Nuestro objetivo es encontrar una función que permita
calcular el trabajo realizado por una reacción química que involucra
gases.
Invocaremos el axioma de cantidad
de reacción.
ni=ξ⋅νi
Para este análisis, asumiremos que todas las sustancias
relevantes, tanto reactivos como productos, son gaseosas. Cualquier
reactivo o producto en estado no gaseoso será considerado irrelevante para el
cálculo del trabajo de expansión/compresión. Con esto en mente, nuestro primer
paso es determinar la diferencia neta en la cantidad de sustancia gaseosa
que se produce durante la reacción. Para lograrlo, primero calcularemos la cantidad
total de moles de reactivos gaseosos que participan en la reacción.
Del lado de los reactivos, que serían los gases iniciales
no=ξ⋅Σνr
Del lado de los productos, que serían los finales.
n=ξ⋅Σνp
La diferencia de cantidad de sustancia estaría dada por:
Δn=ξ⋅Σνp−ξ⋅Σνr
Sacamos factor común.
Δn=ξ(Σνp−Σνr)
La diferencia entre la suma de los números estequiométricos
de los productos y la suma de los números estequiométricos de los reactantes
puede simplificarse considerablemente. Esto se logra si asumimos que el número
estequiométrico de cada sustancia es un cuasivector con una
"dirección química": negativa para los reactantes (ya que
se consumen) y positiva para los productos (ya que se forman). Esta
convención nos permite comprimir la expresión y, además, indicar explícitamente
que los números en cuestión corresponden únicamente a las sustancias en
estado gaseoso.
Δn=ξ⋅Σ⇀νgas
Ahora que ya hemos determinado la cantidad neta de gas
que cambia durante la reacción, el siguiente paso es sencillo: simplemente
necesitamos
invocar la ley de los gases ideales definida para el sistema.
P⋅V=n⋅R⋅T
Despejamos el volumen y expresamos la ecuación de forma
elegante. Adicionalmente, dado que ahora tenemos el cambio de volumen como
función del cambio en la cantidad de sustancia gaseosa, podemos modificar la
ecuación de estado para modelar esta relación. Esto lo logramos simplemente agregando
los "deltas" (∆) a esos dos parámetros clave, asumiendo que la
presión y la temperatura permanecen constantes durante el proceso.
ΔV=R⋅TP⋅Δn
Reemplazamos (6) en (8)
ΔV=R⋅TP⋅ξ⋅Σ⇀νgas
El teorema anterior nos ha permitido representar al reactor
como un sistema capaz de intercambiar energía mediante trabajo. Ahora
invocamos el teorema del trabajo del pistón
móvil para modelar la conexión entre el reactor y el manómetro,
en la que el pistón actúa como mecanismo de medición,
transformando la presión interna del sistema en un desplazamiento
mecánico observable.
W=−P⋅ΔV
Y combinamos esto asumiendo el estado de equilibrio,
es decir, el momento en que el sistema se detiene.
W=−P⋅R⋅TP⋅ξ⋅Σ⇀νgas
Esto significa que la presión interna del sistema se
iguala a la presión externa, cesando todo movimiento o cambio de volumen,
lo cual nos permite cancelar presiones.
W=−R⋅T⋅ξ⋅Σ⇀νgas
Finalmente, lo único que queda por determinar es la cantidad
de reacción que se lleva a cabo. Para esto, utilizaremos precisamente el
modelo de la figura dada, que representa una situación con un metal sólido
reaccionando. Por lo tanto, invocaremos la cantidad
de reacción como una función de la masa del reactivo sólido consumido.
ξ=miνi⋅Mi
Y combinamos para obtener el teorema final.
W=−R⋅Tνi⋅miMi⋅Σ⇀νgas
Este es el teorema del trabajo de una reacción química de gases, que puede verse desplegada en su versión didáctica junto con su factor de conversión homólogo en el siguiente enlace.