García-García, Ejemplo 8. En cabras, una mancha blanca en el lomo es dominante sobre su ausencia. Genotipo materno: con mancha, heterocigota. Genotipo paterno: con mancha, heterocigoto. De 120 crías, entre los machos se observaron 44 con mancha y 16 sin ella; entre las hembras, 45 con mancha y 15 sin ella. Calcula las expectativas por sexo, grafica y realiza las pruebas de chi cuadrado.
Plantear la ley de la dominancia en una tabla
En este caso, el carácter autosómico «mancha blanca dorsal» se representa mediante los alelos A y a. El fenotipo dominante D corresponde a AA o Aa; el recesivo r a aa. El sexo se analiza como otra variable, independiente del carácter.
Carácter |
Rasgo/fenotipo |
Genotipo |
Mancha blanca dorsal |
Dominante D con mancha blanca |
\(AA\) \(Aa\) |
Recesivo r sin mancha blanca |
\(aa\) |
|
Sexo en mamíferos |
♀︎ |
XX |
♂ |
XY |
Cruce
Planteamos los gametos de cada parental. La madre es Aa y el padre es Aa. Si los genotipos son distintos, se calculan por separado. Para clasificar la descendencia según sexo, suponemos una proporción 1:1 entre machos y hembras y la independencia del rasgo autosómico.
Fecundación y fenotipos de la F1.
|
\(AX\) |
\(aX\) |
\(AY\) |
\(aY\) |
\(AX\) |
|
|
|
|
\(aX\) |
|
|
|
|
\(AX\) |
|
|
|
|
\(aX\) |
|
|
|
|
La clave para llenarlo rápido en este tipo de ejercicios es entender que si no están preguntando por los genotipos, estos son innecesarios, por lo que llenamos el cuadro es con los fenotipos, de allí que lo primero es llenar todas las posiciones dominantes.
|
\(AX\) |
\(aX\) |
\(AY\) |
\(aY\) |
\(AX\) |
\(D\)♀ |
\(D\)♀ |
\(D\)♂ |
\(D\)♂ |
\(aX\) |
\(D\)♀ |
\(r\)♀ |
\(D\)♂ |
\(r\)♂ |
\(AX\) |
\(D\)♀ |
\(D\)♀ |
\(D\)♂ |
\(D\)♂ |
\(aX\) |
\(D\)♀ |
\(r\)♀ |
\(D\)♂ |
\(r\)♂ |
Extraemos el polinomio resultante. 6 D♀ + 2 r♀ + 6 D♂ + 2 r♂
alculamos las probabilidades usando el [Teorema de la probabilidad],
\[\boxed{P_i=\frac{n_i}{n}}\]
donde la cantidad total \(n\) es la suma de los coeficientes.
\[n=6+2+6+2=16\]
Calculamos las probabilidades usando la [Equivalencias entre números decimales y fracciones racionales]
\[ P(D\unicode{x2642}) = P(D\unicode{x2640}) =\frac{6}{16}=0.3750=37.5\%\]
\[ P(r\unicode{x2642}) = P(r\unicode{x2640}) =\frac{2}{16}=0.1250=12.5\%\]
Dado que el código fenotípico y el fenotipo concreto son lo mismo en este caso, no necesitamos traducir la respuesta.
Conclusión en texto
Se espera que el:
37.5 % de las crías sean machos y tengan con mancha blanca.
37.5 % de las crías sean hembras y tengan con mancha blanca.
12.5 % de las crías sean machos y tengan sin mancha blanca.
12.5 % de las crías sean hembras y tengan sin mancha blanca.
