Demostración, Regla de aspa

La regla del aspa permite determinar el menor conjunto posible de subíndices en una fórmula química, basándose en la proporcionalidad de las cargas. Para aplicarla, se parte del principio de conservación de la carga, tal como establece el Teorema [Enlace].

Sea z_i la carga total de la sustancia:

$$z_{i} = \Sigma (z_{x} \cdot si_{x}) \tag{1}$$

Desplegamos dos componentes, x₁ y x₂: el primero, denominado catión (cat), es quien porta la carga positiva, mientras que el segundo, denominado anión (ani), lleva la carga negativa. Al formular, sustituimos la carga total del compuesto por cero, asumiendo su neutralidad eléctrica:

$$0 = z_{\text{cat}} \cdot si_{\text{cat}} + z_{\text{ani}} \cdot si_{\text{ani}} \tag{2}$$

A continuación, manipulamos el álgebra para obtener el ratio de subíndices en función del ratio de números de carga, garantizando la proporción correcta entre cationes y aniones:

$$-z_{\text{cat}} \cdot si_{\text{cat}} = z_{\text{ani}} \cdot si_{\text{ani}} \tag{3}$$

Dado que el ratio de subíndices es, por definición, un escalar, aplicamos el valor absoluto a las cargas, basados en la propiedad matemática |a| = |b|. De este modo, solo consideramos las magnitudes de las cargas:

$$|-z_{\text{cat}} \cdot si_{\text{cat}}| = |z_{\text{ani}} \cdot si_{\text{ani}}| \tag{4}$$

$$z_{\text{cat}} \cdot si_{\text{cat}} = z_{\text{ani}} \cdot si_{\text{ani}} \tag{5}$$

Finalmente, obtenemos que el ratio de las magnitudes escalares de las cargas es igual al inverso del ratio de los subíndices. Esto justifica la regla del aspa, que establece que el subíndice de un ion es igual al número de carga de su ion opuesto, simplificado al entero más sencillo:

$$\frac{si_{\text{cat}}}{si_{\text{ani}}} = \frac{z_{\text{ani}}}{z_{\text{cat}}} \tag{6}$$