Ejercicios resueltos del cruce monohíbrido dominante con combinatorias por álgebra, Ejemplo 5

[Genética clásica] [Mas ejercicios]

La osteogénesis imperfecta tipo I puede deberse a variantes autosómicas dominantes relacionadas con la producción de colágeno. Un hombre heterocigoto para una variante patogénica del gen COL1A1 y una mujer sin dicha variante planean tener cinco hijos. Suponiendo que la variante presenta penetrancia completa, calcule: a) La probabilidad de que ninguno de los hijos presente la enfermedad. b) La probabilidad de que solamente el hijo menor herede la variante. c) La probabilidad de que exactamente tres hijos la hereden, independientemente del orden. d) Si los dos primeros hijos heredaron la variante, ¿qué probabilidad existe de que los tres restantes no la hereden?

Plantear la ley de la dominancia en una tabla

Carácter	Rasgo	Fenotipo	Genotipo
Osteogénesis imperfecta tipo I	Afectado	\(D\)	\(AA\); \(Aa\)
	No afectado	\(r\)	\(aa\)

Nota: D = fenotipo dominante, y r = fenotipo recesivo

Usamos la tabla para traducir los rasgos y obtener los genotipos de P.

Un hombre heterocigoto: \(Aa\)

Una mujer sin dicha variante: \(aa\)

Genotipos y fenotipos de la generación F1.

Factorizamos los gametos \[(A+a)a=1Aa+1aa=1D+1r\]

Calculamos las probabilidades de los fenotipos usando el [Teorema de la probabilidad],

\[\boxed{P_i=\frac{n_i}{n}}\]

donde la cantidad total \(n\) es la suma de los coeficientes.

\[n=1+1=2\]

\[P_{D}=\frac{1}{2}=0.5=50.00\%\]

\[P_{r}=\frac{1}{2}=0.5=50.00\%\]

Probabilidades

a) La probabilidad de que ninguno de los hijos presente la enfermedad.

Usamos el Teorema [Regla del complemento o probabilidad de no ocurrencia] junto con el Teorema [Regla de multiplicación de probabilidades para eventos independientes]

\[\boxed{P_{\neg i}=1-p_i}\]

\[P_{r}^{5}=(1-P_{D})^{5}=(\frac{1}{2})^{5}=\frac{1}{32}=0.03125=3.13\%\]

b) La probabilidad de que solamente el hijo menor herede la variante.

Usamos el Teorema [Regla de multiplicación de probabilidades para eventos independientes]

\[P_{(D^{1}r^{4})}=P_{D}^{1}\times P_{r}^{4}=(\frac{1}{2})^{1}\times(\frac{1}{2})^{4}=\frac{1}{32}=0.03125=3.13\%\]

c) La probabilidad de que exactamente tres hijos la hereden, independientemente del orden.

Usamos el Teorema [Probabilidad de una permutación específica sin repetición]

\[p_p=\frac{5!\times(\frac{1}{2})^{3}\times(1-\frac{1}{2})^{2}}{3!\,(5-3)!}=\frac{5}{16}=0.3125=31.25\%\]

d) Si los dos primeros hijos heredaron la variante, ¿qué probabilidad existe de que los tres restantes no la hereden?

Conocemos el resultado de los dos primeros nacimientos. Sin embargo, estos no modifican las probabilidades de los siguientes, porque los eventos son independientes, por lo que las probabilidades siguen siendo de 50.00 % para el fenotipo dominante y de 50.00 % para el fenotipo recesivo. Usamos el Teorema [Regla de multiplicación de probabilidades para eventos independientes]

\[p_{(rrr)}=P_{r}^{3}=(\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}=0.125=12.50\%\]

Resumen de resultados

Apartado	Acontecimiento	Probabilidad
a	La probabilidad de que ninguno de los hijos presente la enfermedad	3.13 %
b	La probabilidad de que solamente el hijo menor herede la variante	3.13 %
c	La probabilidad de que exactamente tres hijos la hereden, independientemente del orden	31.25 %
d	Si los dos primeros hijos heredaron la variante, ¿qué probabilidad existe de que los tres restantes no la hereden	12.50 %