Teorema. Probabilidad de una permutación específica sin repetición.

La distribución binomial permite calcular la probabilidad de obtener una cantidad determinada de descendientes con un fenotipo específico, sin importar el orden de nacimiento. Su fundamento combina la multiplicación de probabilidades independientes con el número de ordenaciones posibles de los resultados. En la ecuación presentada, \(n_k\) representa el número total de nacimientos, \(n_i\) identifica cuántos cumplen una condición fenotípica y \(p_i\) expresa la probabilidad individual de manifestarla. El factor factorial calcula las distintas permutaciones con repetición, mientras que las potencias representan la probabilidad de cada secuencia hereditaria. Así obtenemos la probabilidad conjunta de todas las secuencias que contienen exactamente \(n_i\) resultados favorables.

En genética mendeliana, esta expresión resulta particularmente útil para estudiar la transmisión de enfermedades monogénicas. Consideremos una pareja cuyos descendientes tienen una probabilidad del 50 % de heredar determinada variante autosómica dominante. Si desean tener seis hijos, podemos calcular la probabilidad de que exactamente tres hereden la variante, independientemente de sus posiciones. Las combinaciones posibles multiplican la probabilidad correspondiente a una secuencia particular, permitiendo considerar todas las distribuciones equivalentes. Esta aplicación de la distribución binomial también aparece en investigaciones experimentales sobre segregación genética y reproducción de organismos modelo, como documentan Ellis y colaboradores y este estudio sobre planificación de cruzamientos.

Sin embargo, debemos distinguir entre probabilidad de una secuencia específica y probabilidad de cualquier ordenación equivalente. Para una secuencia fija no utilizamos el coeficiente combinatorio; únicamente multiplicamos las probabilidades individuales. Además, el modelo exige ensayos independientes, probabilidades constantes y dos resultados complementarios. En familias reales pueden intervenir penetrancia incompleta, mosaicismo y otros factores que modifican el riesgo hereditario, como muestra Emery.