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a la química]
El volumen
El volumen (V) se define como la medida del espacio tridimensional que ocupa un cuerpo o sustancia. También se lo denomina capacidad cuando se refiere a la cantidad de fluido que puede contener un recipiente, o espacio ocupado cuando se describe el lugar que una materia llena en el entorno. En el Sistema Internacional de Unidades se expresa en metros cúbicos (m³), aunque en contextos cotidianos y de laboratorio suelen emplearse unidades derivadas como el litro (L) o el centímetro cúbico (cm³). El volumen es una propiedad extensiva, ya que depende de la cantidad de materia presente, y se calcula mediante fórmulas geométricas para cuerpos regulares o mediante métodos de desplazamiento de líquido para cuerpos irregulares. En física y química, su determinación es esencial para estudiar la densidad, la presión, la temperatura y otras variables de estado de los sistemas materiales.
Enlace a la [Figura: Jacques Charles]
Enlace a la [Figura: Katherine Boyle]
Gran parte del laboratorio tanto en la alquimia medieval como en la química básica se ha basado en el control de volúmenes líquidos, ya que medir con precisión la cantidad de una sustancia es fundamental para reproducir experimentos y obtener resultados confiables. Los primeros métodos y utensilios para este fin surgieron en civilizaciones como el Antiguo Egipto y Persia, donde se desarrollaron recipientes calibrados para la preparación de perfumes, medicamentos y tintes. Figuras históricas como María la Judía —inventora del baño maría y pionera en la destilación— y Avicena, médico y alquimista persa, perfeccionaron el uso de instrumentos para controlar y medir líquidos en procesos de laboratorio y destilación.
Enlace a la [Figura: Material volumétrico de laboratorio]
A lo largo de los siglos, el perfeccionamiento de estos utensilios llevó al diseño de herramientas específicas como la pipeta, la probeta graduada, los balones aforados y las buretas, todas destinadas a medir y transferir volúmenes con exactitud. Estos instrumentos permiten determinar cantidades desde mililitros hasta fracciones muy pequeñas, lo que resulta esencial en análisis químicos, titulaciones y experimentos de síntesis. Con el tiempo, también se incorporaron jeringas de laboratorio para la dosificación precisa de líquidos en experimentos que requieren rapidez o ausencia de contaminación.
En la actualidad, aunque el laboratorio moderno dispone de tecnología automatizada para el control de volúmenes, los principios establecidos por los alquimistas y químicos antiguos siguen vigentes. La medición volumétrica continúa siendo clave en disciplinas como la química analítica, la bioquímica y la farmacología, ya que incluso un pequeño error en el volumen puede alterar la concentración de una disolución y modificar por completo el resultado experimental. Así, la evolución desde los recipientes calibrados de la antigüedad hasta el vidrio y plástico de precisión contemporáneo refleja la continuidad histórica de la medición como núcleo de la ciencia experimental.
Cuando el objeto cuyo volumen se desea determinar no es un líquido, sino un cuerpo sólido con forma geométrica definida, el volumen puede calcularse mediante las fórmulas geométricas estándar. En estos casos no es necesario recurrir al desplazamiento de un fluido, sino que basta con medir las dimensiones características del objeto —como longitudes, radios o alturas— y aplicar la expresión matemática correspondiente.
Enlace a la [Figura: Sólidos geométricos]
Los sólidos geométricos más comunes en estos cálculos son el cubo, el prisma, la pirámide, la esfera, el cono y el cilindro. Cada uno de ellos posee una fórmula específica de volumen que relaciona sus dimensiones con el espacio que ocupa. Este enfoque permite determinar el volumen de objetos con formas regulares de manera directa y precisa.
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\[V=r^3 \tag{1.1}\] |
\[V=r_x\cdot r_y \cdot r_z \tag{1.2}\] |
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\[V=A \cdot h \tag{1.3}\] |
\[V=\frac{1}{3} \cdot A \cdot h \tag{1.4}\] |
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\[V=\pi \cdot r^2 \cdot h \tag{1.5}\] |
\[V=\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \tag{1.6}\] |
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\[V=\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \tag{1.7}\] [1.1] Cubo; [1.2] Prisma 1 de tres aristas; [1.3] Prisma 2 de área y altura; [1.4] Pirámide; [1.5] Cilindro; [1.6] Cono: [1.7] La esfera; . Para ver la descripción de los términos, pulse en [Fórmulas: Volúmenes de sólidos geométricos] |
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Como valor de π utilizaremos 3.14159, una aproximación suficiente para la mayoría de los cálculos escolares, que rara vez requieren más de 3 o 4 cifras significativas. Este valor permite obtener resultados con buena precisión sin complicar innecesariamente los procedimientos.
