García-García, Ejemplo 25. En un modelo didáctico de ratones, una mancha clara en el pecho es dominante y está ligada al X. Genotipo materno: heterocigota, con la mancha. Genotipo paterno: hemicigoto para la variante no asociada con la mancha, sin ella. Entre 200 crías, se observaron 49 machos con mancha y 51 sin ella, y 51 hembras con mancha y 49 sin ella. Calcula los valores esperados por sexo, grafica y contrasta los resultados mediante chi cuadrado.
Plantear
la ley de la dominancia en una tabla
En este caso la distinción entre rasgo y código fenotipo se
diluyen.
|
Carácter |
Rasgo |
Fenotipo |
Genotipo |
|
Mancha clara en el pecho |
Femenino con la mancha clara en el pecho |
\(D\unicode{x2640}\) |
\(X^A X^A\) \(X^A X^a\) |
|
Femenino sin la mancha clara en el pecho |
\(r\unicode{x2640}\) |
\(X^a X^a\) |
|
|
Masculino con la mancha clara en el pecho |
\(D\unicode{x2642}\) |
\(X^A Y\) |
|
|
Masculino sin la mancha clara en el pecho |
\(r\unicode{x2642}\) |
\(X^a Y\) |
Cruce
Los gametos maternos son \(X^A\) y \(X^a\), con probabilidad de \(\frac{1}{2}\) cada uno.
Los gametos paternos son \(X^a\) y \(Y\), con probabilidad de \(\frac{1}{2}\) cada uno.
Los cigotos resultan del producto de los gametos. Cada combinación tiene probabilidad \(\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\).
\[\left(X^A+X^a\right)\left(X^a+Y\right)=X^AX^a+X^AY+X^aX^a+X^aY\]
Calculamos las probabilidades usando el [Teorema de la probabilidad],
\[\boxed{P_i=\frac{n_i}{n}}\]
Calculamos
las probabilidades usando la [Equivalencias
entre números decimales y fracciones racionales]
\[ P(D\unicode{x2642}) = P(D\unicode{x2640}) =
P(r\unicode{x2642}) = P(r\unicode{x2640}) =\frac{1}{4}=0.25=25.0\%\]
Dado que el código fenotípico y el fenotipo concreto son lo
mismo en este caso, no necesitamos traducir la respuesta.
Conclusión
en texto
Se espera que el:
25 % de las crías sean hembras con la mancha clara en el pecho.
25 % de las crías sean hembras sin la mancha clara en el pecho.
25 % de las crías sean machos con la mancha clara en el pecho.
25 % de las crías sean machos sin la mancha clara en el pecho.
Estandarización
al tamaño de la muestra
Usaremos el Teorema
[Estandarización
de las frecuencias teóricas según el tamaño de la muestra]
\[ n_{oi}=p_i \cdot n_o\]
El enunciado indica que el tamaño de la muestra es 200.
\[n_o=200\]
Y reemplazamos.
\[n(D\unicode{x2642})=n(D\unicode{x2640})=n(r\unicode{x2642})=n(r\unicode{x2640})=0.25\times 200=50\]
Gráfica
En 200 crías se observaron 49 machos con la mancha clara en el pecho y 51 sin el rasgo; entre las hembras, 51 con la mancha clara en el pecho y 49 sin el rasgo.
|
\(i\) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
|
\(D\unicode{x2642}\) |
49 |
50 |
|
\(D\unicode{x2640}\) |
51 |
50 |
|
\(r\unicode{x2642}\) |
51 |
50 |
|
\(r\unicode{x2640}\) |
49 |
50 |
|
Tot |
200 |
200 |
La gráfica muestra frecuencias experimentales cercanas a las esperadas; el contraste de chi cuadrado permite comprobar el ajuste.
Prueba chi cuadrado de Pearson
manual
Hipótesis nula \(H_0\):
La descendencia sigue la proporción teórica 1:1:1:1 para \(D\unicode{x2642}\), \(D\unicode{x2640}\), \(r\unicode{x2642}\) y \(r\unicode{x2640}\).
