La estadística
es la rama de las matemáticas encargada de recolectar, organizar, analizar e
interpretar datos para describir fenómenos y obtener conclusiones sobre
ellos. En biología, permite estudiar las características de los
organismos, comparar poblaciones e identificar patrones que resultan
difíciles de reconocer mediante la observación individual. Por ejemplo, podemos
contar cuántas plantas producen semillas amarillas, cuántas moscas
presentan ojos blancos o qué proporción de una población posee
determinada característica hereditaria. Al organizar estas observaciones
mediante tablas, gráficas y parámetros estadísticos, podemos encontrar
regularidades y construir explicaciones sobre los fenómenos naturales.
La importancia de
las matemáticas en las ciencias fue reconocida desde los comienzos de la
ciencia moderna. Galileo Galilei (1564-1642) defendía que la naturaleza podía
comprenderse mediante un lenguaje matemático, mientras que William
Thomson, conocido como lord Kelvin (1824-1907), destacó la importancia de las mediciones
cuantitativas para comprender los fenómenos físicos. Estas ideas
contribuyeron al desarrollo de la física y la química, aunque durante mucho
tiempo numerosos fenómenos biológicos parecieron demasiado complejos
para explicarse mediante ecuaciones sencillas. La enorme diversidad de los
organismos, sus diferencias individuales y la influencia del ambiente
dificultaban establecer relaciones matemáticas comparables a las utilizadas
para describir el movimiento de los cuerpos.
Precisamente, uno
de los acontecimientos que convirtió al mendelismo en una teoría
especialmente importante fue la matematización de la herencia biológica.
Aunque Gregor Mendel (1822-1884) ya había empleado conteos y proporciones para
estudiar la hibridación vegetal, los investigadores de comienzos del
siglo XX desarrollaron un lenguaje matemático que permitió interpretar sus
resultados mediante parámetros elementales, como el número de
individuos, las frecuencias absolutas, las frecuencias relativas
y las probabilidades hereditarias. Gracias a estos instrumentos, las
diferencias entre los descendientes dejaron de interpretarse únicamente
mediante descripciones y comenzaron a estudiarse mediante modelos
matemáticos capaces de predecir proporciones bajo determinadas condiciones
experimentales (Olby, 1979; Abbott
& Fairbanks, 2016).
La incorporación de
estos procedimientos transformó la genética experimental. En lugar de
limitarse a describir que algunas plantas eran altas y otras enanas, los
investigadores podían determinar cuántas pertenecían a cada categoría, calcular
sus proporciones y compararlas con los resultados esperados. Posteriormente,
estas herramientas se ampliaron mediante la genética de poblaciones, que
estudia la distribución y los cambios de las variantes hereditarias
entre generaciones. En 1908, Godfrey Hardy y Wilhelm Weinberg establecieron
independientemente las bases de un modelo que permite estudiar las frecuencias
genéticas bajo condiciones ideales, conocido actualmente como equilibrio
de Hardy-Weinberg (Edwards, 2008).
Sin embargo, para
comprender estos modelos no necesitamos comenzar con matemáticas complicadas.
Durante las primeras etapas de nuestro estudio utilizaremos procedimientos
basados en el conteo de entidades, la clasificación de
características biológicas, las fracciones y las operaciones del álgebra
elemental. Estos conocimientos permitirán comprender cómo se construyen las
predicciones genéticas y, posteriormente, cómo se comparan con los resultados
obtenidos mediante la experimentación.
Número de entidades
El número de
entidades es la cantidad de entes de un mismo tipo presentes en un sistema
determinado. Esta definición procede del tratamiento cuantitativo utilizado en
química, donde las entidades pueden ser átomos, moléculas, iones u otras
partículas identificables. El mismo principio puede aplicarse a los sistemas
biológicos, donde podemos contar células, semillas, organismos, gametos
o individuos que comparten determinada característica.
El conteo puede
realizarse directamente sobre entidades elementales, utilizando números
enteros, o mediante agrupaciones cuando las cantidades son demasiado grandes
para manejarlas cómodamente. Según el Sistema Internacional de Unidades,
el número de entidades es una magnitud adimensional, cuya unidad es uno. Esto
significa que el resultado del conteo no requiere una unidad física
independiente, aunque debemos identificar claramente qué estamos contando.
Por ejemplo,
podemos registrar 24 semillas, 150 células o 300 plantas. En estas expresiones,
las palabras indican el tipo de entidad y no representan unidades físicas como
el metro o el kilogramo. En cambio, el número de entidades se expresa
mediante valores enteros no negativos, pues no podemos contar una fracción de
un organismo completo cuando nuestra unidad de observación es precisamente el
individuo.
