García-García, Ejemplo 11. Se cruzan dos ratones amarillos portadores de la variante letal en homocigosis. De 160 concepciones, 39 no llegaron a producir crías vivas; nacieron 79 ratones amarillos y 42 agutí. Predice las proporciones esperadas para embriones no viables y crías vivas, grafica las frecuencias y aplica chi cuadrado a mano y en Excel, con α = 0.05.
Plantear la ley de la dominancia y la letalidad en una tabla
La variante A manifiesta el carácter en heterocigosis, pero el genotipo AA no es viable. La expresión fenotípica se clasifica en las categorías L, D y r.
| Carácter | Rasgo | Fenotipo | Genotipo |
|---|---|---|---|
| Pelaje | No viable por homocigosis | \(L\) | \(AA\) |
| Pelaje | Amarillo | \(D\) | \(Aa\) |
| Pelaje | Agutí | \(r\) | \(aa\) |
Nota del modelo: el alelo A expresa el carácter dominante en el heterocigoto Aa; el homocigoto AA es no viable. El recuento incluye tanto las concepciones no viables como los descendientes viables; se asume clasificación completa y ausencia de otras fuentes de mortalidad.
Cruce
Planteamos los gametos de cada parental: Aa × Aa. Cada progenitor heterocigoto forma gametos A y a.
| \(A\) | \(a\) | |
|---|---|---|
| \(A\) | \(AA\) — \(L\) | \(Aa\) — \(D\) |
| \(a\) | \(Aa\) — \(D\) | \(aa\) — \(r\) |
Reemplazamos por los fenotipos \(1L+2D+1r\).
Calculamos las probabilidades usando el [Teorema de la probabilidad],
\[\boxed{P_i=\frac{n_i}{n}}\]
donde la cantidad total \(n\) es la suma de los coeficientes.
\[n=1+2+1=4\]
Calculamos las probabilidades usando la [Equivalencias entre números decimales y fracciones racionales]
\[P(L)=\frac{1}{4}=0.25=25.0\%,\quad P(D)=\frac{2}{4}=0.50=50.0\%,\quad P(r)=\frac{1}{4}=0.25=25.0\%\]
Conclusión en texto
Se espera en la F1, considerando todas las concepciones:
25 % de homocigotos AA no viables (L); 50 % de heterocigotos Aa con amarillo (D).
25 % de homocigotos aa con agutí (r).
En este ejercicio los embriones no viables permanecen dentro del total de concepciones; por ello se utiliza la proporción 1:2:1, no la proporción 2:1 de los nacidos vivos.
Estandarización al tamaño de la muestra
Usaremos el Teorema [Estandarización de las frecuencias teóricas según el tamaño de la muestra]
\[ n_{oi}=p_i \cdot n_o\]
El enunciado proporciona 160 observaciones de concepciones, huevos o gestaciones.
\[n_o=160\]
Y reemplazamos.
\[n(L)=0.25\times 160=40,\quad n(D)=0.50\times 160=80,\quad n(r)=0.25\times 160=40\]
Gráfica
| \(i\) | \(n_{ei}\) | \(n_{oi}\) |
|---|---|---|
| \(L\) | 39 | 40 |
| \(D\) | 79 | 80 |
| \(r\) | 42 | 40 |
| Tot | 160 | 160 |
Las barras representan las frecuencias experimentales (39, 79, 42) y esperadas (40, 80, 40) para las clases L, D, r. La decisión sobre el ajuste se toma mediante la prueba de chi cuadrado.
Prueba chi cuadrado de Pearson manual
Hipótesis nula H₀:
La distribución de embriones no viables (L), descendientes con el carácter (D) y descendientes de fenotipo habitual (r) sigue el modelo 1:2:1 correspondiente al cruzamiento Aa × Aa.
Hipótesis alternativa H₁:
La distribución observada de las categorías L, D, r no sigue la proporción teórica 1:2:1.
Usaremos el teorema de la [Prueba de chi cuadrado de Pearson]
\[\boxed{\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\left(\frac{(n_{ei}-n_{oi})^2}{n_{oi}}\right)}\]
Dado que la fórmula es compleja, la descompondremos en cuadrado de la diferencia.
\[(\Delta n_i)^2=(n_{ei}-n_{oi})^2\]
Fracción del cuadrado de la diferencia con respecto a la cantidad teórica esperada.
\[f_i=\frac{(\Delta n_i)^2}{n_{oi}}\]
Chi cuadrado calculada, cómo función de las fracciones anteriores.
\[\chi^2=\sum_{i=1}^{k} f_i\]
| (i) | \(n_{ei}\) | \(n_{oi}\) | \((\Delta n_i)^2\) | \(f_i\) |
|---|---|---|---|---|
| \(L\) | 39 | 40 | 1 | 0.0250 |
| \(D\) | 79 | 80 | 1 | 0.0125 |
| \(r\) | 42 | 40 | 4 | 0.1000 |
| \(\chi^2\) a dos decimales de exactitud | 0.14 | |||
| gl = número de categorías (i) – 1 | 2 | |||
Buscamos el valor crítico de chi cuadrado de Pearson para un nivel de significación α = 0.05, con gl = 2, que corresponde a 5.99 con dos decimales de exactitud.
Dado que el valor calculado χ² = 0.14 es menor que el crítico 5.99 (gl = 2, α = 0.05), no rechazamos la hipótesis nula: no hay evidencia de diferencias estadísticamente significativas.
Prueba chi cuadrado de Excel
Asumiendo que tenemos la tabla de Excel.
| A | B | C | D | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | (i) | \(n_{ei}\) | \(n_{oi}\) | Valor p contraste |
| 2 | \(L\) | 39 | 40 | =PRUEBA.CHI(B2:B4;C2:C4) |
| 3 | \(D\) | 79 | 80 | |
| 4 | \(r\) | 42 | 40 |
La función de Excel (=PRUEBA.CHI(B2:B4;C2:C4)) devuelve un valor p de 0.9336 (aproximadamente 0.93), que comparamos con el nivel de significación α = 0.05.
Como el valor p = 0.9336 es mayor que 0.05, no rechazamos la hipótesis nula: no hay evidencia de diferencias estadísticamente significativas.
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