Leyes de productos y ratios

 En la lección anterior, abarcamos la suma y algunas leyes fundamentales que dependen de esta operación. Ahora, centraremos nuestra atención en otras dos operaciones esenciales: los productos y los ratios (divisiones).

Productos simples

Un producto entre dos términos es la operación matemática mediante la cual dos cantidades se combinan multiplicándose, dando como resultado una nueva cantidad proporcional a ambas.  En química y en ciencias físicas, los productos suelen emerger de propiedades sumatorias en las que una de las magnitudes permanece constante. Por ejemplo, si se tiene una colección de objetos todos con la misma masa, la masa total no se obtiene sumando cada término uno a uno, sino reconociendo que esa suma repetida puede expresarse como un producto: la masa individual multiplicada por el número de veces que el objeto se repite.

La operación producto entre dos términos, a y b, puede representarse mediante distintas notaciones, cuyo uso depende del contexto (algebraico, científico, tipográfico o computacional). Las formas más comunes y algunas menos evidentes son:

a) Yuxtaposición o espacio: a b. Es habitual en álgebra y física, pero puede generar ambigüedad si los términos son complejos.

b) Aspa: a × b. Muy usada en aritmética y divulgación; clara visualmente, pero poco práctica en álgebra simbólica avanzada.

c) Punto medio: a · b. Frecuente en física y química; evita confusión con la letra x, pero no se recomienda en aritmética por su parecido con el separador decimal.

d) Asterisco: a * b. Estándar en programación y cálculo computacional.

e) Letra x: a x b. Uso informal; se desaconseja en ciencia porque se confunde con variables.

f) Paréntesis o agrupación implícita: (a)(b). Muy común en álgebra formal y factorización.

g) Corchetes o llaves: [a][b], {a}{b}, usados en contextos estructurales o tensoriales.

h) Notación funcional: ab interpretado como aplicación o composición en ciertos marcos matemáticos.

 En este curso de química alternamos entre dos niveles de lenguaje matemático, según el tipo de razonamiento que se esté realizando. En el nivel aritmético, propio de los cálculos numéricos concretos, emplearemos preferentemente la aspa (×) o, cuando sea necesario, la letra x, ya que son claras y familiares para operaciones directas con números. En cambio, en el nivel algebraico, donde se trabajan expresiones generales, teoremas y relaciones simbólicas, utilizaremos el punto medio (·) o paréntesis para indicar productos, especialmente cuando intervienen subíndices, superíndices o varios factores. Esta distinción no es meramente formal: ayuda a separar el razonamiento estructural del cálculo operativo, reduce ambigüedades y mejora la legibilidad de las expresiones químico-matemáticas.

Productos en serie

 Además de los productos simples entre dos términos, también pueden definirse productos en serie. Un producto en serie es análogo a una suma en serie, con la diferencia de que, en lugar de sumar términos sucesivos, se multiplican una secuencia de factores, que pueden ser iguales o distintos entre sí. Cuando todos los factores son iguales, el producto en serie se reduce a una potencia; cuando son diferentes, el producto expresa la acumulación multiplicativa de varios términos.

Pulse en [Figura. Notación multiplicatoria] para la descripción de la imagen.

En el caso general, los productos en serie se representan mediante la notación de producto Π (pi mayúscula), que utiliza una simbología completamente análoga a la de la suma Σ. Esta notación permite indicar con claridad el índice de inicio, el índice final y la expresión general de cada factor, proporcionando una forma compacta y precisa de escribir productos extensos, especialmente útil en formulaciones algebraicas, físicas y químicas. Un ejemplo de la aplicación de productos en serie se da en el [Teorema del rendimiento de reacciones acopladas].

Los productorios, o productos en serie, constituyen uno de los escenarios en los que la técnica del factor marcado comienza a resultar insuficiente. En este contexto aparece una ambigüedad recurrente: determinar si la identidad asociada a una magnitud debe o no elevarse a la potencia junto con el valor y la unidad. Esta confusión no es meramente formal, sino que puede dar lugar a interpretaciones incorrectas del significado físico de la expresión.

En la práctica, esta situación suele evitarse de forma deliberada, ya que en química son poco frecuentes los casos en los que se trabaja explícitamente con cuadrados o cubos de magnitudes que conservan identidades diferenciadas. Cuando tales escenarios aparecen —normalmente en desarrollos teóricos de volúmenes—, los textos especializados abandonan el factor marcado y recurren al lenguaje simbólico de Viète, que permite manejar productos y potencias de manera clara, compacta y libre de ambigüedades.

