Lenguaje químico-matemático

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 El álgebra se define como la rama de las matemáticas que permite representar y manipular relaciones entre magnitudes; sin embargo, la manera de expresar dichas relaciones ha variado de forma considerable a lo largo de la historia. En la Edad Media, por ejemplo, era habitual el uso de expresiones literarias y retóricas, en ocasiones deliberadamente complejas y poéticas, para exponer los razonamientos algebraicos. Estos se formulaban mediante frases extensas e incluso versos rimados, lo que podía facilitar la memorización del procedimiento, pero al mismo tiempo dificultaba su comprensión y aplicación por parte de quienes no estaban iniciados en este tipo de lenguaje matemático.

Factor marcado vs lenguaje simbólico

En este curso de química trabajaremos con dos tipos de lenguaje matemático.

Factor marcado

El primero es el lenguaje de factores marcados, en el cual una medición contiene en una misma línea todos los componentes informativos: valor, unidad, identidad y, cuando corresponde, sentido. Este enfoque resulta especialmente útil para el trabajo experimental y el análisis dimensional. 

Pulse en [Figura. François Viete] para la descripción de la imagen.

Álgebra Simbólica

El segundo es el lenguaje de álgebra simbólica de François Viète, que corresponde al lenguaje algebraico estándar aprendido en los cursos de álgebra básica. En este caso, una medición se expresa mediante una variable dependiente que porta la identidad, seguida de una igualdad, y posteriormente se indican el sentido, el valor y la unidad, permitiendo una formulación más abstracta y general de las relaciones químicas.

Cuando interpretamos las mediciones mediante álgebra simbólica, distinguimos claramente entre el símbolo de la magnitud física y los símbolos de sus unidades de medida. Por ejemplo, la rapidez se representa mediante el símbolo , que es invariante, mientras que sus unidades pueden variar según el sistema de medición empleado, como km/h, m/s o mi/h. Aunque esta separación pueda parecer, en principio, un trabajo adicional, en realidad facilita enormemente el análisis, ya que los símbolos de las magnitudes son mucho más simples de manipular algebraicamente que las unidades asociadas a valores numéricos concretos.

Esta práctica es tan eficaz que constituye el lenguaje estándar de los textos de física, y también se adopta en varios capítulos de química, como en el estudio de los gases. Por ello, resulta fundamental asociar cada símbolo paramétrico con sus unidades más comunes, de modo que el uso del álgebra simbólica permita expresar relaciones generales sin perder el vínculo con la medición experimental.

Símbolos de parámetros físicos

Los símbolos de los parámetros físicos, también llamados símbolos de magnitudes, son representaciones algebraicas de propiedades físicas que asociamos a una unidad de medida para poder cuantificarlas. Por ejemplo, la temperatura se representa mediante el símbolo \(T\), y suele asociarse a unidades como grados Celsius (°C), kelvin (K) o grados Fahrenheit (°F). Aunque las unidades pueden variar, el símbolo del parámetro físico permanece invariante, ya que representa la magnitud en sí y no la forma particular en que se mide.

Cada parámetro físico admite únicamente un conjunto restringido de unidades válidas, coherentes con su naturaleza. Así, la temperatura solo puede medirse en unidades de temperatura, y carece de sentido expresarla en unidades de distancia como millas o metros. Otro aspecto importante es que los símbolos de los parámetros físicos no siempre son simples: en muchos casos requieren más de una letra o la incorporación de subíndices, superíndices o marcas adicionales para indicar identidades químicas, estados del sistema o condiciones específicas de medición. Esta flexibilidad simbólica permite describir sistemas complejos con precisión sin perder claridad conceptual.

Pulse aquí [Tablas del SI] para ver los símbolos de la mayoría de los parámetros físicos conocidos y formalmente reconocidos.

Los símbolos de los parámetros físicos presentan variaciones y adiciones según el tipo de magnitud, el método de medición y la información adicional que se desea comunicar. En sus formas fundamentales se distinguen dos categorías principales: módulos y vectores. No obstante, existen otras variantes de uso frecuente, como los escalares con sentido, los operadores indeterminados y diversas marcas especiales, que permiten precisar condiciones, direcciones, estados o propiedades particulares de la magnitud representada.

Nombres de los parámetros físicos

Otra distinción clave que se adoptará es la relacionada con la denominación de las magnitudes. Los módulos se nombrarán sin calificativos adicionales, es decir, sin “apellido”. En física, algunos módulos poseen nombres propios distintos de sus magnitudes homólogas con dirección, y esa diferencia se respetará. En el caso de los escalares con sentido, se utilizará el prefijo sentido de seguido del nombre del módulo, pudiendo añadirse el contexto físico o químico cuando sea necesario para evitar ambigüedades. De este modo, no es lo mismo hablar de masa como módulo que del sentido de la masa dentro de un proceso de solubilización, donde el signo puede indicar solubilización total o nula, o bien precipitación, siempre con respecto a la masa final del sistema.

Esta convención permite distinguir con claridad entre la cantidad física y la interpretación del proceso en el que interviene. El módulo describe únicamente cuánto hay de una magnitud, mientras que el escalar con sentido incorpora información adicional sobre cómo esa magnitud evoluciona o se manifiesta dentro de un fenómeno concreto.

Para los vectores, se empleará el prefijo vector seguido del nombre del módulo correspondiente, salvo en aquellos casos en los que existan vectores con nombres propios consolidados. Un ejemplo clásico es el caso de la velocidad, que constituye el vector asociado al módulo denominado rapidez. En este marco, la rapidez se entiende exclusivamente como el módulo, mientras que la velocidad incorpora dirección y sentido. Esta diferenciación terminológica refuerza la coherencia del sistema de representación y facilita la transición entre descripciones escalares y vectoriales sin perder precisión conceptual.

Módulo o magnitud

El módulo se representa idealmente mediante letra cursiva o italizada, aunque esta convención no constituye una regla estricta. Para la gran mayoría de los parámetros, se asumirá que el módulo representa un valor absoluto, con o sin unidad de medida. Desde el punto de vista operativo, esto implica que se comporta como una cantidad positiva; sin embargo, en la práctica es necesario distinguir este supuesto. Una cosa es una cantidad positiva, es decir, una magnitud que posee un sentido físico real y, por tanto, una interpretación física asociada, y otra muy distinta es un módulo sin sentido, del cual no puede afirmarse nada más allá de su magnitud física.

Pulse en [Figura. Modulo algebraico vs factor marcado] para la descripción de la imagen.

Los módulos se asocian a identidades mediante subíndices o paréntesis. La identidad especial de totalidad no se marcará en la mayoría de los casos; así, por ejemplo, \(m\) por sí sola representará la masa total. No obstante, en situaciones particulares será necesario explicitar dicha identidad, para lo cual se utilizará el código \(tot\).

Escalar con sentido

El escalar con sentido indica una polaridad, pero dicha polaridad no posee un significado absoluto, sino que adquiere una interpretación física dependiente del contexto en el que se utilice. En un contexto cinemático, por ejemplo, el signo puede indicar dirección de movimiento respecto a un eje de referencia; en un contexto químico, puede representar síntesis cuando es positivo o descomposición cuando es negativo; en un contexto térmico, señala la entrada o salida de energía; y en el caso de las cargas eléctricas, expresa directamente la polaridad de la carga. En todos estos casos, el signo positivo o negativo no es accesorio, sino que porta información física esencial que lo distingue claramente del simple módulo.

Pulse en [Figura. Escalar con sentido vs factor marcado] para la descripción de la imagen.

Vector verdadero

Un vector es una magnitud que posee módulo, dirección y sentido. Su símbolo se representa mediante letra en negrita, no cursiva, acompañada de una flecha superior, convención que permite distinguirlo claramente de los escalares. Por lo general, se utiliza la misma letra que identifica al módulo correspondiente, aunque esta coincidencia no es obligatoria y puede modificarse cuando el contexto lo exige o cuando existen nombres propios consolidados.

Pulse en [Figura. El vector] para la descripción de la imagen.

Los vectores pueden descomponerse conceptualmente en su módulo y en un ángulo definido dentro de un sistema de coordenadas polares, lo que permite describir completamente su orientación en el espacio. Esta descomposición resulta especialmente útil para el análisis geométrico y para la resolución de problemas físicos, ya que separa la cantidad de la información direccional sin perder rigor matemático ni significado físico.

No se empleará una representación equivalente mediante factor marcado, ya que, a diferencia de lo que ocurre en química, dicha forma no tiene un análogo operativo en el tratamiento vectorial. La física no depende del lenguaje de factor marcado para describir magnitudes con dirección, sino que se apoya exclusivamente en el álgebra simbólica, que permite una manipulación directa, compacta y coherente de los vectores y de sus componentes. Esta elección refuerza la claridad conceptual y evita introducir notaciones innecesarias que no aportan ventajas reales al análisis físico.

Operadores asociados a los parámetros físicos

Los operadores de los parámetros físicos representan las operaciones básicas que pueden realizarse entre magnitudes; sin embargo, en muchos casos estas operaciones se formulan de manera indeterminada o generalizada con el fin de compactar el lenguaje algebraico y facilitar su manipulación. Esta abstracción permite expresar relaciones físicas sin necesidad de detallar cada operación particular, manteniendo la generalidad y el rigor del tratamiento matemático.

En este curso se trabajará con un conjunto limitado pero fundamental de operadores. Se utilizará la sumatoria para representar la adición reiterada de términos, la multiplicatoria para expresar productos sucesivos, la diferencia binaria para indicar la resta entre dos cantidades definidas, y el ratio o división binaria para describir relaciones de proporcionalidad entre magnitudes. Cada uno de estos operadores cumple una función específica en la construcción de modelos físicos y químicos, y su uso sistemático permite simplificar expresiones complejas sin perder información relevante.

Pulse en [Figura. Notación sumatoria] para la descripción de la imagen.

Pulse en [Figura. Notación multiplicatoria] para la descripción de la imagen.

Pulse en [Figura. Notación diferencia] para la descripción de la imagen.

Pulse en [Figura. Notación ratio o proporción] para la descripción de la imagen.

El empleo de operadores generalizados no elimina el significado físico de las operaciones, sino que lo condensa en una forma simbólica más eficiente. De este modo, el álgebra se convierte en una herramienta que no solo calcula, sino que también organiza y comunica relaciones entre parámetros físicos de manera clara, coherente y operativamente manejable.

Otros símbolos especiales

Además de los símbolos empleados para módulos, escalares con sentido y vectores, y de los operadores generales básicos —sumatoria, multiplicatoria, diferencia y ratio—, en este curso se utilizará un conjunto de símbolos especiales asociados que, de hecho, ya han aparecido implícitamente en las definiciones anteriores. Estos símbolos no representan nuevas magnitudes ni operaciones, sino que cumplen la función de precisar significado, evitar ambigüedades y compactar el lenguaje algebraico sin perder información física o química relevante.

Subíndices o paréntesis

 Los subíndices o paréntesis de identidad se utilizan para identificar con precisión el objeto, sistema o componente al que pertenece una magnitud medida. Estas marcas permiten distinguir entre cantidades físicamente semejantes pero asociadas a identidades diferentes, como individuos, especies químicas, fases o compartimentos. Para identidades generales se emplean letras como i, j, k, que representan elementos arbitrarios de un conjunto. Cuando se trata de una identidad total, esta puede omitirse y dejar el símbolo sin marca, o bien indicarse explícitamente mediante un código como tot, según lo requiera la claridad del contexto.

La identidad no altera el valor numérico del parámetro, pero sí condiciona su interpretación física o química. Por esta razón, su correcta indicación resulta esencial cuando se comparan, suman o relacionan magnitudes provenientes de sustancias distintas. El uso de subíndices o paréntesis evita ambigüedades sin necesidad de introducir nuevos símbolos, manteniendo la economía y coherencia del lenguaje algebraico. Esta estrategia permite construir expresiones generales que siguen siendo legibles aun cuando intervienen múltiples identidades simultáneamente.

En física, las marcas de identidad suelen ser menos relevantes, ya que muchas expresiones se formulan para sistemas idealizados o genéricos, y las relaciones algebraicas se presentan en formas despejadas y elegantes que prescinden de referencias explícitas al objeto. En cambio, en química la identidad es fundamental para la mayoría de los parámetros medidos, pues las magnitudes dependen directamente de la especie química, del reactivo, del producto o de la fase considerada. En este contexto, omitir la identidad puede conducir a interpretaciones incorrectas. Por ello, el uso sistemático de subíndices y paréntesis de identidad constituye una herramienta central para garantizar rigor conceptual y claridad en la descripción de procesos químicos.

Los subíndices no solo almacenan la identidad o las marcas de estado temporal; como se verá en la sección siguiente, también pueden contener información adicional relevante para la interpretación de una medición. Entre estos datos se incluyen los parámetros de las condiciones experimentales bajo las cuales se realiza la medida, como la temperatura, la presión o la presencia de radiación ultravioleta, entre otros.

Esto es especialmente importante porque numerosas propiedades fisicoquímicas solo pueden medirse o compararse de manera significativa cuando se evalúan bajo condiciones fijas, es decir, aquellas para las cuales una teoría establece valores bien definidos. En química, muchas magnitudes no son intrínsecas al sistema, sino que dependen de las condiciones externas que deben mantenerse constantes para que el resultado tenga sentido físico.

Por esta razón, en la práctica química es común definir teóricamente las condiciones fijas antes de realizar el análisis, de modo que no sea necesario sobrecargar la notación con múltiples subíndices o paréntesis explicativos. Esta estrategia permite conservar la claridad y la economía del lenguaje simbólico, al tiempo que se garantiza que las magnitudes representadas se interpretan siempre dentro del marco experimental adecuado.

Índices de estado temporal

El tiempo es un concepto complejo de definir, pero para efectos operativos puede distinguirse en dos formas principales: tiempo continuo y tiempo discreto o de estado. Un estado continuo corresponde a situaciones en las que una magnitud puede conocerse para todo instante, como ocurre cuando se mide la evolución de un sistema de manera permanente. En estos casos, además de la identidad del objeto o sistema, el parámetro incorpora una marca temporal que indica el instante de medición y que se sustituye por el valor concreto del tiempo asociado a cada observación.

Cuando la medición no es continua, sino que se realiza en dos puntos discretos, no se utiliza la marca temporal continua, sino marcas de estado. En este esquema, el estado inicial se identifica mediante un subíndice cero, mientras que el estado final se representa sin marca adicional. Este tratamiento corresponde a un estado discreto, típico de las llamadas variables de estado, en las que solo interesan las condiciones iniciales y finales del sistema, y no su evolución intermedia.

En el caso particular en que el estado inicial no provenga de una medición experimental directa, sino de una fuente tabulada o estandarizada, la marca cero deja de representarse como subíndice y pasa a utilizarse como superíndice. Con ello se indica que el valor corresponde a una condición de referencia y no a un estado medido del sistema. En esta situación, el módulo adquiere el calificativo de estándar, como en \(P^o\) para la presión estándar de [Tabla de presiones de vapor para el agua], lo que permite distinguir con claridad entre valores experimentales y valores de referencia dentro del lenguaje simbólico.

Diferencial

Un diferencial surge como una evolución de la notación diferencia, llevada al límite de lo infinitamente pequeño. Para ilustrarlo, consideremos un corredor que se desplaza por un carril, no observado directamente, sino a través de una grabación en la que es posible manipular el tiempo de visualización. La rapidez de su desplazamiento puede describirse inicialmente como la diferencia de posición dividida entre la diferencia de tiempo. Sin embargo, a medida que se reduce el intervalo temporal de observación, el movimiento del corredor parece cada vez más lento, hasta el punto en que, al congelar la imagen, su posición aparenta no cambiar.

Sabemos, no obstante, que el corredor nunca se detuvo en la realidad y que, incluso en ese instante congelado, poseía una rapidez bien definida. Esta rapidez recibe el nombre de rapidez instantánea y se obtiene al considerar la diferencia más pequeña posible de posición dividida entre la diferencia más pequeña posible de tiempo. En este contexto, el cambio ya no se interpreta como una variación entre dos estados separados, sino como una descripción local del comportamiento del sistema en un instante preciso.

La diferencia más pequeña posible recibe el nombre de diferencial, y su símbolo evoluciona del delta mayúsculo \(\Delta\), utilizado para diferencias finitas, al delta minúsculo \(\delta\), que indica cambios infinitesimales. El tratamiento formal de estas cantidades no se realiza mediante álgebra elemental, sino a través de un conjunto de reglas y procedimientos específicos. El estudio sistemático de estas operaciones constituye el núcleo del cálculo diferencial, disciplina que se aborda de manera rigurosa en los cursos de matemáticas y que proporciona las herramientas necesarias para analizar procesos continuos con precisión.

La mayoría de los fenómenos químicos iniciales se estudian en un marco de tiempo discreto, discontinuo y finito, por lo que no será necesario, en esta etapa, conocer ni aplicar técnicas diferenciales. En estos casos, el análisis se centra en estados bien definidos y en cambios medidos entre condiciones iniciales y finales, lo que resulta suficiente para describir adecuadamente los procesos involucrados.

No obstante, es importante reconocer que este enfoque tiene un alcance limitado. A medida que se avanza en el estudio de la química, y en particular al abordar el capítulo de cinética química, será imprescindible introducir y comprender los conceptos fundamentales del cálculo diferencial, ya que la velocidad de reacción y la evolución temporal de los sistemas químicos requieren una descripción continua del tiempo y de los cambios asociados.

Análisis dimensional

El análisis dimensional constituye la constatación del axioma de igualdad matemática, según el cual, si \( a = b \) y tanto \( a \) como \( b \) están definidos por dirección, sentido, valor, unidad e identidad, entonces cada uno de estos componentes debe ser necesariamente igual en ambos miembros. Con independencia de la técnica empleada —ya sea álgebra simbólica o factor marcado—, la conservación dimensional es imprescindible para que una igualdad tenga sentido físico. No obstante, existen diferencias importantes entre ambos enfoques.

En el álgebra simbólica, resulta fundamental reconocer que cada parámetro físico solo admite un conjunto específico de unidades propias, definidas por el sistema de medición utilizado. Por ejemplo, la masa puede expresarse en kilogramos dentro del Sistema Internacional o en libras avoirdupois en el sistema imperial, así como en sus múltiplos y submúltiplos correspondientes, pero no puede expresarse en unidades asociadas a parámetros distintos. Una masa no puede medirse en litros. El análisis dimensional debe, por tanto, verificar que la variable dependiente se exprese en las unidades correctas, lo cual se comprueba mediante cancelaciones algebraicas simples.

En el factor marcado, el proceso resulta más directo, ya que al no emplearse símbolos paramétricos, la igualdad dimensional se hace evidente de manera inmediata. Sin embargo, este enfoque presenta limitaciones importantes: la presencia explícita de la identidad dificulta la escritura de ratios o proporciones, y genera bloqueos en operaciones como las sumas, aspecto que se analizará en secciones posteriores. Por ahora, es fundamental retener que la igualdad en los sistemas físicos no involucra únicamente el valor absoluto, sino todos los componentes de una medición, los cuales deben ser coherentes para que la expresión sea físicamente válida.

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