Demostración. Volúmenes de los cuerpos geométricos

Demuestre las fórmulas de los volúmenes de cubo, esfera, cilindro, cono y pirámide.

En matemáticas, las demostraciones formales de los volúmenes de muchas figuras requieren un nivel de cálculo para el que, por ahora, aún no están preparados. Por eso, en lugar de sumergirnos en complejas integrales y desarrollos algebraicos, recorreremos un camino más visual y tangible: pruebas geométricas usando objetos reales, apoyándonos en algunos videos de YouTube que mostrarán el proceso de forma clara.

Este enfoque es inductivo, y aunque a lo largo de la historia algunos filósofos y matemáticos lo hayan mirado con cierto desdén, nosotros, como científicos, valoramos sobre todo los resultados. La inducción, que consiste en extraer una regla general a partir de la observación de casos particulares, ha sido objeto de intensos debates. Por ejemplo, Immanuel Kant desconfiaba de la inducción como vía para alcanzar el conocimiento puro: para él, las matemáticas debían construirse a partir de principios a priori, no de la experiencia.

De manera similar, David Hume cuestionaba la validez lógica de la inducción, señalando que el hecho de que algo haya ocurrido muchas veces no garantiza que ocurra siempre; su famoso “problema de la inducción” sigue siendo un reto filosófico hasta hoy.

En el otro extremo, pensadores como Francis Bacon defendieron la inducción como herramienta fundamental para el avance del conocimiento científico, sosteniendo que la observación sistemática podía conducir a leyes universales. También John Stuart Mill la consideró esencial, llegando a formalizar métodos inductivos que, según él, permitían llegar a conclusiones confiables a partir de datos experimentales. Así, las fórmulas que obtendremos con este método no son simples aproximaciones: son correctas y han sido confirmadas por rigurosas demostraciones formales.

La ciencia, sin embargo, se nutre tanto de la deducción como de la inducción; un enfoque equilibrado evita caer en el absolutismo platónico de las ideas puras, pero también nos protege de los razonamientos descuidados que ignoran la verificación empírica.
En otras palabras: ni despreciar la experiencia en favor de la teoría, ni sacrificar la precisión teórica en nombre de la observación sin control; el verdadero avance surge del diálogo constante entre ambas.

Cubo

Esta es la demostración más simple: cualquiera de las posiciones unitarias r_x, r_y, r_z, son equivalentes entre sí y pueden expresarse con un término más general, el vector unitario correspondiente a la distancia entre dos aristas, definido como r.

Por lo tanto, podemos aplicar directamente el [teorema del cubo rectangular], que establece que su volumen es el producto de las dimensiones medidas en las tres direcciones ortogonales del espacio.

[Enlace a la fórmula volumen del cubo]

La pirámide

Para demostrar el área de una pirámide, primero recordemos cómo se obtiene el área de un triángulo. Si tenemos un rectángulo, es evidente que un triángulo equivale a la mitad de él. Dicho de otro modo, un rectángulo puede dividirse en dos triángulos iguales; al tomar solo uno, nos quedamos con medio rectángulo. Por lo tanto, el área de un triángulo es la mitad del área de un rectángulo. Esta demostración geométrica nos ahorra complicaciones con métodos algebraicos más avanzados.

El problema con la pirámide y el cubo es que son figuras tridimensionales, y allí nuestra mente empieza a flaquear. Sin embargo, si tuviéramos un cubo de plastilina, podríamos efectuar los cortes mostrados en el video (https://www.youtube.com/watch?v=ZikgDVCdeJw), con lo que lograríamos dividirlo en tres pirámides iguales. Ergo, el volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un prisma rectangular. De allí que su fórmula sea:

[Enlace a la fórmula volumen de la pirámide]

El cilindro

Estas demostraciones nos muestran que la figura base para este tipo de sólidos rectos es el prisma rectangular. Por ende, y por analogía matemática, para obtener las fórmulas de sólidos de revolución basados en el círculo, debemos partir de la figura homóloga al prisma: el cilindro. Supongamos que los vectores de posición unitarios r_x​ (ancho) y r_z​​ (profundidad) describen un área A, que en este caso corresponde al área de un cuadrado.

Por lo tanto, por analogía, podemos sustituir esa base cuadrada por un círculo y usar su área para el cálculo del cilindro.

Esto nos lleva a la pregunta: ¿cuál es el área de un círculo? Esta interrogante ha acompañado a la humanidad desde la antigüedad, cuando matemáticos como Arquímedes ya buscaban métodos para calcularla. En aquella época, se aproximaba el área mediante polígonos inscritos y circunscritos, llegando a la famosa constante π. En su forma moderna, sabemos que el área de un círculo con radio r se expresa como:

Para evitar confusiones entre las dos medidas de longitud clave en el cilindro, distinguimos:

• r: la distancia desde el centro del círculo en la base hasta su perímetro (el radio).
• r_y: la altura del cilindro.

Para mayor claridad, sustituimos r_y por la letra h, un simple cambio de nombre que facilita la lectura y evita confusiones en las fórmulas.

[Enlace a la fórmula volumen del cilindro]

El cono

El cono, al igual que la pirámide, nos complica un poco la vida porque es un objeto tridimensional. Sin embargo, podemos aplicar una técnica basada en homología y conjetura: argumentar que el cono es al cilindro lo que la pirámide es al prisma rectangular.
En ambos casos, la figura está gobernada por un triángulo intrínseco en su estructura, y por ende, si una pirámide tiene un volumen igual a un tercio del prisma que la contiene, la conjetura indicaría que el volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro de igual base y altura.

Con esta conjetura, podemos formular una hipótesis de trabajo:

“Si construimos un cono y un cilindro con área de base y altura iguales, y llenamos el cono con agua, necesitaremos transvasarlo tres veces para llenar el cilindro.”

En el video https://www.youtube.com/watch?v=yfuHUBDH2T0 se realiza justamente este experimento, el cual confirma la hipótesis y valida la conjetura.

Este sencillo procedimiento es, en esencia, una forma abreviada del método científico: observamos, proponemos una explicación, realizamos una prueba experimental y obtenemos una validación, todo sin recurrir a integrales avanzadas.

[Enlace a la fórmula volumen del cono]

La esfera

Bajo la misma temática, podemos argumentar que la esfera podría equivaler, en volumen, a un múltiplo entero del volumen de alguna de las otras formas —cilindro o cono— que tengan el mismo radio y altura. La respuesta precisa es que su volumen es exactamente igual al de dos conos de igual radio y altura que la esfera. En el video https://www.youtube.com/watch?v=YNutS8eIhEs se muestra este experimento, donde la comparación directa permite visualizar y comprobar esta relación sin necesidad de recurrir a fórmulas o cálculos avanzados.

En el video también se indica que

Por ende

[Enlace a la fórmula volumen de la esfera]

Referencias

Bacon, F. (1620). Novum Organum. Londres: John Bill.

Hume, D. (1748). An Enquiry concerning Human Understanding. Londres: A. Millar.

Kant, I. (1781). Crítica de la razón pura. Riga: Johann Friedrich Hartknoch.

Mill, J. S. (1843). A System of Logic, Ratiocinative and Inductive. Londres: John W. Parker.

Numberphile. (2013, 7 de noviembre). Filling a pyramid with water [Video]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=ZikgDVCdeJw

Numberphile. (2013, 21 de noviembre). Volume of a cone [Video]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=yfuHUBDH2T0

Numberphile. (2013, 4 de diciembre). Archimedes and the volume of a sphere [Video]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=YNutS8eIhEs