Cuando las
cantidades alcanzan valores enormes, como sucede con los átomos y las
moléculas, resulta conveniente utilizar agrupaciones especiales. En química se
emplea el mol, unidad de la magnitud denominada cantidad de sustancia,
que corresponde exactamente a 6,02214076 × 1023 entidades
elementales. Es importante distinguir ambas magnitudes: el número de entidades
es un conteo adimensional, mientras que la cantidad de sustancia se mide en
moles (BIPM, 2019).
En genética
escolar, normalmente trabajaremos con cantidades considerablemente menores,
como decenas, centenas o algunos miles de organismos. Por esta razón, resulta
más sencillo contar directamente las entidades e identificar sus características
fenotípicas, como el color de las flores, la forma de las semillas o la
altura de las plantas.
Para representar
estos conteos utilizaremos la letra minúscula cursiva n, acompañada del
nombre o símbolo de la entidad entre paréntesis. Esta será nuestra convención
de notación para los ejercicios de genética. Debemos tener presente que, en
la nomenclatura oficial del Sistema Internacional, el número de entidades suele
representarse mediante N, mientras que n representa la cantidad
de sustancia en moles. Nuestra notación mantiene el uso de n como
parámetro de conteo exclusivamente dentro de los modelos escolares que estamos
construyendo.
Por ejemplo, si un
experimento produce 400 semillas de guisante, podemos escribir: n(semillas)
= 400
La letra n
representa el parámetro de cantidad, que leeremos como «número de» o
«cantidad de». Entre paréntesis aparece el tipo de entidad contada,
mientras que después del signo igual encontramos el valor numérico del
conteo.
En química, para
identificar los átomos de un elemento, podemos utilizar su símbolo químico.
Así, dentro de nuestra notación de conteo, la expresión: n(C) = 400
Se lee «número de
átomos de carbono igual a 400». Cuando estudiamos moléculas, utilizamos su fórmula
química. Por ejemplo, para representar 400 moléculas de agua escribimos: n(H2O)
= 400
En genética,
trabajaremos inicialmente con objetos y características más fáciles de
reconocer. Si contamos 400 flores púrpuras, podemos expresar el resultado
mediante: n(f.púrpura) = 400
En este caso,
«f.púrpura» identifica la categoría biológica correspondiente a las
flores que presentan esa coloración. La abreviatura nos permite distinguirlas
de otras categorías, como flores blancas o semillas amarillas.
También podemos
utilizar expresiones como n(s.amarilla), para indicar el número de
semillas amarillas, o n(p.alta), para representar el número de plantas
altas. Es fundamental mantener una nomenclatura coherente durante todo
el experimento, de modo que cada símbolo corresponda siempre a la misma
categoría.
Finalmente, después
del signo igual podemos escribir un valor de conteo, una fórmula
matemática o una función, dependiendo de la información disponible.
Esto nos permitirá utilizar el mismo parámetro tanto para registrar datos
experimentales como para realizar cálculos y construir predicciones.
Distribución y conservación
En ciertos sistemas
biológicos, una categoría de entidades, como las semillas, puede dividirse
en diferentes subcategorías determinadas por características
particulares, como el color, el tamaño o la textura. De
esta manera, el número total de entidades puede distribuirse entre varios
grupos, cada uno con su propio conteo particular.
Por ejemplo, una
colección de 400 semillas puede contener 250 amarillas y 150 verdes. Aunque
ahora tenemos dos subcategorías, el número total de semillas continúa
siendo 400. Lo único que ha cambiado es nuestra manera de organizar el conjunto
mediante una clasificación fenotípica.
Para efectuar
correctamente esta distribución, las categorías deben ser mutuamente
excluyentes, de modo que cada entidad pertenezca a una sola categoría
dentro de la clasificación elegida. Además, las categorías deben incluir todos
los resultados posibles. Si clasificamos las semillas exclusivamente según su
color, no debemos incluir simultáneamente categorías mezcladas como «semillas
amarillas» y «semillas grandes», porque una misma semilla podría pertenecer a
ambas.
Cuando cumplimos
estas condiciones, podemos establecer una primera relación de conservación:
la suma de los números de entidades de todas las subcategorías debe ser igual
al número total de entidades del sistema. Esta relación no representa
una nueva ley física, sino una consecuencia matemática de contar todos los
elementos una sola vez.
Sin embargo, no
siempre sabemos cuántas categorías tendrá un sistema. Podemos trabajar con dos
colores, tres texturas o numerosas combinaciones de características
observables. Por esta razón, utilizaremos la notación de sumatoria,
representada mediante la letra griega mayúscula sigma (Σ), que permite
expresar la suma de varios conteos particulares.
La sumatoria puede
escribirse de dos maneras: una forma completa, con límites explícitos, y
una forma simplificada, con límites implícitos. Los límites indican
dónde comienza y termina la suma. En la forma completa, el límite inferior
aparece debajo de sigma, mientras que el superior se coloca encima.
