Leyes de productos y ratios

 En la lección anterior, abarcamos la suma y algunas leyes fundamentales que dependen de esta operación. Ahora, centraremos nuestra atención en otras dos operaciones esenciales: los productos y los ratios (divisiones).

Productos simples

Un producto entre dos términos es la operación matemática mediante la cual dos cantidades se combinan multiplicándose, dando como resultado una nueva cantidad proporcional a ambas.  En química y en ciencias físicas, los productos suelen emerger de propiedades sumatorias en las que una de las magnitudes permanece constante. Por ejemplo, si se tiene una colección de objetos todos con la misma masa, la masa total no se obtiene sumando cada término uno a uno, sino reconociendo que esa suma repetida puede expresarse como un producto: la masa individual multiplicada por el número de veces que el objeto se repite.

La operación producto entre dos términos, a y b, puede representarse mediante distintas notaciones, cuyo uso depende del contexto (algebraico, científico, tipográfico o computacional). Las formas más comunes y algunas menos evidentes son:

a) Yuxtaposición o espacio: a b. Es habitual en álgebra y física, pero puede generar ambigüedad si los términos son complejos.

b) Aspa: a × b. Muy usada en aritmética y divulgación; clara visualmente, pero poco práctica en álgebra simbólica avanzada.

c) Punto medio: a · b. Frecuente en física y química; evita confusión con la letra x, pero no se recomienda en aritmética por su parecido con el separador decimal.

d) Asterisco: a * b. Estándar en programación y cálculo computacional.

e) Letra x: a x b. Uso informal; se desaconseja en ciencia porque se confunde con variables.

f) Paréntesis o agrupación implícita: (a)(b). Muy común en álgebra formal y factorización.

g) Corchetes o llaves: [a][b], {a}{b}, usados en contextos estructurales o tensoriales.

h) Notación funcional: ab interpretado como aplicación o composición en ciertos marcos matemáticos.

 En este curso de química alternamos entre dos niveles de lenguaje matemático, según el tipo de razonamiento que se esté realizando. En el nivel aritmético, propio de los cálculos numéricos concretos, emplearemos preferentemente la aspa (×) o, cuando sea necesario, la letra x, ya que son claras y familiares para operaciones directas con números. En cambio, en el nivel algebraico, donde se trabajan expresiones generales, teoremas y relaciones simbólicas, utilizaremos el punto medio (·) o paréntesis para indicar productos, especialmente cuando intervienen subíndices, superíndices o varios factores. Esta distinción no es meramente formal: ayuda a separar el razonamiento estructural del cálculo operativo, reduce ambigüedades y mejora la legibilidad de las expresiones químico-matemáticas.

Productos en serie

 Además de los productos simples entre dos términos, también pueden definirse productos en serie. Un producto en serie es análogo a una suma en serie, con la diferencia de que, en lugar de sumar términos sucesivos, se multiplican una secuencia de factores, que pueden ser iguales o distintos entre sí. Cuando todos los factores son iguales, el producto en serie se reduce a una potencia; cuando son diferentes, el producto expresa la acumulación multiplicativa de varios términos.

[1] Formas generales de productos en serie (a) la forma completa con todos los símbolos y (b) la forma abreviada.

En el caso general, los productos en serie se representan mediante la notación de producto Π (pi mayúscula), que utiliza una simbología completamente análoga a la de la suma Σ. Esta notación permite indicar con claridad el índice de inicio, el índice final y la expresión general de cada factor, proporcionando una forma compacta y precisa de escribir productos extensos, especialmente útil en formulaciones algebraicas, físicas y químicas. Un ejemplo de la aplicación de productos en serie se da en el [Teorema del rendimiento de reacciones acopladas].

Razones, divisiones o ratios

Una división entre dos términos es la operación matemática mediante la cual una cantidad se reparte o normaliza respecto de otra, dando como resultado una razón que expresa cuántas veces una magnitud está contenida en la otra. En química y en ciencias físicas, las divisiones aparecen de forma natural cuando una propiedad total se distribuye sobre una base constante. Por ejemplo, al definir una concentración, no se suman cantidades, sino que se divide la cantidad de soluto entre el volumen o la masa de referencia, obteniendo así una magnitud intensiva que caracteriza al sistema con independencia de su tamaño.

