García-García, Ejemplo 28. En una línea didáctica de gansos, una mancha rojiza en el pecho es recesiva. Genotipo paterno: macho heterocigoto portador, sin la mancha. Genotipo materno: hembra ZW, con la mancha. De 200 polluelos, se observaron 51 machos afectados y 49 portadores sin manifestación; las hembras fueron 49 afectadas y 51 sin la mancha. Calcula las expectativas por sexo, grafica y contrasta los datos.
Plantear
la ley de la dominancia en una tabla
En este caso la distinción entre rasgo y código fenotipo se
diluyen.
|
Carácter |
Rasgo |
Fenotipo |
Genotipo |
|
Mancha rojiza en el pecho |
Femenino sin mancha rojiza en el pecho |
\(D\unicode{x2640}\) |
\(Z^A W\) |
|
Femenino con mancha rojiza en el pecho |
\(r\unicode{x2640}\) |
\(Z^a W\) |
|
|
Masculino sin mancha rojiza en el pecho |
\(D\unicode{x2642}\) |
\(Z^A Z^A\) \(Z^A Z^a\) |
|
|
Masculino con mancha rojiza en el pecho |
\(r\unicode{x2642}\) |
\(Z^a Z^a\) |
Cruce
Planteamos los gametos por separado porque los parentales tienen genotipos diferentes: el padre produce \(Z^A\) y \(Z^a\), mientras que la madre produce \(Z^a\) y \(W\). El cruce es \(Z^AZ^a\times Z^aW\).
Fecundación y fenotipos de la F1.
|
\(Z^A\) |
\(Z^a\) |
|
|
\(Z^a\) |
\(Z^A Z^a\) |
\(Z^a Z^a\) |
|
\(W\) |
\(Z^A W\) |
\(Z^a W\) |
Reemplazamos por los fenotipos \(D\unicode{x2642}+r\unicode{x2642}+D\unicode{x2640}+r\unicode{x2640}\).
Calculamos las probabilidades usando el [Teorema de la probabilidad],
\[\boxed{P_i=\frac{n_i}{n}}\]
donde la
cantidad total \(n\) es la suma de los coeficientes.
\[n=1+1+1+1=4
\]
Calculamos
las probabilidades usando la [Equivalencias
entre números decimales y fracciones racionales]
\[ P(D\unicode{x2642}) = P(D\unicode{x2640}) =
P(r\unicode{x2642}) = P(r\unicode{x2640}) =\frac{1}{4}=0.25=25.0\%\]
Dado que el código fenotípico y el fenotipo concreto son lo
mismo en este caso, no necesitamos traducir la respuesta.
Conclusión
en texto
Se espera que el:
25 % de los polluelos sean hembras con una mancha rojiza en el pecho (afectadas)
25 % de los polluelos sean hembras sin una mancha rojiza en el pecho
25 % de los polluelos sean machos con una mancha rojiza en el pecho (afectados)
25 % de los polluelos sean machos sin una mancha rojiza en el pecho, pero portadores heterocigotos
Estandarización
al tamaño de la muestra
Usaremos el Teorema
[Estandarización
de las frecuencias teóricas según el tamaño de la muestra]
\[ n_{oi}=p_i \cdot n_o\]
El enunciado indica que el tamaño de la muestra es 200
\[n_o=200\]
Y reemplazamos.
\[ n(D\unicode{x2642})=n(D\unicode{x2640})=n(r\unicode{x2642})=n(r\unicode{x2640})=0.25\times 200=50\]
Gráfica
En 200 polluelos con categorías desglosadas: 51 machos afectados y 49 portadores sin manifestación; 49 hembras afectadas y 51 sin el rasgo.
|
\(i\) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
|
\(D\unicode{x2642}\) |
49 |
50 |
|
\(D\unicode{x2640}\) |
51 |
50 |
|
\(r\unicode{x2642}\) |
51 |
50 |
|
\(r\unicode{x2640}\) |
49 |
50 |
|
Tot |
200 |
200 |
La gráfica muestra diferencias muestrales pequeñas; el contraste estadístico permite evaluar su compatibilidad con el modelo teórico.