[Conservación
del número de entidades] forma explícita
Por ejemplo,
podemos utilizar i = 1 para indicar que comenzamos con la primera
categoría. El límite superior señalará la última categoría que debemos
considerar. Cuando nos interesa sumar todas las categorías del sistema, podemos
omitir los límites, siempre que el conjunto considerado esté claramente
definido.
Así, la expresión:
[Conservación
del número de entidades] forma implícita
Indica que debemos
sumar los números de entidades correspondientes a todas las categorías
identificadas mediante el subíndice i. Este subíndice permite distinguir
cada conteo sin necesidad de escribir individualmente todas las cantidades.
Por ejemplo, si
tenemos semillas amarillas, verdes y blancas, el número total será igual a la
suma de los conteos correspondientes a los tres colores. Esta propiedad
permitirá construir tablas estadísticas, comprobar nuestros resultados y
reconocer errores cuando la suma de las categorías no coincida con el total
registrado.
Teóricos
frente a experimentales
Uno de los
problemas didácticos más frecuentes en la enseñanza de las ciencias
naturales es que los libros de texto no siempre distinguen claramente los
diferentes significados que puede tener un mismo parámetro matemático.
En nuestro caso, resulta fundamental diferenciar los valores teóricos de
los valores experimentales. Aunque ambos describen una misma característica
biológica, proceden de fuentes diferentes y cumplen funciones distintas
dentro de una investigación.
Un parámetro
experimental, como el número de entidades, representa la cantidad de veces
que realmente observamos una determinada categoría. Este valor se obtiene
mediante un conteo directo, es decir, a posteriori, después de
realizar las observaciones. Por ejemplo, si contamos cuántas plantas presentan flores
púrpuras, obtenemos un dato experimental. Una vez verificado, este valor
constituye un resultado observado que no debemos modificar para
ajustarlo a nuestras expectativas.
Por su parte, un parámetro
teórico representa un valor calculado mediante un modelo matemático,
una estimación o una función. Una función matemática es una relación que
permite determinar el valor de una variable dependiente a partir de los
valores conocidos de una o varias variables independientes.
En genética,
estos modelos permiten estimar cuántos descendientes esperamos encontrar con
determinada característica hereditaria antes de realizar el conteo
experimental. Por ejemplo, algunos cruzamientos monohíbridos permiten
predecir una proporción fenotípica de 3:1, siempre que se cumplan
condiciones específicas, como la dominancia completa y la ausencia de
diferencias importantes en la viabilidad de los genotipos (Abbott
& Fairbanks, 2016).
La idea fundamental
consiste en comparar los valores esperados con los resultados
observados. Si el modelo es adecuado, las diferencias deberían encontrarse
dentro de las fluctuaciones compatibles con el experimento. Sin embargo, ambos
valores rara vez coinciden exactamente, especialmente cuando estudiamos
cantidades pequeñas de organismos.
Estas diferencias
pueden aparecer debido al azar reproductivo, al tamaño de la muestra,
a las condiciones ambientales o a variables adicionales que afectan la
supervivencia y reproducción de los individuos. Por esta razón, la estadística
permite investigar si las discrepancias son compatibles con las variaciones
esperadas o si sugieren que debemos revisar nuestro modelo.
Para distinguir
ambos parámetros mediante una notación algebraica, utilizaremos el subíndice
e como indicador de los resultados experimentales. Así, la expresión: n(i)e,
representa el número de entidades de la categoría i que
hemos contado experimentalmente. En cambio, cuando escribimos: n(i), sin ninguna marca adicional, entenderemos
que corresponde al número teórico o esperado de entidades de esa misma
categoría. Esta distinción constituye una convención de nuestro curso, diseñada
para facilitar la comparación entre diferentes resultados.
Imaginemos que un modelo
hereditario predice que, entre 400 plantas, deberían aparecer 300 con
flores púrpuras y 100 con flores blancas. Estos serían nuestros conteos
teóricos. Sin embargo, después de realizar el experimento encontramos 294
plantas con flores púrpuras y 106 con flores blancas. Los últimos valores
corresponden a los conteos experimentales.
Aunque las
cantidades no coinciden exactamente, las diferencias son relativamente
pequeñas. Esto no significa automáticamente que el modelo sea correcto o
incorrecto. Para evaluar su compatibilidad necesitaremos utilizar procedimientos
estadísticos que consideren la cantidad de individuos estudiados y la
magnitud de las diferencias observadas.
También debemos
recordar que el valor experimental no representa necesariamente una
verdad absoluta e inmodificable. Puede corregirse cuando descubrimos errores de
identificación, registro o conteo, siempre que exista una justificación
verificable. Lo que no debemos hacer es alterar los resultados simplemente para
aproximarlos a una predicción teórica.
