Demostración. Masa molar teórica

Deduzca una fórmula general para calcular la masa molar de una sustancia a partir de su composición atómica, utilizando su fórmula molecular y basándose en la ley de la conservación de la masa.

La ley de la conservación de la masa puede formularse de dos maneras: una forma de estado y una forma para procesos. La forma aplicada a procesos, también conocida como forma cero, establece que la masa total de un sistema permanece constante durante cualquier transformación interna; es decir, la diferencia entre las masas inicial y final debe ser igual a cero. En contraste, la forma de estado se refiere a sistemas estáticos, en los que la masa no se anula, sino que representa un valor absoluto distinto de cero para cualquier cantidad de materia mayor a un solo átomo.

De esta forma, definimos la masa de una sustancia, ya sea simple o compuesta (i), como la suma total de las masas de todos sus componentes individuales (k), considerados uno por uno sin distinción inicial.

No obstante, dado que muchos de estos componentes corresponden al mismo tipo de elemento (x), podemos reorganizar o agrupar la suma de las masas de los (k) componentes según los distintos elementos (x) que los constituyen. Esta agrupación nos permite simplificar el análisis y vincularlo directamente con la composición atómica y la masa molar de cada elemento presente en la sustancia, sin perder la generalidad ni violar el principio de conservación de la masa.

En la ecuación anterior [2], los numerales indican el número de repeticiones de cada componente, mientras que los términos de la suma representan la masa de ese componente individual. Sin embargo, cuando se trata de sustancias químicas, podemos aplicar la ley asociativa de la suma, especialmente útil en el caso de un solo elemento. En tal situación, todas las masas involucradas son idénticas, es decir, corresponden a la masa de ese único elemento (x), y lo que varía es el número de veces que dicha masa se repite.

En consecuencia, podemos recurrir a la definición fundamental del producto, que establece que multiplicar una cantidad por un número natural equivale a sumar repetidamente esa cantidad. Esto nos permite reducir la suma extensa a un producto lineal simple, en el cual la masa total se obtiene multiplicando la masa del componente por el número de repeticiones. Esta transformación no solo simplifica el cálculo, sino que preserva el fundamento físico del sistema: la conservación de la masa.

Esta transformación nos permite establecer que la masa neta de un componente (k-ésimo) es igual al producto entre el número de repeticiones —representado por el subíndice del elemento (x) en la fórmula— y la masa constante de ese elemento (x). En otras palabras, la masa total de cada componente químico se calcula multiplicando cuántas veces aparece el elemento en la sustancia por su masa atómica relativa. Esta forma simplificada respeta tanto la ley de la conservación de la masa como la estructura algebraica de las sustancias definidas mediante fórmulas químicas.

Al combinar las ecuaciones [1] y [3], obtenemos que la masa del compuesto (i) es la suma de productos entre el subíndice y la masa de cada elemento (x). Sin embargo, en este punto seguimos trabajando con masas simples. En el siguiente paso, dividimos ambos lados de la ecuación entre 1 mol, lo que transforma la masa total en masa molar, de acuerdo con el [axioma de masa molar] aplicado a sus unidades.

Aunque esta operación puede parecer arbitraria, en realidad sigue una regla fundamental del álgebra: dividir ambos lados de una ecuación por el mismo valor conserva la igualdad matemática. Otra forma de justificar la obtención del teorema [6] es mediante una analogía. Tanto la masa como la masa molar son formas de magnitudes de masa, y aunque la masa molar esté ponderada, sigue siendo una masa susceptible a la ley de conservación de la masa. Por lo tanto, podemos aplicar la regla de analogía matemática, que permite sustituir variables equivalentes en estructuras formales, para reemplazar directamente las masas arbitrarias (m) por masas molares (M), sin alterar la validez del razonamiento

[Ver ecuación 6 y su factor de conversión equivalente]

Demostración. Porciones de valor de combustible

Partiendo de una relación lineal entre la energía consumida y la unidad de tiempo o la unidad de distancia, el objetivo es determinar el número de porciones de un combustible (o alimento) necesarias para mantener un rendimiento específico en función de dichos parámetros.

