hereden la variante	17.80 %
b	La probabilidad de que únicamente los dos hijos mayores la hereden	0.22 %
c	La probabilidad de que exactamente cuatro la hereden	29.66 %
d	Si los tres primeros no la heredaron, ¿cuál es la probabilidad de que los tres siguientes sí la hereden	42.19 %