Ejercicios resueltos del cruce monohíbrido dominante con combinatorias por álgebra, Ejemplo 1

[Genética clásica] [Mas ejercicios]

La enfermedad de Huntington es un trastorno neurodegenerativo causado por determinadas expansiones del gen HTT, cuya transmisión presenta un patrón autosómico dominante. Un hombre heterocigoto para una variante patogénica de penetrancia completa y una mujer que no posee dicha variante planean tener seis hijos. Se desea calcular las siguientes probabilidades: a) Que ninguno herede la variante. b) Que los dos primeros la hereden y los cuatro siguientes no. c) Que exactamente tres hijos la hereden, sin importar el orden. d) Si los primeros dos hijos no la heredaron, ¿cuál es la probabilidad de que el tercero sí la herede y de que el cuarto no? 

Plantear la ley de la dominancia en una tabla

Carácter	Rasgo	Fenotipo	Genotipo
Enfermedad de Huntington	Afectado	\(D\)	\(AA\); \(Aa\)
	No afectado	\(r\)	\(aa\)

Nota: D = fenotipo dominante, y r = fenotipo recesivo

Usamos la tabla para traducir los rasgos y obtener los genotipos de P.

Un hombre heterocigoto: \(Aa\)

Una mujer que no posee dicha variante: \(aa\)

Genotipos y fenotipos de la generación F1.

Factorizamos los gametos \[(A+a)a=1Aa+1aa=1D+1r\]

Calculamos las probabilidades de los fenotipos usando el [Teorema de la probabilidad],

\[\boxed{P_i=\frac{n_i}{n}}\]

donde la cantidad total \(n\) es la suma de los coeficientes.

\[n=1+1=2\]

\[P_{D}=\frac{1}{2}=0.5=50.00\%\]

\[P_{r}=\frac{1}{2}=0.5=50.00\%\]

Probabilidades

a) Que ninguno herede la variante.

Usamos el Teorema [Regla del complemento o probabilidad de no ocurrencia] junto con el Teorema [Regla de multiplicación de probabilidades para eventos independientes]

\[\boxed{P_{\neg i}=1-p_i}\]

\[P_{r}^{6}=(1-P_{D})^{6}=(\frac{1}{2})^{6}=\frac{1}{64}=0.015625=1.56\%\]

b) Que los dos primeros la hereden y los cuatro siguientes no.

Usamos el Teorema [Regla de multiplicación de probabilidades para eventos independientes]

\[P_{(D^{2}r^{4})}=P_{D}^{2}\times P_{r}^{4}=(\frac{1}{2})^{2}\times(\frac{1}{2})^{4}=\frac{1}{64}=0.015625=1.56\%\]

c) Que exactamente tres hijos la hereden, sin importar el orden.

Usamos el Teorema [Probabilidad de una permutación específica sin repetición]

\[p_p=\frac{6!\times(\frac{1}{2})^{3}\times(1-\frac{1}{2})^{3}}{3!\,(6-3)!}=\frac{5}{16}=0.3125=31.25\%\]

d) Si los primeros dos hijos no la heredaron, ¿cuál es la probabilidad de que el tercero sí la herede y de que el cuarto no?

Conocemos el resultado de los dos primeros nacimientos. Sin embargo, estos no modifican las probabilidades de los siguientes, porque los eventos son independientes, por lo que las probabilidades siguen siendo de 50.00 % para el fenotipo dominante y de 50.00 % para el fenotipo recesivo. Usamos el Teorema [Regla de multiplicación de probabilidades para eventos independientes]

\[p_{(Dr)}=P_D\times P_r=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=0.25=25.00\%\]

Resumen de resultados

Apartado	Acontecimiento	Probabilidad
a	Que ninguno herede la variante	101.56 %
b	Que los dos primeros la hereden y los cuatro siguientes no	101.56 %
c	Que exactamente tres hijos la hereden, sin importar el orden	31.25 %
d	El tercero la hereda y el cuarto no	25.00 %
d	El tercero la hereda	50.00 %
d	El cuarto no la hereda	50.00 %