Estandarización al tamaño de la muestra
Usaremos el Teorema [Estandarización de las frecuencias teóricas según el tamaño de la muestra]
\[ n_{oi}=p_i \cdot n_o\]
El enunciado indica que el tamaño de la muestra es 120
\[n_o=120\]
Y reemplazamos.
\[ n(D\unicode{x2642}) = n(D\unicode{x2640}) =\frac{6}{16}\cdot 120 =45\]
\[ n(r\unicode{x2642}) = n(r\unicode{x2640}) =\frac{2}{16}\cdot 120 =15\]
Gráfica
Entre los machos se observaron 44 con con mancha blanca y 16 con sin mancha blanca; entre las hembras, 45 con con mancha blanca y 15 con sin mancha blanca.
\(i\) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
\(D\unicode{x2642}\) |
44 |
45 |
\(D\unicode{x2640}\) |
45 |
45 |
\(r\unicode{x2642}\) |
16 |
15 |
\(r\unicode{x2640}\) |
15 |
15 |
Tot |
160 |
160 |
■ experimentales ■ esperados
44 45 | 45 45 | 16 15 | 15 15 |
| D♂ | D♀ | r♂ | r♀ |
La gráfica permite observar la diferencia entre los valores experimentales y los esperados, pero la prueba de chi cuadrado permite decidir si la desviación es significativa.
Prueba chi cuadrado de Pearson manual
Hipótesis nula H₀:
Las cuatro categorías (D♂, D♀, r♂ y r♀) presentan las frecuencias teóricas previstas bajo la proporción autosómica 3:1 y una distribución sexual 1:1.
Hipótesis alternativa H₁:
La distribución experimental de las cuatro categorías difiere de la distribución teórica propuesta.
Usaremos el teorema de la [Prueba de chi cuadrado de Pearson]
\[ \boxed{\chi^2=\sum_{i=1}^{k} \left( \frac{(n_{ei}-n_{oi})^2}{n_{oi}} \right) }\]
Dado que la fórmula es compleja, la descompondremos en cuadrado de la diferencia.
\[(\Delta n_i)^2=(n_{ei}-n_{oi})^2\]
Fracción del cuadrado de la diferencia con respecto a la cantidad teórica esperada.
\[f_i=\frac{(\Delta n_i)^2}{ n_{oi}}\]
Chi cuadrado calculada, cómo función de las fracciones anteriores.
\[ \chi^2=\Sigma f_i\]
(i) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
\((\Delta n_i)^2\) |
\( f_i \) |
\(D\unicode{x2642}\) |
44 |
45 |
1 |
0.0222 |
\(D\unicode{x2640}\) |
45 |
45 |
0 |
0.0000 |
\(r\unicode{x2642}\) |
16 |
15 |
1 |
0.0667 |
\(r\unicode{x2640}\) |
15 |
15 |
0 |
0.0000 |
\( \chi^2\) a dos decimales de exactitud |
0.0889 |
|||
gl = número de categorías (i) – 1 |
3 |
|||
Buscamos el valor teórico de chi cuadrado en [Valores críticos de chi cuadrado de Pearson para un nivel de significación alfa de 0.05] que corresponde a 7.81 con dos decimales de exactitud.
Dado que el valor crítico 7.81 es mayor que el calculado 0.0889, no rechazamos la hipótesis nula; el valor p=0.99314 supera 0.05.
Prueba chi cuadrado de Excel
Asumiendo que tenemos la tabla de Excel.
|
A |
B |
C |
D |
1 |
(i) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
Valor p contraste |
2 |
\(D\unicode{x2642}\) |
44 |
45 |
=PRUEBA.CHI(B2:B5;C2:C5) |
3 |
\(D\unicode{x2640}\) |
45 |
45 |
|
4 |
\(r\unicode{x2642}\) |
16 |
15 |
|
5 |
\(r\unicode{x2640}\) |
15 |
15 |
|
La función (=PRUEBA.CHI(B2:B5;C2:C5)) devuelve 0.99314 como valor p de contraste y lo comparamos con el nivel de significación 0.05.
Dado que el valor p de contraste 0.99314 es mayor que 0.05, no rechazamos la hipótesis nula.
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