Leyes de productos y ratios

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En la lección anterior, abarcamos la suma y algunas leyes fundamentales que dependen de esta operación. Ahora, centraremos nuestra atención en otras dos operaciones esenciales: los productos y los ratios (divisiones).

En general, los productos simples entre términos se denotan a menudo simplemente por la ausencia de un símbolo (es decir, un espacio entre ellos, como en x y). Sin embargo, muchos textos no se molestan en dejar ese espacio, lo cual no es aconsejable. Esto se debe a que, frecuentemente, los términos en teoremas físicos o químicos involucran más de un símbolo (como subíndices o superíndices) y la falta de un separador claro puede llevar a confusiones. Por esta razón, se aconseja encarecidamente usar el punto medio (·) o el asterisco (*) para separar dos términos que se están multiplicando en expresiones algebraicas o científicas. Cuando pasamos a la etapa aritmética (cálculos con números concretos), es preferible emplear el aspa (x) o el asterisco (*) como símbolo de multiplicación. En la aritmética, el punto medio (·) se desaconseja, ya que puede confundirse fácilmente con un separador decimal, especialmente en contextos anglosajones.

Por otro lado, las divisiones pueden expresarse mediante el signo de óbelo (÷). Sin embargo, en el ámbito científico y matemático, es mucho más común y preferido emplear las fracciones o números racionales (por ejemplo, a/b o a sobre b). La notación fraccionaria ofrece una claridad visual superior, especialmente cuando se trabaja con expresiones complejas o con múltiples operaciones anidadas, ya que estructura la relación entre el numerador y el denominador de forma explícita.

El multiplicatorio

El productorio (Π) es una operación matemática fundamental para calcular el rendimiento neto de una serie de reacciones químicas anidadas o consecutivas. En este caso, el rendimiento de la reacción (y) se obtiene multiplicando iterativamente los rendimientos parciales (yk​) de cada etapa encadenada. Es importante destacar que, en la interpretación algebraica, el rendimiento de la reacción es adimensional, es decir, no posee unidades. Esto se debe a que representa una fracción o porcentaje de eficiencia en la conversión de reactivos a productos en cada paso, y al multiplicar estas fracciones, el resultado final sigue siendo una proporción sin dimensiones físicas.

Ecuación 1. Rendimiento neto de reacciones anidadas. Enlace a la descripción de los términos.

Ratios

A diferencia de la sumatoria y el multiplicatorio, no existe un símbolo universal para la ratio tipo de un mismo tipo de término es decir una fracción o cociente. Si bien algunos de estos cocientes sí poseen símbolos propios y arbitrarios —como la fracción de masa (w) o la fracción molar (χ)—, en química podemos encontrarnos con teoremas que involucran ratios de prácticamente cualquier parámetro. Por ende, no es económicamente viable (en términos de notación) proponer símbolos especiales para cada posible cociente de variables semejantes.

Dejar la fracción explícita (A/B) en cada instancia, sin embargo, puede hacer que los teoremas se vean recargados y difíciles de leer. Por esta razón, propondremos una notación compacta para un ratio de variables semejantes que no tenga un símbolo ya acuñado por la IUPAC: se expresará mediante un subíndice. En este subíndice, ubicaremos las identidades de los términos de la división separados por una barra diagonal (/). Así, por ejemplo, un ratio de masas cualesquiera m(i)​/m(j​) podrá resumirse como m(i/j)​. Una propiedad dimensional fundamental de este tipo de ratios es su carácter adimensional, es decir, carecen de unidades. Además, los ratios de la forma (i/total) siempre podrán expresarse convenientemente como porcentajes.

Otra propiedad significativa de nuestra propuesta de notación para ratios de variables semejantes (como m(i/j)​) es su notable facilidad para la manipulación algebraica. Cuando un término de ratio como este se mueve al otro lado de una igualdad durante un proceso de despeje, simplemente se invierten las identidades que se ubican al interior del subíndice. Por ejemplo, si tenemos la expresión m(i/j)​⋅a=b, al despejar la variable 'a', la ecuación se transforma de manera elegante en a=b⋅m(j/i)​. Esta característica no solo contribuye a que los términos secundarios de las ecuaciones mantengan una apariencia más limpia y clara, sino que también reduce significativamente la tendencia a cometer errores al invertir fracciones durante las operaciones de despeje.

A manera de ejemplo, se puede observar claramente la ventaja de compacidad y elegancia al comparar las dos formas de expresar la ecuación de volumen final que se muestran. En la forma de la izquierda [a], las relaciones entre los términos iniciales y finales (como P_o​/P_f​ o n_f​/n_o​) se expresan mediante fracciones explícitas, lo que genera una notación que puede volverse visualmente densa y redundante, especialmente si hay muchos ratios involucrados.

En contraste, la forma de la derecha [b] utiliza la notación compacta de subíndice que propusimos previamente (por ejemplo, P_o/f​, n_f/o​, T_f/o​). Esta notación condensa la relación de cociente en un solo término, lo que la hace mucho más compacta y legible. El simple uso de un subíndice con los identificadores del numerador y el denominador separados por una barra diagonal (o/f) comunica instantáneamente que se trata de un ratio de variables semejantes. Esto no solo mejora la claridad visual de la ecuación, haciéndola parecer más elegante, sino que también refuerza la idea de una estructura unificada para el manejo de cocientes, lo cual puede simplificar futuras manipulaciones algebraicas y reducir la probabilidad de errores.

Dada la importancia y recurrencia de este tipo de ejercicios a lo largo del curso de química general, no los resolveremos aquí de inmediato. En cambio, nos enfocaremos en sentar las bases conceptuales y de notación que les permitirán abordarlos con éxito en las secciones y talleres dedicados específicamente a la práctica. Esto asegura que comprendan a fondo las herramientas matemáticas y los principios químicos antes de sumergirse en la resolución extensa de problemas.