Demostración. cantidad de reacción de gases

Determinar el teorema para calcular la cantidad de reacción de un gas, así como el teorema de la cantidad de gas cuando este es el reactante en exceso.

Cantidades de gas

Definiremos la cantidad de gas como la cantidad de una sustancia gaseosa, es decir, el número de moles del gas. En este contexto, los términos sustancia y gas son sinónimos, por lo que resulta más conciso y práctico referirse simplemente a la cantidad de gas para denotar el parámetro $n$ en la ecuación del gas ideal. Para esto primero despejaremos su cantidad de la ley del gas ideal dada en este enlace: $$n_i = \frac{P_i \cdot V_i}{R \cdot T} \quad \text{(1)}$$ Recordemos, además, que en condiciones normales (1 atm de presión y 0 °C de temperatura), el conjunto de variables presión, temperatura y volumen del gas ideal se simplifica en una constante conocida como el volumen molar. En estas condiciones, un mol de gas ideal ocupa 22.4 litros, lo que permite usar este valor como un factor de conversión directo entre cantidad de sustancia y volumen: $$n_i = \frac{V_i}{V_m} \quad \text{(2)}$$

Cantidad de reacción

Una vez que tenemos la cantidad de gas, podemos sustituirlo en el axioma de la cantidad de reacción dado en este teorema: $$n_i = \xi \cdot \nu_i \quad \text{(3)}$$ Con lo que obtenemos dos teoremas según la condición del gas: $$\frac{V_i}{V_m} = \xi \cdot \nu_i \quad \text{(4)}$$ $$\frac{P_i \cdot V_i}{R \cdot T} = \xi \cdot \nu_i \quad \text{(5)}$$ Los cuales despejaremos para la cantidad de reacción de forma elegante: $$\xi = \frac{V_i}{V_m \cdot \nu_i} \quad \text{(6)}$$ $$\xi = \frac{P_i \cdot V_i}{R \cdot T \cdot \nu_i} \quad \text{(7)}$$

Cantidad de gas en exceso

Ahora para determinar la cantidad de gas en exceso, deberemos plantearnos la pregunta: ¿Cómo se mide la producción de un gas? Y podemos tener dos respuestas a eso: por aumento de volumen a presión constante, o por aumento de presión a volumen constante.

Volumen del gas en exceso en condiciones normales

Para cualquiera de las dos respuestas, el procedimiento es el mismo; la diferencia radica únicamente en el tratamiento algebraico. Como vimos en la sección de reactivo limitante, la sustancia remanente se obtiene al restar la cantidad que realmente reacciona de la cantidad inicial (ver teorema). Sin embargo, cualquier teorema que permita calcular esa diferencia es igualmente válido. En este sentido, la diferencia en la cantidad de reacción será una función de los teoremas utilizados, donde el parámetro variable será el único afectado por dicha diferencia, ya que el resto de los términos permanecerán constantes y, por lo tanto, actuarán como factor común. En el caso del teorema para condiciones normales, el análisis es más sencillo, ya que se asume presión constante a priori, lo que facilita el cálculo. Por esta razón, comenzaremos con esta formulación: $$\Delta \xi = \frac{\Delta V_i}{V_m \cdot \nu_i} \quad \text{(8)}$$ Y despejamos el volumen remanente de gas: $$\Delta V_i = \nu_i \cdot V_m \cdot \Delta \xi \quad \text{(9)}$$

Volumen del gas en exceso a presiones no normales

$$\Delta V_i = \nu_i \cdot \frac{R \cdot T}{P_i} \cdot \Delta \xi \quad \text{(10)}$$

Presión de un gas en exceso en cualquier condición

$$\Delta P_i = \nu_i \cdot \frac{R \cdot T}{V_i} \cdot \Delta \xi \quad \text{(11)}$$

Resumen de fórmulas clave

• Cantidad de reacción en condiciones normales: Enlace
• Cantidad de reacción en cualquier condición: Enlace
• Volumen remanente del gas en exceso en CN: Enlace
• Volumen remanente del gas en exceso para cualquier presión constante: Enlace
• Presión remanente del gas en exceso para cualquier volumen constante: Enlace