Ejercicios resueltos del cruce monohíbrido dominante con combinatorias por álgebra, Ejemplo 2

[Genética clásica] [Mas ejercicios]

El síndrome de Marfan es una enfermedad del tejido conectivo que suele heredarse de manera autosómica dominante. Dos personas heterocigotas para una misma variante patogénica del gen FBN1 desean tener cinco hijos. Para este ejercicio se supone que ambos progenitores pueden tener descendencia y que la variante presenta penetrancia completa, tanto en heterocigosis como en homocigosis. Determine: a) La probabilidad de que todos hereden al menos una copia de la variante. b) La probabilidad de que únicamente el primer hijo herede la variante. c) La probabilidad de que exactamente dos de los cinco hijos la hereden. d) Si los tres primeros no la heredaron, ¿qué probabilidad existe de que los dos restantes sí la hereden?

Plantear la ley de la dominancia en una tabla

Carácter	Rasgo	Fenotipo	Genotipo
Síndrome de Marfan	Afectado	\(D\)	\(AA\); \(Aa\)
	No afectado	\(r\)	\(aa\)

Nota: D = fenotipo dominante, y r = fenotipo recesivo

Usamos la tabla para traducir los rasgos y obtener los genotipos de P.

Primer individuo heterocigoto: \(Aa\)

Segundo individuo heterocigoto: \(Aa\)

Genotipos y fenotipos de la generación F1.

Factorizamos los gametos \[(A+a)(A+a)=1AA+2Aa+1aa=3D+1r\]

Calculamos las probabilidades de los fenotipos usando el [Teorema de la probabilidad],

\[\boxed{P_i=\frac{n_i}{n}}\]

donde la cantidad total \(n\) es la suma de los coeficientes.

\[n=3+1=4\]

\[P_{D}=\frac{3}{4}=0.75=75.00\%\]

\[P_{r}=\frac{1}{4}=0.25=25.00\%\]

Probabilidades

a) La probabilidad de que todos hereden al menos una copia de la variante.

Usamos el Teorema [Regla del complemento o probabilidad de no ocurrencia] junto con el Teorema [Regla de multiplicación de probabilidades para eventos independientes]

\[\boxed{P_{\neg i}=1-p_i}\]

\[P_{D}^{5}=(1-P_{r})^{5}=(\frac{3}{4})^{5}=\frac{243}{1024}=0.23730469=23.73\%\]

b) La probabilidad de que únicamente el primer hijo la herede.

Usamos el Teorema [Regla de multiplicación de probabilidades para eventos independientes]

\[P_{(D^{1}r^{4})}=P_{D}^{1}\times P_{r}^{4}=(\frac{3}{4})^{1}\times(\frac{1}{4})^{4}=\frac{3}{1024}=0.00292969=0.29\%\]

c) La probabilidad de que exactamente dos de los cinco hijos la hereden.

Usamos el Teorema [Probabilidad de una permutación específica sin repetición]

\[p_p=\frac{5!\times(\frac{3}{4})^{2}\times(1-\frac{3}{4})^{3}}{2!\,(5-2)!}=\frac{45}{512}=0.08789062=8.79\%\]

d) Si los tres primeros no la heredaron, ¿qué probabilidad existe de que los dos restantes sí la hereden?

Conocemos el resultado de los tres primeros nacimientos. Sin embargo, estos no modifican las probabilidades de los siguientes, porque los eventos son independientes, por lo que las probabilidades siguen siendo de 75.00 % para el fenotipo dominante y de 25.00 % para el fenotipo recesivo. Usamos el Teorema [Regla de multiplicación de probabilidades para eventos independientes]

\[p_{(DD)}=P_{D}^{2}=(\frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}=0.5625=56.25\%\]

Resumen de resultados

Apartado	Acontecimiento	Probabilidad
a	La probabilidad de que todos hereden al menos una copia de la variante	23.73 %
b	La probabilidad de que únicamente el primer hijo la herede	00.29 %
c	La probabilidad de que exactamente dos de los cinco hijos la hereden	08.79 %
d	Si los tres primeros no la heredaron, ¿qué probabilidad existe de que los dos restantes sí la hereden	56.25 %