García-García, Ejemplo 16. En un modelo didáctico de conejillos de Indias, una mancha oscura en el costado es dominante y está ligada al X. Genotipo materno: heterocigota, con la mancha. Genotipo paterno: hemicigoto para la variante no asociada con la mancha, sin ella. De 240 descendientes, los machos fueron 60 con mancha y 60 sin ella; las hembras, 61 con mancha y 59 sin ella. Calcula las cantidades esperadas por sexo, grafica y aplica chi cuadrado.
Plantear la ley de la dominancia en una tabla
En este caso la distinción entre rasgo y código fenotipo se diluyen.
Carácter |
Rasgo |
Fenotipo |
Genotipo |
Mancha oscura en el costado |
Femenino con Mancha oscura |
\(D\unicode{x2640}\) |
\(X^A X^A\) \(X^A X^a\) |
Femenino sin Mancha oscura |
\(r\unicode{x2640}\) |
\(X^a X^a\) |
|
Masculino con Mancha oscura |
\(D\unicode{x2642}\) |
\(X^A Y\) |
|
Masculino sin Mancha oscura |
\(r\unicode{x2642}\) |
\(X^a Y\) |
Cruce
Planteamos los gametos por separado porque los parentales poseen genotipos diferentes: la madre produce \(X^A\) y \(X^a\), mientras que el padre produce \(X^a\) y \(Y\).
Fecundación y fenotipos de la F1.
|
\(X^A\) |
\( X^a \) |
\(X^a\) |
\(X^A X^a \) |
\(X^a X^a \) |
\(Y\) |
\(X^AY\) |
\(X^aY\) |
Reemplazamos por los fenotipos (\(D\unicode{x2640}+ r\unicode{x2640}+ D\unicode{x2642}+ r\unicode{x2642} \))
Calculamos las probabilidades usando el [Teorema de la probabilidad],
\[\boxed{P_i=\frac{n_i}{n}}\]
donde la cantidad total \(n\) es la suma de los coeficientes.
\[n=1+1+1+1=4 \]
Calculamos las probabilidades usando la [Equivalencias entre números decimales y fracciones racionales]
\[ P(D\unicode{x2642}) = P(D\unicode{x2640}) = P(r\unicode{x2642}) = P(r\unicode{x2640}) =\frac{1}{4}=0.25=25.0\%\]
Dado que el código fenotípico y el fenotipo concreto son lo mismo en este caso, no necesitamos traducir la respuesta.
Conclusión en texto
Se espera que el:
25 % de las crías sean hembras con una mancha oscura en el costado.
25 % de las crías sean hembras sin una mancha oscura en el costado.
25 % de las crías sean machos con una mancha oscura en el costado.
25 % de las crías sean machos sin una mancha oscura en el costado.
Estandarización al tamaño de la muestra
Usaremos el Teorema [Estandarización de las frecuencias teóricas según el tamaño de la muestra]
\[ n_{oi}=p_i \cdot n_o\]
El enunciado indica que el tamaño de la muestra es 240
\[n_o=240\]
Y reemplazamos.
\[ n(D\unicode{x2642}) = n(D\unicode{x2640}) = n(r\unicode{x2642}) = n(r\unicode{x2640}) =0.25\times 240=60\]
Gráfica
En 240 crías, los machos observados fueron 60 con el rasgo y 60 sin él; entre las hembras, 61 con el rasgo y 59 sin él.
\(i\) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
\(D\unicode{x2642}\) |
60 |
60 |
\(D\unicode{x2640}\) |
61 |
60 |
\(r\unicode{x2642}\) |
60 |
60 |
\(r\unicode{x2640}\) |
59 |
60 |
Tot |
240 |
240 |
La gráfica no nos permite excluir el modelo, son semejantes.
Prueba chi cuadrado de Pearson manual
Hipótesis nula que creemos que debería ser en un mundo ideal Ho:
La proporción fenotípica sigue el modelo 1:1:1:1 para D♂, D♀, r♂ y r♀.
Hipótesis alternativa H1:
La proporción fenotípica no sigue el modelo 1:1:1:1 para D♂, D♀, r♂ y r♀.
Usaremos el teorema de la [Prueba de chi cuadrado de Pearson]
\[ \boxed{\chi^2=\sum_{i=1}^{k} \left( \frac{(n_{ei}-n_{oi})^2}{n_{oi}} \right) }\]
Dado que la fórmula es compleja, la descompondremos en cuadrado de la diferencia.
\[(\Delta n_i)^2=(n_{ei}-n_{oi})^2\]
Fracción del cuadrado de la diferencia con respecto a la cantidad teórica esperada.
\[f_i=\frac{(\Delta n_i)^2}{ n_{oi}}\]
Chi cuadrado calculada, cómo función de las fracciones anteriores.
\[ \chi^2=\Sigma f_i\]
(i) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
\((\Delta n_i)^2\) |
\( f_i \) |
\(D\unicode{x2642}\) |
60 |
60 |
0 |
0.000 |
\(D\unicode{x2640}\) |
61 |
60 |
1 |
0.01667 |
\(r\unicode{x2642}\) |
60 |
60 |
0 |
0.000 |
\(r\unicode{x2640}\) |
59 |
60 |
1 |
0.01667 |
\( \chi^2\) a dos decimales de exactitud |
0.03 |
|||
gl = número de categorías (i) – 1 |
3.00 |
|||
Buscamos el valor teórico de chi cuadrado en [Valores críticos de chi cuadrado de Pearson para un nivel de significación alfa de 0.05] que corresponde a 7.81 con dos decimales de exactitud.
Dado que el valor crítico 7.81 es mayor que el calculado 0.03, no rechazamos la hipótesis nula; no hay diferencias estadísticamente significativas.
Contraste separado por sexo
Para contrastar cada sexo por separado se considera una proporción 1:1, con 60 individuos esperados en cada categoría y un grado de libertad (valor crítico 3.84).
\[ \chi^2_{\unicode{x2642}}=\frac{(60-60)^2}{60}+\frac{(60-60)^2}{60}=0.00\]
\[ \chi^2_{\unicode{x2640}}=\frac{(61-60)^2}{60}+\frac{(59-60)^2}{60}=0.03\]
En machos: valor p = 1.00; no se rechaza la hipótesis nula. En hembras: valor p = 0.86; no se rechaza la hipótesis nula.
Prueba chi cuadrado de Excel
Asumiendo que tenemos la tabla de Excel.
|
A |
B |
C |
D |
1 |
(i) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
Valor p contraste |
2 |
\(D\unicode{x2642}\) |
60 |
60 |
=PRUEBA.CHI(B2:B5;C2:C5) |
3 |
\(D\unicode{x2640}\) |
61 |
60 |
|
4 |
\(r\unicode{x2642}\) |
60 |
60 |
|
5 |
\(r\unicode{x2640}\) |
59 |
60 |
|
La función (=PRUEBA.CHI(B2:B5;C2:C5)) devuelve 1.00 como valor p de contraste, y lo comparamos contra el valor p de exclusión 0.05.
Dado que el valor p de contraste 1.00 es mayor que el de exclusión 0.05 no rechazamos la hipótesis nula, no hay diferencias estadísticamente significativas.
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