Demostración. Teorema del sistema de recipientes unidos con válvulas.

Para modelar un sistema de recipientes interconectados por válvulas, adoptamos varios presupuestos fundamentales. En primer lugar, consideramos una cantidad k-ésima de recipientes, todos con el mismo volumen inicial y capaces de comportarse inicialmente como contenedores aislados. Una vez que todas las válvulas se abren simultáneamente, los gases pueden desplazarse libremente entre los recipientes. Dado que trabajamos exclusivamente con gases, el volumen total del sistema pasa a ser la suma de los volúmenes parciales, ignorando el volumen de las conexiones, que suele ser despreciable.

Asumimos también que todos los gases involucrados se comportan como gases ideales. Bajo este supuesto, las propiedades relevantes —en particular la presión— son independientes de la identidad química de cada gas. Esto implica que los choques moleculares y la contribución a la presión total dependen únicamente del número de entidades y no de su composición. Esta idealización es esencial para aplicar la aditividad de las presiones y el principio de igualación dentro del sistema conectado.

Por último, permitimos que cada recipiente pueda iniciar con una temperatura distinta, ya que en condiciones reales es posible que cada contenedor esté sometido a circunstancias externas diferentes. Sin embargo, una vez conectados y tras un tiempo suficiente, el sistema evoluciona hacia un estado térmico común, alcanzando una temperatura final uniforme en todos los recipientes. Este equilibrio térmico surge del intercambio de energía entre gases y paredes, asegurando que el análisis pueda realizarse bajo una única temperatura final para todo el sistema.

Iniciaremos asumiendo que la cantidad total del sistema al sí ser una propiedad aditiva es la suma de las cantidades parciales en cada recipiente como fundamentamos en la [Demostración de la ley de presiones parciales].

Sustituimos cada lado por su propia versión de la [Ecuación de estado del gas ideal]

Simplificamos.

Y dado que el volumen total se conoce como la suma de los volúmenes parciales:

[Teorema del sistema de recipientes de gas unidos por válvulas].

Demostración. Fracción molar como función de presiones, volúmenes y masas

Demuestre el teorema de la fracción molar como función de las presiones y otros fenómenos alrededor de la ecuación de estado.

Los gases, al ser el estado de la materia más simple y con menor grado de interacción entre partículas, permiten analizar una amplia variedad de situaciones en química. En secciones anteriores vimos cómo facilitan la construcción de modelos flexibles para describir reacciones; ahora examinaremos su papel dentro de las mezclas. Gracias a su comportamiento sencillo y predecible, los gases constituyen el punto de partida ideal para entender cómo se combinan distintas sustancias sin introducir complicaciones adicionales.

Para ello, retomaremos la [Ley del gas ideal] y la aplicaremos a dos escenarios fundamentales: [1] un gas con identidad química definida, considerado de manera individual, y [2] una mezcla completa, formada por varios gases coexistiendo en el mismo volumen.

En ambos casos trabajaremos bajo la suposición de que R y T permanecen constantes, lo cual nos permite comparar directamente los parámetros relevantes sin que intervengan cambios energéticos o variaciones de escala.

Dividimos la expresión de la ley del gas ideal aplicada a un gas concreto entre la misma ley formulada para la mezcla completa de gases. Esta operación nos permite comparar directamente el comportamiento del componente individual con el del sistema total y, a partir de esa relación, obtener las diversas fracciones y parámetros parciales que describen la composición y el aporte relativo de cada gas dentro de la mezcla.

Lo que nos permite plantear tres fracciones. usando los axiomas correspondientes [Axioma de la fracción de volúmenes] y [Axioma de la fracción molar]

En este punto volvemos a considerar dos escenarios posibles, definidos por la disposición de las fronteras del sistema. Si el sistema posee fronteras rígidas, es decir, si el volumen permanece constante, la fracción de volumen se cancela de manera natural en la relación obtenida al dividir las ecuaciones [6]. Esto nos permite derivar el teorema de la fracción molar expresado como función de las presiones, y al mismo tiempo despejar la ley de la presión parcial en términos de la presión total y la fracción molar. Estas expresiones serán esenciales para describir mezclas gaseosas bajo condiciones de volumen fijo.

Por el contrario, si el sistema posee fronteras elásticas y flexibles, este se deforma hasta igualar la presión interna con la presión externa. En esas condiciones, la presión parcial de cada componente coincide con la presión total del sistema, lo que permite cancelar el cociente de presiones en la relación obtenida. Como resultado, aparece una identidad fundamental para los gases: la fracción molar se vuelve igual a la fracción de volumen.

En el caso de que necesitemos obtener la fracción molar a partir de las masas, el procedimiento se vuelve más complejo. A diferencia de las expresiones derivadas de Dalton, aquí cada sustancia en la mezcla conserva su identidad química propia, lo que introduce diferencias en sus masas molares y en la forma en que contribuyen a la composición total. Para abordar este problema, partiremos directamente del axioma fundamental de la fracción molar y desarrollaremos la relación necesaria a partir de él. Usaremos el [Axioma de masa molar] para involucrar las masas, la forma [3] de la [Ley de Dalton]

normalmente el teorema anterior se simplifica para sistemas de dos sustancias, que llamaremos soluto o sustancia 1 (i) y solvente o sustancia 2 (j)

Y como se generan ratios de variable semejante los compactamos usando la [Ratios y productos].