García-García, Ejemplo 15. En un modelo didáctico de gatos, una mancha clara en una pata es un rasgo recesivo ligado al X. Genotipo materno: heterocigota portadora, sin manifestación. Genotipo paterno: hemicigoto afectado, con la mancha. De 200 crías, los machos observados fueron 35 afectados y 65 no afectados; entre las hembras, 50 afectadas y 50 portadoras sin manifestación. Calcula las expectativas por sexo, grafica y aplica chi cuadrado.
Plantear la ley de la dominancia en una tabla
En este caso, cada código fenotípico expresa la manifestación o ausencia del rasgo recesivo y el sexo de la cría.
|
Carácter |
Rasgo |
Fenotipo |
Genotipo |
|
Una mancha clara en una pata |
Femenino sin una mancha clara en una pata (portadora) |
\(D\unicode{x2640}\) |
\(X^A X^A\) \(X^A X^a\) |
|
Femenino con una mancha clara en una pata |
\(r\unicode{x2640}\) |
\(X^a X^a\) |
|
|
Masculino sin una mancha clara en una pata |
\(D\unicode{x2642}\) |
\(X^A Y\) |
|
|
Masculino con una mancha clara en una pata |
\(r\unicode{x2642}\) |
\(X^a Y\) |
Cruce
Planteamos los gametos de cada parental, porque presentan genotipos distintos:
La madre \(X^A X^a\) produce \(X^A\) y \(X^a\), cada uno con probabilidad \(0.5\).
El padre \(X^aY\) produce \(X^a\) y \(Y\), cada uno con probabilidad \(0.5\).
Al multiplicar los gametos, obtenemos cuatro cigotos equiprobables: \(X^A X^a\) (D♀), \(X^a X^a\) (r♀), \(X^AY\) (D♂) y \(X^aY\) (r♂).
\[(X^A+X^a)(X^a+Y)=X^AX^a+X^AY+X^aX^a+X^aY\]
\[P(D\unicode{x2642})=P(D\unicode{x2640})=P(r\unicode{x2642})=P(r\unicode{x2640})=\frac{1}{4}=0.25=25.0\%\]
Dado que el código fenotípico corresponde directamente al rasgo y al sexo, no necesitamos traducir la respuesta a un segundo sistema de códigos.
Conclusión
en texto
Se espera que el:
25 % de las crías sean hembras con una mancha clara en una pata (afectadas).
25 % de las crías sean hembras sin una mancha clara en una pata, pero portadoras.
25 % de las crías sean machos con una mancha clara en una pata (afectados).
25 % de las crías sean machos sin una mancha clara en una pata.
Estandarización
al tamaño de la muestra
Usaremos el Teorema
[Estandarización
de las frecuencias teóricas según el tamaño de la muestra]
\[ n_{oi}=p_i \cdot n_o\]
El enunciado indica que el tamaño de la muestra es 200.
\[n_o=200\]
Y reemplazamos.
\[n(D\unicode{x2642})=n(D\unicode{x2640})=n(r\unicode{x2642})=n(r\unicode{x2640})=0.25\times 200=50\]
Gráfica
En 200 crías se observaron 35 machos afectados y 65 no afectados; las hembras fueron 50 afectadas y 50 portadoras sin manifestación.
|
\(i\) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
|
\(D\unicode{x2642}\) |
65 |
50 |
|
\(D\unicode{x2640}\) |
50 |
50 |
|
\(r\unicode{x2642}\) |
35 |
50 |
|
\(r\unicode{x2640}\) |
50 |
50 |
|
Tot |
200 |
200 |
La gráfica permite comparar visualmente los datos con los valores teóricos. La decisión sobre la significación de las diferencias se realiza mediante las pruebas de chi cuadrado.
Prueba chi cuadrado de Pearson
manual
Hipótesis nula H₀:
Las frecuencias fenotípicas observadas siguen el modelo teórico 1:1:1:1 para D♂, D♀, r♂ y r♀.
Hipótesis alternativa H₁:
Las frecuencias fenotípicas observadas no siguen el modelo teórico 1:1:1:1 para D♂, D♀, r♂ y r♀.
Usaremos el teorema
de la [Prueba
de chi cuadrado de Pearson]
\[\boxed{\chi^2=\sum_{i=1}^{k}\left(\frac{(n_{ei}-n_{oi})^2}{n_{oi}}\right)}\]
Dado que la fórmula
es compleja, la descompondremos en cuadrado de la diferencia.
\[(\Delta n_i)^2=(n_{ei}-n_{oi})^2\]
Fracción del cuadrado de la diferencia con respecto a la cantidad teórica
esperada.
\[f_i=\frac{(\Delta n_i)^2}{n_{oi}}\]
Chi cuadrado calculada, cómo función de las fracciones anteriores.
\[\chi^2=\sum_{i=1}^{k}f_i\]
|
(i) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
\((\Delta n_i)^2\) |
\( f_i \) |
|
\(D\unicode{x2642}\) |
65 |
50 |
225 |
4.5000 |
|
\(D\unicode{x2640}\) |
50 |
50 |
0 |
0.0000 |
|
\(r\unicode{x2642}\) |
35 |
50 |
225 |
4.5000 |
|
\(r\unicode{x2640}\) |
50 |
50 |
0 |
0.0000 |
|
\( \chi^2\) a dos decimales de exactitud |
9.00 |
|||
|
gl = número de categorías (i) – 1 |
3 |
|||
Buscamos el valor
teórico de chi cuadrado en [Valores
críticos de chi cuadrado de Pearson para un nivel de significación alfa de 0.05]
que corresponde a 7.81 con dos decimales de exactitud.
Con 3 grados de libertad y α = 0.05, el valor crítico 7.81 se compara con el calculado 9.00: rechazamos la hipótesis nula. El valor p es 0.0293.
Contraste de chi cuadrado por sexo
Machos: D♂ = 65 y r♂ = 35, esperados 50 y 50; χ² = 9.00, gl = 1, p = 0.0027. Con α = 0.05 y χ² crítico = 3.84, rechazamos H₀ para los machos.
Hembras: D♀ = 50 y r♀ = 50, esperadas 50 y 50; χ² = 0.00, gl = 1, p = 1.0000. Con α = 0.05 y χ² crítico = 3.84, no rechazamos H₀ para las hembras.
Prueba chi cuadrado de Excel
Asumiendo que
tenemos la tabla de Excel.
|
|
A |
B |
C |
D |
|
1 |
(i) |
\(n_{ei}\) |
\(n_{oi}\) |
Valor p contraste |
|
2 |
\(D\unicode{x2642}\) |
65 |
50 |
=PRUEBA.CHI(B2:B5;C2:C5) |
|
3 |
\(D\unicode{x2640}\) |
50 |
50 |
|
|
4 |
\(r\unicode{x2642}\) |
35 |
50 |
|
|
5 |
\(r\unicode{x2640}\) |
50 |
50 |
|
La función (=PRUEBA.CHI(B2:B5;C2:C5)) devuelve 0.0293 como valor p del contraste conjunto. Lo comparamos con el nivel de significación 0.05.
Dado que el valor p del contraste 0.0293 es menor que 0.05, rechazamos la hipótesis nula: existen diferencias significativas.
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