Es importante recordar que π es un número irracional, es decir, posee una expansión decimal infinita no periódica, por lo que no puede expresarse exactamente como una fracción ni con un número finito de cifras decimales. A lo largo de la historia, matemáticos como Arquímedes, Newton y Ramanujan desarrollaron métodos cada vez más precisos para aproximarlo, reflejando su importancia tanto en la geometría como en la ciencia en general.
Ejemplo 1. Calcula el volumen de un cilindro cuya base circular tiene un radio de 4.0 cm y cuya altura es de 12 cm. Etapa
analítica. Usaremos la fórmula 1.5. Etapa
numérica por factor de conversión. No se usa Etapa
numérica por sustitución algebraica. \[ V=\times 3.14159
\times (4\ \color{Indigo} \text{cm}\color{black})^2 \times 12\ \color{Indigo}
\text{cm} \] \[\color{black} V=603.1\ \color{Indigo} \text{cm}^3 \color{black}=
6.0\times10^2\ \color{Indigo} \text{cm}^3 \] |
Este procedimiento se aplica en la medición volumétrica por desplazamiento de agua utilizando probetas graduadas o recipientes con marcas de capacidad. Se llena el recipiente con un volumen inicial conocido, se sumerge el cuerpo y se observa el aumento en el nivel del líquido; la diferencia entre ambas medidas corresponde al volumen del objeto. Este método es muy preciso para sólidos pequeños o de forma irregular, como minerales, piezas mecánicas o fragmentos de materiales.
En casos donde el objeto no puede sumergirse, se recurre a técnicas indirectas como la integración matemática de secciones transversales obtenidas por cortes físicos o digitales (por ejemplo, mediante escaneo 3D). En geología y arquitectura, se utilizan aproximaciones que dividen el cuerpo en formas regulares conocidas, sumando sus volúmenes parciales. En medicina, tecnologías como la tomografía computarizada y la resonancia magnética permiten calcular volúmenes corporales internos con alta precisión a partir de modelos tridimensionales. En todos los casos, el objetivo es traducir una forma compleja a datos medibles que permitan obtener su volumen real con el menor margen de error posible
Densidad
La densidad \(rho\) de una sustancia es una propiedad intensiva que se define como la masa (m) por unidad de volumen (V), es decir, la relación entre la masa y el volumen de un material.
Obsérvese que en el axioma de la densidad la identidad de los tres términos es la misma: masa de la sustancia, volumen de esa misma sustancia y, en consecuencia, densidad de la misma sustancia o del sistema completo. Es decir, las tres magnitudes se refieren al mismo material considerado como un todo.
Cuando trabajamos con magnitudes totales del sistema, normalmente no indicamos explícitamente la identidad de la sustancia, ya que se sobreentiende que todas las variables corresponden al mismo objeto o muestra. En cambio, cuando la identidad del material es desconocida o queremos representarla de forma general, utilizamos el subíndice i, que funciona como un índice genérico para referirse a una sustancia o sistema cualquiera.
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\[\rho = \frac{m}{V} \tag{2.1}\] |
\[\rho_i = \frac{m_i}{V_i} \tag{2.2}\] |
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Para
los factores de conversión homólogos pulse en [Fórmulas:
Axioma de la densidad] |
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Se expresa comúnmente en unidades de g/cm³ o kg/m³. La densidad varía con la temperatura y la presión, ya que a medida que la temperatura aumenta, las partículas de la sustancia tienden a separarse, lo que reduce su densidad. A la inversa, cuando la temperatura disminuye, las partículas se acercan, lo que aumenta la densidad.
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Ejemplo 2. Calcule la densidad del germanio a 40 °C
si una muestra de 2.50 × 10² g
ocupa un volumen de 46.7 cm³.