El álgebra simbólica ofrece, en estos casos, una ventaja decisiva: separa de forma natural la estructura matemática de la interpretación física, evitando que la identidad quede indebidamente implicada en las potencias. Por ello, aunque el factor marcado resulta útil en situaciones simples, los productos en serie confirman sus límites y refuerzan la conveniencia de emplear el lenguaje algebraico simbólico cuando se requiere mayor precisión conceptual.

Razones, divisiones o ratios

Una división entre dos términos es la operación matemática mediante la cual una cantidad se reparte o normaliza respecto de otra, dando como resultado una razón que expresa cuántas veces una magnitud está contenida en la otra. En química y en ciencias físicas, las divisiones aparecen de forma natural cuando una propiedad total se distribuye sobre una base constante. Por ejemplo, al definir una concentración, no se suman cantidades, sino que se divide la cantidad de soluto entre el volumen o la masa de referencia, obteniendo así una magnitud intensiva que caracteriza al sistema con independencia de su tamaño.

La operación división entre dos términos, a y b, puede representarse mediante distintas notaciones, cuyo uso depende del contexto algebraico, científico o computacional. Las más habituales y algunas menos evidentes son:

a) Barra oblicua u vertical: a / b. Muy común en escritura rápida y programación.

b) Fracción horizontal: Es la notación más clara y preferida en álgebra, física y química.

c) Dos puntos: a:b Uso clásico en razones y proporciones.

d) Paréntesis con exponente negativo: a·b⁻¹. Frecuente en formulaciones algebraicas y análisis dimensional.

e) Notación funcional: a(b)⁻¹, usada en contextos formales o abstractos.

f) Cociente implícito en unidades: mol/L, g·mL⁻¹, donde la división está incorporada en la notación.

g) Símbolo de división aritmética: a ÷ b. Es común en educación básica y cálculos aritméticos; en textos científicos aparece menos porque puede confundirse visualmente o ser incómodo al escribir fórmulas largas.

h) División larga (formato “L”): la división en galera, donde el dividendo o numerador queda a la izquierda de la galera y el denominador o divisor a la derecha dentro de la galera.

Ratios de parámetro semejante

 Aunque en principio no parecen necesarios símbolos especiales para los cocientes, ya que toda razón se define naturalmente entre dos términos —numerador y denominador—, en química aparece con gran frecuencia un tipo particular de cociente: los ratios de parámetros semejantes. Este tipo de razón posee propiedades conceptuales y operativas que justifican su tratamiento explícito y sistemático.

Pulse en [Figura. Notación ratio o proporción] para la descripción de la imagen.

En primer lugar, los ratios de parámetros semejantes permiten simplificar problemas asociados a magnitudes extremas. Por ejemplo, al analizar cantidades de entidades químicas en una reacción, resulta poco práctico trabajar con números del orden de miles de trillones. En cambio, al expresar la relación entre dos sustancias como una proporción, el problema se reduce a números pequeños y manejables, a menudo enteros simples, sin pérdida de información física relevante. En segundo lugar, estos ratios facilitan la estandarización de procesos experimentales. Muchas tablas y gráficas fundamentales en química, como las [Tablas de solubilidad e insolubilidad], se construyen precisamente a partir de razones entre parámetros semejantes, por ejemplo, la masa de soluto que puede disolverse en una cantidad dada de solvente antes de que ocurra la precipitación.

Por último, la dimensionalidad de los ratios depende del marco matemático empleado. En el análisis por factor de conversión, las razones deben escribirse con unidades e identidades explícitas, ya que estas forman parte del significado físico de la medición. En cambio, en el tratamiento algebraico, los ratios entre parámetros semejantes son adimensionales, puesto que las unidades se cancelan al tratarse de magnitudes del mismo tipo.

En el lenguaje algebraico, los ratios suelen expresarse de forma explícita, como la masa de una sustancia dividida entre la masa de otra, o entre la masa total del sistema. En algunos casos existen símbolos específicos consolidados, como ocurre con la fracción en masa o la fracción molar. Sin embargo, asignar un símbolo distinto a cada posible razón entre parámetros semejantes haría el lenguaje innecesariamente complejo. Por ello, en este curso se adoptará una notación abreviada y sistemática del tipo a(b/c), donde a representa el parámetro físico común, b la identidad del numerador y c la identidad del denominador. Esta convención permite expresar una gran variedad de proporciones de forma compacta, clara y coherente, facilitando el análisis químico sin sobrecargar la notación.

Enlace a [Form. Ratios de cantidad, masa y volumen].

Referencias

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Thompson, A.; Taylor, B. Guide for the Use of the International System of Units (SI). NIST.