García-García, Ejemplo 11. En escarabajos, las antenas largas son dominantes sobre las cortas. Genotipo materno: antenas largas, heterocigota. Genotipo paterno: antenas cortas, homocigoto recesivo. De 160 descendientes, los machos observados fueron 39 de antenas largas y 41 cortas; las hembras, 40 largas y 40 cortas. Calcula las cantidades esperadas por sexo, grafica y realiza ambas pruebas de chi cuadrado.
Plantear la ley de la dominancia en una tabla
En este caso, el carácter autosómico «longitud de antenas» se representa mediante los alelos A y a. El fenotipo dominante D corresponde a AA o Aa; el recesivo r a aa. El sexo se analiza como otra variable, independiente del carácter.
Carácter |
Rasgo/fenotipo |
Genotipo |
Longitud de antenas |
Dominante D antenas largas |
\(AA\) \(Aa\) |
Recesivo r antenas cortas |
\(aa\) |
|
Sexo (categoría) |
♀ |
No especificado |
♂ |
No especificado |
Cruce
Planteamos los gametos de cada parental. La madre es Aa y el padre es aa. Si los genotipos son distintos, se calculan por separado. Para clasificar la descendencia según sexo, suponemos una proporción 1:1 entre machos y hembras y la independencia del rasgo autosómico.
Fecundación y fenotipos de la F1.
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\(a\) ♀ |
\(a\) ♀ |
\(a\) ♂ |
\(a\) ♂ |
\(A\) |
|
|
|
|
\(a\) |
|
|
|
|
\(A\) |
|
|
|
|
\(a\) |
|
|
|
|
La clave para llenarlo rápido en este tipo de ejercicios es entender que si no están preguntando por los genotipos, estos son innecesarios, por lo que llenamos el cuadro es con los fenotipos, de allí que lo primero es llenar todas las posiciones dominantes.
|
\(a\) ♀ |
\(a\) ♀ |
\(a\) ♂ |
\(a\) ♂ |
\(A\) |
\(D\)♀ |
\(D\)♀ |
\(D\)♂ |
\(D\)♂ |
\(a\) |
\(r\)♀ |
\(r\)♀ |
\(r\)♂ |
\(r\)♂ |
\(A\) |
\(D\)♀ |
\(D\)♀ |
\(D\)♂ |
\(D\)♂ |
\(a\) |
\(r\)♀ |
\(r\)♀ |
\(r\)♂ |
\(r\)♂ |
Extraemos el polinomio resultante. 4 D♀ + 4 r♀ + 4 D♂ + 4 r♂
alculamos las probabilidades usando el [Teorema de la probabilidad],
\[\boxed{P_i=\frac{n_i}{n}}\]
donde la cantidad total \(n\) es la suma de los coeficientes.
\[n=4+4+4+4=16\]
Calculamos las probabilidades usando la [Equivalencias entre números decimales y fracciones racionales]
\[ P(D\unicode{x2642}) = P(D\unicode{x2640}) =\frac{4}{16}=0.2500=25\%\]
\[ P(r\unicode{x2642}) = P(r\unicode{x2640}) =\frac{4}{16}=0.2500=25\%\]
Dado que el código fenotípico y el fenotipo concreto son lo mismo en este caso, no necesitamos traducir la respuesta.
Conclusión en texto
Se espera que el:
25 % de las crías sean machos y tengan antenas largas.
25 % de las crías sean hembras y tengan antenas largas.
25 % de las crías sean machos y tengan antenas cortas.
25 % de las crías sean hembras y tengan antenas cortas.
Estandarización al tamaño de la muestra
Usaremos el Teorema [Estandarización de las frecuencias teóricas según el tamaño de la muestra]
\[ n_{oi}=p_i \cdot n_o\]
El enunciado indica que el tamaño de la muestra es 160
\[n_o=160\]
Y reemplazamos.
\[ n(D\unicode{x2642}) = n(D\unicode{x2640}) =\frac{4}{16}\cdot 160 =40\]
\[ n(r\unicode{x2642}) = n(r\unicode{x2640}) =\frac{4}{16}\cdot 160 =40\]
Gráfica
Entre los machos se observaron 39 con antenas largas y 41 con antenas cortas; entre las hembras, 40 con antenas largas y 40 con antenas cortas.
\(i\) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
\(D\unicode{x2642}\) |
39 |
40 |
\(D\unicode{x2640}\) |
40 |
40 |
\(r\unicode{x2642}\) |
41 |
40 |
\(r\unicode{x2640}\) |
40 |
40 |
Tot |
160 |
160 |
■ experimentales ■ esperados
39 40 | 40 40 | 41 40 | 40 40 |
| D♂ | D♀ | r♂ | r♀ |
La gráfica permite observar la diferencia entre los valores experimentales y los esperados, pero la prueba de chi cuadrado permite decidir si la desviación es significativa.
Prueba chi cuadrado de Pearson manual
Hipótesis nula H₀:
Las cuatro categorías (D♂, D♀, r♂ y r♀) presentan las frecuencias teóricas previstas bajo la proporción autosómica 1:1 y una distribución sexual 1:1.
Hipótesis alternativa H₁:
La distribución experimental de las cuatro categorías difiere de la distribución teórica propuesta.
Usaremos el teorema de la [Prueba de chi cuadrado de Pearson]
\[ \boxed{\chi^2=\sum_{i=1}^{k} \left( \frac{(n_{ei}-n_{oi})^2}{n_{oi}} \right) }\]
Dado que la fórmula es compleja, la descompondremos en cuadrado de la diferencia.
\[(\Delta n_i)^2=(n_{ei}-n_{oi})^2\]
Fracción del cuadrado de la diferencia con respecto a la cantidad teórica esperada.
\[f_i=\frac{(\Delta n_i)^2}{ n_{oi}}\]
Chi cuadrado calculada, cómo función de las fracciones anteriores.
\[ \chi^2=\Sigma f_i\]
(i) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
\((\Delta n_i)^2\) |
\( f_i \) |
\(D\unicode{x2642}\) |
39 |
40 |
1 |
0.0250 |
\(D\unicode{x2640}\) |
40 |
40 |
0 |
0.0000 |
\(r\unicode{x2642}\) |
41 |
40 |
1 |
0.0250 |
\(r\unicode{x2640}\) |
40 |
40 |
0 |
0.0000 |
\( \chi^2\) a dos decimales de exactitud |
0.0500 |
|||
gl = número de categorías (i) – 1 |
3 |
|||
Buscamos el valor teórico de chi cuadrado en [Valores críticos de chi cuadrado de Pearson para un nivel de significación alfa de 0.05] que corresponde a 7.81 con dos decimales de exactitud.
Dado que el valor crítico 7.81 es mayor que el calculado 0.0500, no rechazamos la hipótesis nula; el valor p=0.99707 supera 0.05.
Prueba chi cuadrado de Excel
Asumiendo que tenemos la tabla de Excel.
|
A |
B |
C |
D |
1 |
(i) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
Valor p contraste |
2 |
\(D\unicode{x2642}\) |
39 |
40 |
=PRUEBA.CHI(B2:B5;C2:C5) |
3 |
\(D\unicode{x2640}\) |
40 |
40 |
|
4 |
\(r\unicode{x2642}\) |
41 |
40 |
|
5 |
\(r\unicode{x2640}\) |
40 |
40 |
|
La función (=PRUEBA.CHI(B2:B5;C2:C5)) devuelve 0.99707 como valor p de contraste y lo comparamos con el nivel de significación 0.05.
Dado que el valor p de contraste 0.99707 es mayor que 0.05, no rechazamos la hipótesis nula.
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