Exprese el resultado en g/cm³. Etapa
analítica. Usaremos la fórmula 2.2. Etapa
numérica por factor de conversión. \[ \frac{2.50\times10^2\
\color{Indigo} \text{g} \ \color{NavyBlue} \text{Ge}}{46.7\ \color{Indigo}
\text{cm}^3 \ \color{NavyBlue} \text{Ge}} = \frac{5.35\ \color{Indigo}
\text{g} \ \color{NavyBlue} \text{Ge}}{1\ \color{Indigo} \text{cm}^3 \
\color{NavyBlue} \text{Ge}} \] Etapa
numérica por sustitución algebraica. \[ \rho(\color{NavyBlue}
\text{Ge}\color{black}) = \frac{2.50\times10^2\ \color{Indigo}
\text{g}}{46.7\ \color{Indigo} \text{cm}^3} = 5.35 \frac{\color{Indigo}
\text{g}}{ \color{Indigo} \text{cm}^3} \] |
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Ejemplo 3. Calcule la masa de una muestra de aluminio
si su densidad es de 2.70 g/cm³
y ocupa un volumen de 15.0 cm³.
Exprese el resultado en gramos. Etapa
analítica. Usaremos la fórmula 2.2; pero modificada.
Debemos despejar la masa. Observe que el despeje debe hacerse sin importar la
técnica empleada. Formas modificadas de factor de
conversión \[ (masa)\ \color{Indigo}
\text{g} \ \color{NavyBlue} \text{sust} \color{black}= \frac{(densid)\
\color{Indigo} \text{g} \ \color{NavyBlue} \text{sust}}{1\ \color{Indigo}
\text{L} \ \color{NavyBlue} \text{sust}} \times (vol)\ \color{Indigo}
\text{L} \ \color{NavyBlue} \text{sust} \] Y teoremas \[m_i=\rho\cdot V_i\] Observe que los factores de
conversión se manipulan bajo las mismas reglas del álgebra simbólica. Etapa
numérica por factor de conversión. \[ (masa)\ \color{Indigo}
\text{g} \ \color{NavyBlue} \text{sust} \color{black}= \frac{2.70\
\color{Indigo} \text{g} \ \color{NavyBlue} \text{Al}}{1\ \color{Indigo}
\text{cm}^3 \ \color{NavyBlue} \text{Al}} \times 15.0\ \color{Indigo}
\text{cm}^3 \ \color{NavyBlue} \text{Al} \color{black} = 40.5\ \color{Indigo}
\text{g} \ \color{NavyBlue} \text{Al} \] Etapa
numérica por sustitución algebraica. \[ m(\color{NavyBlue}
\text{Al}\color{black}) = 2.7\ \frac{\color{Indigo} \text{g}}{\color{Indigo}
\text{cm}^3} \times 15.0\ \color{Indigo} \text{cm}^3 \color{black}= 40.5\
\color{Indigo} \text{g} \] |
En el caso del agua, se establece que su densidad es 1 g/cm³ (o 1 kg/L) a 4°C, no porque esta sea su "naturaleza", sino debido a un acuerdo histórico relacionado con la definición del kilogramo. Cuando se definió el kilogramo, se utilizó un litro de agua a 4°C para hacer la conversión 1:1 entre volumen y masa. Por ello, la densidad del agua sigue siendo muy cercana a 1 en la mayoría de las condiciones de laboratorio, tanto en su forma larga (kg/L) como en su forma corta (g/mL).
La definición de densidad es axiómica, lo que significa que no se desprende de otras verdades o principios, sino que es una convención aceptada para relacionar la masa de una sustancia con el volumen que ocupa. Es una relación establecida por acuerdo, y no necesita ser demostrada o probada, ya que se trata de una verdad fundamental dentro del campo de la química y la física. De esta manera, la densidad se define como el cociente entre la masa de la sustancia y el volumen que ocupa, lo que la convierte en un concepto central para comprender las propiedades intensivas de los materiales.
La densidad está estrechamente relacionada con el estado de la materia, ya que los sólidos, líquidos y gases presentan diferentes densidades debido a la manera en que sus partículas están organizadas y distribuidas. En los sólidos, las partículas están mucho más juntas, lo que generalmente resulta en una mayor densidad, mientras que, en los gases, las partículas están más separadas, lo que conduce a una menor densidad.