Prueba chi cuadrado de Pearson
manual
Hipótesis nula
que creemos que debería ser en un mundo ideal Ho:
La proporción fenotípica sigue el modelo 1:1:1:1 para \(D\unicode{x2642}\), \(D\unicode{x2640}\), \(r\unicode{x2642}\) y \(r\unicode{x2640}\).
Hipótesis
alternativa H1:
La proporción fenotípica no sigue el modelo 1:1:1:1 para \(D\unicode{x2642}\), \(D\unicode{x2640}\), \(r\unicode{x2642}\) y \(r\unicode{x2640}\).
Usaremos el teorema
de la [Prueba
de chi cuadrado de Pearson]
\[\boxed{\chi^2=\sum_{i=1}^{k} \left( \frac{(n_{ei}-n_{oi})^2}{n_{oi}} \right)}\]
Dado que la fórmula
es compleja, la descompondremos en cuadrado de la diferencia.
\[(\Delta n_i)^2=(n_{ei}-n_{oi})^2\]
Fracción del cuadrado de la diferencia con respecto a la cantidad teórica
esperada.
\[f_i=\frac{(\Delta
n_i)^2}{ n_{oi}}\]
Chi cuadrado calculada, cómo función de las fracciones anteriores.
\[ \chi^2=\Sigma
f_i\]
|
(i) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
\((\Delta n_i)^2\) |
\( f_i \) |
|
\(D\unicode{x2642}\) |
49 |
50 |
1 |
0.0200 |
|
\(D\unicode{x2640}\) |
51 |
50 |
1 |
0.0200 |
|
\(r\unicode{x2642}\) |
51 |
50 |
1 |
0.0200 |
|
\(r\unicode{x2640}\) |
49 |
50 |
1 |
0.0200 |
|
\( \chi^2\) a dos decimales de exactitud |
0.08 |
|||
|
gl = número de categorías (i) – 1 |
3.00 |
|||
\[\chi^2=\frac{(49-50)^2}{50} + \frac{(51-50)^2}{50} + \frac{(51-50)^2}{50} + \frac{(49-50)^2}{50}=0.0800\]
Buscamos el valor
teórico de chi cuadrado en [Valores
críticos de chi cuadrado de Pearson para un nivel de significación alfa de 0.05]
que corresponde a 7.81 con dos decimales de exactitud.
Dado que el valor crítico 7.81 es mayor que el calculado 0.08, no rechazamos la hipótesis nula al nivel de significación 0.05; no se detectan diferencias estadísticamente significativas en la distribución conjunta.
Contrastes por sexo (proporción 1:1, gl = 1): machos, \(\chi^2=0.0400\), valor p = 0.8415; hembras, \(\chi^2=0.0400\), valor p = 0.8415. En ambos sexos no se rechaza la proporción esperada 1:1.
Prueba chi cuadrado de Excel
Asumiendo que
tenemos la tabla de Excel.
|
|
A |
B |
C |
D |
|
1 |
(i) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
Valor p contraste |
|
2 |
\(D\unicode{x2642}\) |
49 |
50 |
=PRUEBA.CHI(B2:B5;C2:C5) |
|
3 |
\(D\unicode{x2640}\) |
51 |
50 |
|
|
4 |
\(r\unicode{x2642}\) |
51 |
50 |
|
|
5 |
\(r\unicode{x2640}\) |
49
|
50 |
|
La función (=PRUEBA.CHI(B2:B5;C2:C5)) devuelve 0.9941 como valor p de contraste, y lo comparamos contra el valor p de exclusión 0.05.
Dado que el valor p de contraste 0.9941 es mayor que el de exclusión 0.05, no rechazamos la hipótesis nula; no hay diferencias estadísticamente significativas.
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