La operación división entre dos términos, a y b, puede representarse mediante distintas notaciones, cuyo uso depende del contexto algebraico, científico o computacional. Las más habituales y algunas menos evidentes son:

a) Barra oblicua u vertical: a / b. Muy común en escritura rápida y programación.

b) Fracción horizontal: Es la notación más clara y preferida en álgebra, física y química.

c) Dos puntos: a:b Uso clásico en razones y proporciones.

d) Paréntesis con exponente negativo: a·b⁻¹. Frecuente en formulaciones algebraicas y análisis dimensional.

e) Notación funcional: a(b)⁻¹, usada en contextos formales o abstractos.

f) Cociente implícito en unidades: mol/L, g·mL⁻¹, donde la división está incorporada en la notación.

g) Símbolo de división aritmética: a ÷ b. Es común en educación básica y cálculos aritméticos; en textos científicos aparece menos porque puede confundirse visualmente o ser incómodo al escribir fórmulas largas.

h) División larga (formato “L”): la división en galera, donde el dividendo o numerador queda a la izquierda de la galera y el denominador o divisor a la derecha dentro de la galera.

Ratios de parámetro semejante

Aunque en principio no parecen necesarios símbolos especiales para los cocientes en serie, ya que un cociente se define siempre entre dos términos —numerador y denominador—, en química aparece un tipo de razón particularmente frecuente: los ratios de parámetros semejantes. Estos ratios poseen varias propiedades conceptuales y prácticas de gran importancia.

En primer lugar, simplifican problemas asociados a magnitudes extremas. Por ejemplo, al analizar cantidades de moléculas en reacciones químicas, resulta impracticable trabajar con números del orden de miles de trillones de entidades; sin embargo, al expresar la relación entre dos sustancias como una proporción, el problema se reduce a números pequeños y manejables, a menudo enteros simples.

En segundo lugar, permiten estandarizar procesos experimentales. Muchas tablas o gráficas de proporciones fundamentales en química, ej. [Tablas de solubilidad e insolubilidad], se construyen a partir de razones entre parámetros semejantes, como la masa de soluto que puede disolverse en una cantidad dada de solvente antes de que ocurra una precipitación cristalina.

Finalmente, su dimensionalidad depende del marco matemático utilizado. En el análisis por factor de conversión, los ratios deben expresarse con unidades e identidades explícitas. En cambio, en el tratamiento algebraico, estos cocientes son adimensionales, ya que las unidades se cancelan al tratarse de magnitudes del mismo tipo.

Notación de ratios, fracciones o razones abreviadas

En el tratamiento algebraico, los ratios suelen expresarse de manera explícita, por ejemplo como la masa de una sustancia dividida entre la masa de otra, o entre la masa total del sistema. En algunos casos se emplean símbolos específicos, como ocurre con la fracción en masa o la fracción molar. Sin embargo, si se intentara asignar un símbolo distinto a cada posible razón entre parámetros semejantes, rápidamente se agotaría la notación disponible, volviendo el lenguaje innecesariamente complejo.

Por esta razón, en este curso adoptaremos una notación abreviada y sistemática para los ratios de parámetros semejantes:
a(b|c), donde a representa el parámetro físico común (masa, cantidad de sustancia, volumen, etc.), b indica la identidad que aparece en el numerador, y c la identidad que aparece en el denominador.

Esta notación permite expresar de forma compacta y clara una amplia variedad de proporciones sin introducir nuevos símbolos para cada caso, manteniendo la coherencia algebraica y facilitando el análisis químico. A continuación se presentan ejemplos de parámetros semejantes utilizados habitualmente en química.

[2] Ratios de parámetro semejante comunes en química: (a) Ratio de cantidad de sustancia; (b) Ratio de masas; (c) Ratio de volúmenes. Para la descripción de los términos o ver los factores de conversión homólogos pulse en [este enlace]

Referencias

Apostol, T. M. Calculus, Vol. I. Wiley.

Arons, A. B. Teaching Introductory Physics. Wiley.

Atkins, P.; de Paula, J. Physical Chemistry. Oxford University Press.

Bridgman, P. W. Dimensional Analysis. Yale University Press.

Brown, T. L.; LeMay, H. E.; Bursten, B. E. et al. Chemistry: The Central Science. Pearson.

Buckingham, E. On Physically Similar Systems. Physical Review (1914).

Chang, R.; Goldsby, K. Chemistry. McGraw-Hill.

McMurry, J.; Fay, R. Chemistry. Pearson.

Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals. Cengage Learning. Cap. 1–2.

Thompson, A.; Taylor, B. Guide for the Use of the International System of Units (SI). NIST.