Figura 3.
Comparación entre frecuencias teóricas y experimentales en un cruzamiento de
plantas con flores púrpuras y blancas.
Gráficas de barras de conteo directo
Las gráficas de
barras de conteo directo son representaciones estadísticas que permiten
comparar visualmente el número de entidades pertenecientes a diferentes
categorías. Se construyen sobre un plano cartesiano, donde cada eje cumple una
función específica y facilita la interpretación de los resultados
experimentales.
Figura 1. [Gráficas
de barras categóricas] Las gráficas de barras permiten comparar frecuencias
absolutas de distintas categorías biológicas, como colores florales o
fenotipos. El eje horizontal representa las categorías y el vertical, los
conteos. Las barras deben estar separadas y comenzar desde cero. En genética
experimental, facilitan comparar resultados teóricos y observados, aunque
determinar diferencias significativas requiere pruebas estadísticas (Cleveland
& McGill, 1984).
El eje
horizontal (X) presenta las variables categóricas, es decir,
características que permiten distinguir grupos de organismos. Estas pueden
corresponder al color de las semillas, la forma de las hojas, la
longitud del tallo o diferentes fenotipos. Como las categorías
representan grupos diferenciados, sus barras se dibujan separadas, sin
establecer una continuidad entre ellas.
El eje vertical
(Y) representa una escala numérica de conteo, generalmente expresada
mediante números enteros no negativos. Aunque el número de entidades
corresponde a una variable discreta, la altura de las barras puede
ajustarse proporcionalmente a los valores registrados. De esta manera, una
barra más alta representa un conteo mayor, mientras que una barra más
baja indica una cantidad menor de entidades.
Para construir una
gráfica correctamente, primero debemos organizar los datos en una tabla de
frecuencias absolutas. Después identificamos las categorías y establecemos
una escala vertical apropiada. Es importante que esta escala sea uniforme y,
normalmente, comience en cero, pues de lo contrario podríamos exagerar
visualmente las diferencias entre categorías.
Por ejemplo, si
contamos 200 semillas amarillas, 120 verdes y 80 blancas, la gráfica tendrá
tres barras. La primera alcanzará el valor de 200, la segunda llegará a 120 y
la tercera a 80. Esta representación permite identificar rápidamente cuál es la
categoría más frecuente y cuál aparece en menor cantidad.
También podemos
utilizar las gráficas de barras agrupadas para comparar los valores
teóricos con los conteos experimentales. En este caso, colocaremos
dos barras próximas para cada categoría, utilizando colores diferentes y una
leyenda que permita distinguir los resultados.
Este procedimiento
facilita la identificación visual de las diferencias entre las predicciones
matemáticas y las observaciones experimentales. Sin embargo, las
gráficas resultan especialmente útiles cuando estas diferencias son
suficientemente grandes para reconocerse a simple vista.
Figura 2. [Gráficas
de barras para comparar parámetros]. Las gráficas de barras agrupadas
permiten comparar frecuencias teóricas y experimentales de diferentes
fenotipos. Facilitan reconocer diferencias grandes y evidentes, pero resultan
insuficientes cuando las desviaciones son pequeñas. En esos casos, la prueba de
chi-cuadrado permite evaluar si las diferencias entre valores observados y
esperados son compatibles con el azar estadístico del modelo (McHugh, 2013).
Cuando las frecuencias
teóricas y experimentales son muy semejantes, las barras pueden parecer
prácticamente iguales. En estas situaciones, una inspección visual no permite
establecer si las diferencias son estadísticamente importantes. Para resolver
este problema, posteriormente utilizaremos pruebas estadísticas, como la
prueba de bondad de ajuste de chi-cuadrado, que permite comparar
frecuencias observadas con frecuencias esperadas bajo determinadas condiciones.
En genética
experimental, las gráficas de barras constituyen una herramienta
fundamental para representar las proporciones fenotípicas, identificar
variaciones entre generaciones y comunicar los resultados de los cruzamientos.
Su principal ventaja consiste en transformar una colección de números en una
representación visual que facilita reconocer las relaciones entre los
diferentes grupos de organismos.
Referencias bibliográficas
Abbott, S., &
Fairbanks, D. J. (2016). Experiments on plant hybrids by Gregor Mendel. Genetics,
204(2), 407–422. https://doi.org/10.1534/genetics.116.195198
Bureau
International des Poids et Mesures. (2019). The International System of
Units (SI) (9.ª ed.). https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure
Edwards, A. W. F.
(2008). G. H. Hardy (1908) and Hardy–Weinberg equilibrium. Genetics, 179(3),
1143–1150. https://doi.org/10.1534/genetics.104.92940
Olby, R. C. (1979).
Mendel no Mendelian? History of Science, 17(1), 53–72. https://doi.org/10.1177/007327537901700103
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