Dado que se consideran dos variables independientes (el tiempo transcurrido y la distancia recorrida), la determinación del número de porciones resultará en dos respuestas separadas. Es crucial, no obstante, recordar que el consumo de energía en el cuerpo es un proceso intrínsecamente simultáneo y no se disocia por tiempo o distancia de forma aislada. Para establecer esta relación de proporcionalidad lineal, tal como se asume, ambas variables deben ser medidas y cuantificadas previamente con precisión.

La primera relación establece la energía consumida () como una función lineal del cambio de posición lineal (o desplazamiento) en el eje x (), mediada por una constante de proporcionalidad ().

La segunda relación define la energía consumida como una función del cambio de tiempo (o tiempo transcurrido).

El razonamiento anterior se puede extender para cualquier tarea que denominaremos alfa ()

Si la tarea () consume energía linealmente “lo que debe ir en el enunciado” entonces.

Con base en esto, podemos emplear el Portion Fuel Value (PFV) para relacionar el número de porciones de un combustible o alimento con la energía total adicionada o disponible para ser consumida, permitiendo mantener el rendimiento deseado.

Igualamos [4] y [5], y despejamos el número de porciones.

Tenga en cuenta que número de entidades es adimensional, a menos que estemos trabajando con tareas moleculares, donde las unidades serían moles. El teorema puede verse en su versión didáctica en este enlace.

Demostración. Valor de combustible de una mezcla de alimentos

Este apartado se centra en la determinación del valor de combustible total para una mezcla, donde la composición de sus componentes se expresa como concentración de porcentaje en masa (también referida como porcentaje en peso o fracción de masa).

Dado que el valor de combustible se define con la entalpía a masa, podemos usar la definición original de dicho parámetro.

La entalpía de la reacción se puede expresar como la suma de entalpías individuales de los reactivos “ley de Hess”, por ende podemos decir que la suma de valores de combustible estará dada con respecto a la suma de masas, manteniendo la entalpía de la reacción general constante.

Para simplificar los términos asumiremos que la suma de valores de combustible () es igual al valor de combustible total o de la muestra (), y del mismo modo para la masa total () como igual a la suma de masas del sistema ().

Expresamos la entalpía de la sustancia como función de la etalpía estándar usando el teorema Entalpía de descomposición o síntesis.

Combinamos [4] con [5] y aislamos el valor absoluto al único término que afecta. Tenga en cuenta que estamos pensando en una mezcla no reactiva, es decir la suma de energías liberables por varios combustibles en el estado potencial o inicial, de allí que no tengamos interés en una resta.

Invocamos el valor de combustible se define con la entalpía a masa, aislando el valor absoluto.

Despejamos el valor absoluto de la entalpía estándar de la sustancia.

Combinamos [6] con [8], con lo que desaparecen las notaciones de valor absoluto.

Usando el axioma de masa molar.

Despejamos el producto ().

Lo que nos permite reemplazar [11] en [9].

Reorganizamos los términos.

Multiplicamos el factor común por todos los términos de la suma.

Con lo que obtenemos la definición de fracción de masas.

Lo que nos permite obtener el valor de combustible de una mezcla. Por ejemplo un alimento con ciertas composiciones porcentuales de nutrientes como los listados en esta tabla. La versión didáctica de [15] puede verse en este enlace.

Ahora, si retomamos desde [14], su multiplicamos a ambos lados de la igualdad por la masa total, podremos determinar la cantidad de energía dada por una porción.

Por ende, para computar el valor de combustible por porción solo deberemos resolver una suma ponderada de masas parciales por los valores de combustible estándar. La versión didáctica de este teorema puede verse en el siguiente enlace.