García-García, Ejemplo 21. Se cruzan dos moscas portadoras de una variante dominante termosensible. De 180 huevos incubados a 29 °C, 129 embriones murieron y 51 larvas llegaron a desarrollarse. Calcula las frecuencias esperadas, grafica los resultados observados y esperados y evalúa el ajuste con chi cuadrado a mano y en Excel, usando α = 0.05.
Plantear la ley de la dominancia en una tabla
En este caso la distinción entre rasgo y código fenotipo se diluyen.
|
Carácter |
Rasgo |
Fenotipo |
Genotipo |
|
Termosensible |
Letal |
\(L\) |
\(AA\) \(Aa\) |
|
No afectado |
\(r\) |
\(aa\) |
Nota del modelo: se supone una variante autosómica dominante con penetrancia completa de letalidad a 29 °C. Los individuos AA y Aa son termosensibles; a 22 °C pueden sobrevivir. A los 29 °C, L identifica los embriones muertos y r los descendientes viables (aa). El cruce presupone portadores heterocigotos Aa, pues el enunciado no especifica explícitamente su cigosis.
Cruce
Planteamos los gametos de cada parental: Aa × Aa. El primer progenitor produce A y a; el segundo produce A y a.
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|
\(A\) |
\(a\) |
|
\(A\) |
\(AA\) \(L\) |
\(Aa\) \(L\) |
|
\(a\) |
\(Aa\) \(L\) |
\(aa\) \(r\) |
Reemplazamos por los fenotipos 3 \(L\) + 1 \(r\)
Calculamos las probabilidades usando el [Teorema de la probabilidad],
\[\boxed{P_i=\frac{n_i}{n}}\]
donde la cantidad total \(n\) es la suma de los coeficientes.
\[n=3+1=4\]
Calculamos las probabilidades usando la [Equivalencias entre números decimales y fracciones racionales]
\[P(L)=\frac{3}{4}=0.75=75.0\%\qquad P(r)=\frac{1}{4}=0.25=25.0\%\]
Conclusión en texto
Se espera en la F1:
75 % de embriones letales afectados por la termosensibilidad (L).
25 % de larvas viables no afectadas (r).
Nota del modelo: la letalidad se manifiesta a 29 °C, bajo el supuesto de penetrancia completa; a 22 °C los portadores pueden sobrevivir. El conteo incluye todos los huevos, tanto muertos como vivos. En los cruces Aa × Aa, los genotipos AA y Aa corresponden a L; en los cruces Aa × aa, solamente Aa corresponde a L.
Estandarización al tamaño de la muestra
Usaremos el Teorema [Estandarización de las frecuencias teóricas según el tamaño de la muestra]
\[ n_{oi}=p_i \cdot n_o\]
El enunciado indica que el tamaño de la muestra es 180.
\[n_o=180\]
Y reemplazamos.
\[n(L)=0.75\times 180=135\qquad n(r)=0.25\times 180=45\]
Gráfica
|
\(i\) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
|
\(L\) |
129 |
135 |
|
\(r\) |
51 |
45 |
|
Tot |
180 |
180 |
Las barras representan 129 embriones muertos y 51 larvas vivas frente a 135 y 45 esperados. La semejanza visual se evalúa formalmente mediante chi cuadrado.
Prueba chi cuadrado de Pearson manual
Hipótesis nula H₀:
La proporción entre embriones muertos (L) y larvas vivas (r) sigue el modelo 3:1 correspondiente al cruzamiento Aa × Aa.
Hipótesis alternativa H₁:
La proporción entre embriones muertos (L) y larvas vivas (r) no sigue el modelo 3:1.
Usaremos el teorema de la [Prueba de chi cuadrado de Pearson]
\[\boxed{\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\left(\frac{(n_{ei}-n_{oi})^2}{n_{oi}}\right)}\]
Dado que la fórmula es compleja, la descompondremos en cuadrado de la diferencia.
\[(\Delta n_i)^2=(n_{ei}-n_{oi})^2\]
Fracción del cuadrado de la diferencia con respecto a la cantidad teórica esperada.
\[f_i=\frac{(\Delta n_i)^2}{n_{oi}}\]
Chi cuadrado calculada, cómo función de las fracciones anteriores.
\[\chi^2=\sum_{i=1}^{k} f_i\]
|
(i) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
\((\Delta n_i)^2\) |
\( f_i \) |
|
\(L\) |
129 |
135 |
36 |
0.2667 |
|
\(r\) |
51 |
45 |
36 |
0.8000 |
|
\( \chi^2\) a dos decimales de exactitud |
1.07 |
|||
|
gl = número de categorías (i) – 1 |
1 |
|||
Buscamos el valor teórico de chi cuadrado en [Valores críticos de chi cuadrado de Pearson para un nivel de significación alfa de 0.05] que corresponde a 3.84 con dos decimales de exactitud.
Dado que el valor calculado χ² = 1.07 es menor que el valor crítico 3.84 (gl = 1, α = 0.05), no rechazamos la hipótesis nula: no hay evidencia de diferencias estadísticamente significativas.
Prueba chi cuadrado de Excel
Asumiendo que tenemos la tabla de Excel.
|
A |
B |
C |
D |
|
|
1 |
(i) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
Valor p contraste |
|
2 |
\(L\) |
129 |
135 |
=PRUEBA.CHI(B2:B3;C2:C3) |
|
3 |
\(r\) |
51 |
45 |
La función de Excel (=PRUEBA.CHI(B2:B3;C2:C3)) devuelve un valor p de 0.3017 (aproximadamente 0.30), que comparamos con el nivel de significación α = 0.05.
Como el valor p = 0.3017 es mayor que 0.05, no rechazamos la hipótesis nula; no hay evidencia de diferencias estadísticamente significativas.
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