Hipótesis alternativa \(H_1\):
La descendencia no sigue la proporción teórica 1:1:1:1 para \(D\unicode{x2642}\), \(D\unicode{x2640}\), \(r\unicode{x2642}\) y \(r\unicode{x2640}\).
Usaremos el teorema
de la [Prueba
de chi cuadrado de Pearson]
\[\boxed{\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\left(\frac{(n_{ei}-n_{oi})^2}{n_{oi}}\right)}\]
Dado que la fórmula
es compleja, la descompondremos en cuadrado de la diferencia.
\[(\Delta n_i)^2=(n_{ei}-n_{oi})^2\]
Fracción del cuadrado de la diferencia con respecto a la cantidad teórica
esperada.
\[f_i=\frac{(\Delta
n_i)^2}{ n_{oi}}\]
Chi cuadrado calculada, cómo función de las fracciones anteriores.
\[ \chi^2=\Sigma
f_i\]
|
(i) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
\((\Delta n_i)^2\) |
\( f_i \) |
|
\(D\unicode{x2642}\) |
49 |
50 |
1 |
0.02 |
|
\(D\unicode{x2640}\) |
51 |
50 |
1 |
0.02 |
|
\(r\unicode{x2642}\) |
51 |
50 |
1 |
0.02 |
|
\(r\unicode{x2640}\) |
49 |
50 |
1 |
0.02 |
|
\( \chi^2\) a dos decimales de exactitud |
0.08 |
|||
|
gl = número de categorías (i) – 1 |
3.00 |
|||
Buscamos el valor
teórico de chi cuadrado en [Valores
críticos de chi cuadrado de Pearson para un nivel de significación alfa de 0.05]
que corresponde a 7.81 con dos decimales de exactitud.
Dado que el chi cuadrado calculado 0.08 es menor que el valor crítico 7.81, no rechazamos la hipótesis nula; no se detectan diferencias significativas con el modelo 1:1:1:1.
Prueba chi cuadrado de Excel
Asumiendo que
tenemos la tabla de Excel.
|
|
A |
B |
C |
D |
|
1 |
(i) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
Valor p contraste |
|
2 |
\(D\unicode{x2642}\) |
49 |
50 |
=PRUEBA.CHI(B2:B5;C2:C5) |
|
3 |
\(D\unicode{x2640}\) |
51 |
50 |
|
|
4 |
\(r\unicode{x2642}\) |
51 |
50 |
|
|
5 |
\(r\unicode{x2640}\) |
49 |
50 |
|
La función (=PRUEBA.CHI(B2:B5;C2:C5)) devuelve 0.9941 como valor p de contraste, y lo comparamos contra el valor p de exclusión 0.05.
Dado que el valor p de contraste 0.9941 es mayor que el nivel de exclusión 0.05, no rechazamos la hipótesis nula; no se detectan diferencias estadísticamente significativas.
Prueba chi cuadrado por sexo (1 grado de libertad)
Para cada sexo comparamos dos categorías equiprobables, con valores esperados iguales a la mitad de los descendientes de ese sexo.
\[\chi^2_{\mathrm{sexo}}=\frac{(n_{D}-n_{o})^2}{n_{o}}+\frac{(n_{r}-n_{o})^2}{n_{o}},\qquad gl=2-1=1\]
|
Sexo |
\(n_{D}\) |
\(n_{r}\) |
\(\chi^2\) |
Valor p |
|
Machos |
49 |
51 |
0.04 |
0.8415 |
|
Hembras |
51 |
49 |
0.04 |
0.8415 |
En machos, χ² = 0.04 (p = 0.8415), por tanto no rechazamos H₀; en hembras, χ² = 0.04 (p = 0.8415), por tanto no rechazamos H₀, con α = 0.05 y χ² crítico = 3.84.
