Análisis dimensional por sustitución algebraica

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La regla de tres no es la única alternativa para realizar análisis dimensional. Otra forma válida y útil es la sustitución algebraica. Esta técnica se basa en un principio fundamental: toda unidad dimensional puede tratarse como un término algebraico, y por tanto, es susceptible de ser sustituida directamente mediante una igualdad teórica. Esta equivalencia permite reemplazar unidades en una expresión matemática como si se tratara de variables, facilitando el análisis y la resolución de fórmulas complejas.

Sustitución de prefijos directos.
La sustitución de prefijos directos se basa en el hecho de que los prefijos decimales representan valores numéricos definidos según la tabla de prefijos del Sistema Internacional. Por ello, pueden ser sustituidos directamente según convenga: ya sea reemplazando el prefijo por su valor en notación científica, o bien, sustituyendo un valor en notación científica por el prefijo correspondiente. Esta flexibilidad facilita la conversión y simplificación de expresiones numéricas y dimensionales.

Figura 1. Conversión de 4.2 kg a g por factor de conversión y sustitución algebraica.

Figura 2. Conversión de 12 000 000 L a megalitros por factor de conversión y sustitución algebraica.

Prefijos no lineales.
En el caso de los prefijos no lineales, como en unidades elevadas al cuadrado o al cubo (por ejemplo, cm³), el prefijo también se ve afectado por la potencia. Al realizar la sustitución del valor correspondiente al prefijo, este debe ser elevado a la misma potencia que afecta a la unidad. Por ejemplo, al convertir centímetros cúbicos a metros cúbicos, el valor del prefijo "centi" ($10^{-2}$) debe elevarse al cubo, lo que da como resultado ($10^{-2}$)³ = $10^{-6}$.

Figura 3. Convertir 2.1 cm³ a m³ por factor de conversión y sustitución algebraica.

Sustitución directa.
La sustitución directa completa ocurre cuando una unidad A es equivalente a una unidad B mediante una constante de conversión. En estos casos, se puede ignorar el "1" de la igualdad teórica y realizar la sustitución directamente, reemplazando la unidad original por su equivalente en la nueva unidad junto con la constante correspondiente. Esta técnica es útil para simplificar expresiones y resolver conversiones de forma más ágil, siempre que se mantenga la coherencia dimensional.

   

Figura 4. Convertir 4.25 libras a g si 1 lb = 453 g por factor de conversión y sustitución algebraica.

Para aplicar la forma inversa de una sustitución directa, simplemente se despeja la igualdad teórica, colocando la unidad deseada en el numerador. Alternativamente, también se puede expresar la constante como una potencia negativa.

Figura 5. Convertir 800 g a libras por factor de conversión y sustitución algebraica.

También es posible realizar sustituciones anidadas, que consisten en aplicar múltiples sustituciones encadenadas dentro de una misma expresión. Este método es común en conversiones de unidades compuestas o jerárquicas, como en el caso del tiempo (por ejemplo, convertir días a segundos). En estos casos, se sustituye paso a paso cada unidad intermedia por su equivalente hasta llegar a la unidad final deseada, manteniendo la coherencia dimensional en cada etapa del proceso.

Figura 6. Convertir 1 segundo a años por factor de conversión y sustitución algebraica.

Sumas
En el caso de la suma, el procedimiento es simplemente ejecutarla directamente. Aquí no surge el problema de las identidades parciales, ya que estas están implícitas en el símbolo de identidad establecido por el teorema clave correspondiente. Esto significa que, al sumar magnitudes con unidades compatibles, la operación conserva su validez sin necesidad de sustituciones adicionales.

Figura 7. Al calentar 10.0 g de carbonato de calcio, se producen 4.4 g de dióxido de carbono y 5.6 g de óxido de calcio. ¿Se cumple la ley de conservación de la masa?

Análisis de proporciones
En el análisis de proporciones, la forma algebraica permite cancelar unidades homogéneas o prefijos equivalentes en cocientes. De igual forma, es posible cancelar prefijos opuestos en productos, o incluso transferir prefijos de una unidad a otra haciendo uso de la ley conmutativa del producto. Estas propiedades simplifican los cálculos y permiten reorganizar las expresiones sin alterar su significado físico.

Figura 8. Calcular la fracción de masas con 20 g NaOH en 500 g de agua. En este caso las unidades se cancelan implícitamente antes de sustituir porque ya sabemos que se van a cancelar.

Figura 9. Factor de conversión anidado para la conversión de 4.2 kg/kL a g/L.

Figura 10. La densidad del mercurio es 13.6 g/mL. ¿Cuál es el volumen en litros si la masa medida es de 3.5 kg?

También es posible transferir verticalmente un prefijo, pero al hacerlo, debemos sustituirlo por su definición inversa. Esto implica que al mover el prefijo de una unidad a otra, su valor se ajusta en función de la posición en la jerarquía de los prefijos, de manera que la equivalencia se mantiene correctamente.

Figura 11. A solution of 4.0 g/mL NaCl, convert the expression to kg/L.

Referencias
García, J. L. G. (2025). Dimensional Analysis in Chemistry Textbooks 1900-2020 and an Algebraic Alternative. Educación Química 2025, 36 (1), 82-108. https://doi.org/10.22201/fq.18708404e.2025.1.88260