Además, la densidad también está vinculada al carácter metálico o no metálico de un elemento. Los metales, en general, tienen alta densidad debido a sus estructuras compactas y fuertes enlaces metálicos, mientras que los no metales suelen tener densidades más bajas. Esto se debe a que los átomos en los no metales están menos densamente empaquetados, lo que resulta en una menor masa por volumen.
La definición del kilogramo y de la densidad del agua
El agua es el patrón de medida de la química. Como vimos en la sección de cantidad de sustancia, su descomposición permitió calibrar los pesos atómicos fundamentales: 1 para el hidrógeno, 16 para el oxígeno y 18 para el agua. Con estos puntos de referencia, los demás elementos pudieron ser calibrados con precisión. Sin embargo, la densidad también depende estrechamente del agua, y en particular del volumen que ocupa un litro de agua.
El primer nombre del litro fue “cadil”, y sus estándares originales se conservan en el Musée des Arts et Métiers en París. El litro fue introducido en Francia en 1795 como una de las nuevas unidades republicanas de medida, definido como un decímetro cúbico (1 dm³). Un litro de agua líquida tiene una masa casi exacta de un kilogramo, debido a que el kiloramo fue definido en 1795 como un decímetro cúbico de agua a la temperatura del punto de fusión del hielo. La longitud original del decímetro era de 44.344 líneas, revisada en 1798 a 44.3296 líneas, haciendo que el litro original equivaliera a 1.000974 del decímetro cúbico actual. Sobre esta definición del litro se construyó el kilogramo.
Por ende, para definir el kilogramo, se llenaba un litro de agua a una temperatura específica —normalmente cercana a los cuatro grados Celsius, donde el agua alcanza su máxima densidad—, estableciendo así una referencia precisa y reproducible entre masa y volumen. Esta unidad reemplazó a la libra o grava, cuyo nombre en idiomas germánicos sonaba a “graf”, término asociado a figuras como conde, lord o señor de la guerra, es decir, a títulos propios de la nobleza feudal; algo que la idiosincrasia republicana francesa rechazaba en un contexto político marcado por la ruptura con el antiguo régimen y la exaltación de ideales como la democracia y la igualdad.
En ese mismo periodo se desarrollaba la Revolución francesa, un proceso de transformación radical que no solo redefinió el sistema político, sino también las bases del conocimiento y la medición. En mil setecientos noventa y cuatro fue ejecutado Antoine Lavoisier, figura central de la química moderna, apenas un año antes de la consolidación de estas nuevas unidades. Mientras tanto, Francia se encontraba en conflicto con las monarquías europeas que rodeaban su territorio, en un enfrentamiento contra el orden feudal y aristocrático. En este contexto, la creación de un sistema de medidas universal, racional y desligado de privilegios nobiliarios no fue solo una necesidad científica, sino también una declaración ideológica coherente con los principios revolucionarios.
Dado que un kilogramo de agua equivale a un litro de agua, la densidad del agua quedó establecida como una referencia fundamental, con un valor que se mantiene prácticamente constante dentro de las condiciones normales de laboratorio. Esta estabilidad permitió utilizar el agua como un patrón confiable en la medición, convirtiéndola en un estándar clave para establecer relaciones entre masa y volumen. De este modo, el agua se consolidó como una base esencial en la metrología científica, facilitando la comparación y la reproducibilidad de mediciones en física y química.
[Ejercicios resueltos de densidad física]
Referencias
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Chang, R., & Goldsby, K. A. (2021). Chemistry (14th ed.). McGraw-Hill Education.
Hughes, S. W. (2005). Archimedes revisited: A faster, better, cheaper method of accurately measuring the volume of small objects. Physics Education, 40(5), 468–474.
Jeffrey, A. (2004). Mathematics for engineers and scientists. CRC Press.
Robens, E., Jayaweera, S. A. A., & Kiefer, S. (2014). Weights. In Balances: Instruments, manufacturers, history (pp. 43–85). Springer. https://doi.org/10.1007/978-3-642-36427-9
Seager, S., & Slabaugh, M. (2022). Chemistry for today: General, organic, and biochemistry (10th ed.). Cengage Learning.
Swango, L. (1957). A brief history of weights and measures. U.S. National Bureau of Standards.
Wilkins, J. (2008). A chronological history of the modern metric system (to 2008). National Institute of Standards and Technology.
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