Derivaremos una ecuación que permita calcular la presión
total y la cantidad de sustancia total al mezclar dos o más gases
contenidos en recipientes de distinto volumen y presión. Para ello, emplearemos
una extensión de la ley de Dalton de presiones parciales, aplicada
directamente a la ecuación de estado de los gases ideales. Como primer
paso, supondremos que los gases mezclados se comportan colectivamente como un único
gas ideal, lo cual implica que propiedades macroscópicas como la presión
o el volumen son independientes de la identidad individual de cada
componente. Bajo esta premisa, asumimos que la cantidad de sustancia total,
denotada por n, es simplemente la suma de las cantidades de sustancia
parciales ni correspondientes
a cada gas componente. Esta suposición es válida siempre que las interacciones
entre las moléculas sean despreciables, lo que justifica el modelo ideal y
simplifica el tratamiento matemático del sistema.
n=Σni(1)
A continuación, aclararemos que las cantidades
de sustancia parciales corresponden al estado inicial del sistema,
es decir, antes de que ocurra la mezcla. En cambio, la cantidad de sustancia
total hace referencia al estado final, una vez que los gases han
sido combinados. Por ello, todas las cantidades incluidas en la suma deben
llevar el subíndice cero o inicial, para indicar que se trata de
valores previos a la mezcla.
n=Σnoi(2)
El teorema anterior, aunque de
formulación sencilla, representa en realidad la interpretación de un diseño
experimental concreto. Al inicio, cada gas con identidad propia
—identificado por un subíndice i-ésimo— se encuentra aislado en su
respectivo contenedor, caracterizado por sus propiedades individuales
como presión, volumen y temperatura. Sin embargo, al abrir las válvulas que los
separan, estos gases se mezclan libremente, dando lugar a un sistema
único cuyas propiedades deben describirse de manera colectiva, bajo el
modelo de un gas ideal total o mezcla.
Una vez comprendida esta transición del
estado aislado al estado mezclado, el siguiente paso es aplicar la ecuación
de estado del gas ideal para el sistema completo. Al hacerlo, se
procede a despejar la cantidad de sustancia total, la cual resulta ser
la suma de las cantidades parciales iniciales. Esta formulación permite
vincular directamente los parámetros experimentales con las propiedades
macroscópicas del gas mezcla.
n=P⋅VR⋅T(3)
Combinamos las ecuaciones
2 y 3 bajo el presupuesto de que tanto la temperatura parcial
inicial como la temperatura de equilibrio son constantes e
iguales a la temperatura ambiente. