Demostración. Teorema de la cantidad de sustancia efectiva.

En este caso, nuestro objetivo es formular un teorema que permita calcular la cantidad de sustancia efectiva en función del factor de Van't Hoff y la cantidad inicial de entidades. Para ello, comenzaremos estableciendo el axioma del factor de Van't Hoff.

$$\mathscr{i}_i = \frac{n}{n_o} \quad (1)$$

Para ello, consideraremos que la cantidad total inicial corresponde en realidad a la cantidad de sustancia inicial, que generalmente representa el soluto en su forma pura o sólida; por lo tanto:

$$n_o = n_i \quad (2)$$

Donde $n_i$ representa la cantidad molecular inicial de la sustancia $i$ antes de ionizarse. La cantidad en equilibrio corresponde en realidad a la suma de todos los iones presentes más la cantidad molecular que permanece sin disociar. Estos valores individuales no nos interesan por separado, ya que nuestro objetivo es conocer el total de entidades presentes. Para ello, utilizamos el factor de Van’t Hoff, que tiene dos acepciones: puede obtenerse directamente del enunciado o consultarse en tablas estándar, siendo entonces un valor real o experimental; si no se dispone de este dato, se asume su valor teórico, que equivale a la suma de los coeficientes estequiométricos de los iones formados.

De esta manera, la cantidad final de sustancia corresponde a la cantidad efectiva de sustancia, y es esta cantidad efectiva la que determina el comportamiento de las propiedades coligativas.

$$n = n(i)_{ef} \quad (3)$$

Por lo que solo debemos sustituir en la Ecuación 1.

$$\mathscr{i}_i = \frac{ n(i)_{ef}}{ n_i } \quad (4)$$

Y finalmente, despejar la cantidad de sustancia efectiva.

$$n(i)_{ef} = \mathscr{i}_i \cdot n_i  \quad (5)$$

Este teorema presenta una variante importante: calcular la cantidad de sustancia efectiva a partir de la masa del sólido. Para ello, utilizamos el axioma de la masa molar, que nos permite sustituir la cantidad de sustancia por el cociente entre la masa y la masa molar.

$$n(i)_{ef} = \mathscr{i}_i \cdot \frac{m_i}{M_i}  \quad (6)$$

Estos dos últimos teoremas son universales para las cuatro propiedades coligativas, lo que significa que están implícitos en ellas. Nos permiten evaluarlas de manera semicuantitativa en problemas relativos, es decir, para comparar qué soluto afecta más una propiedad coligativa que otro, sin necesidad de utilizar las fórmulas específicas de cada una. Esto simplifica los cálculos y reduce las probabilidades de errores o bloqueos conceptuales.

Las versiones didácticas, junto con los factores de conversión correspondientes, se pueden encontrar en el siguiente enlace.

1- Cantidad de sustancia efectiva como función de la cantidad de sustancia del soluto (Enlace).

2- Cantidad de sustancia efectiva como función de la masa del soluto (Enlace).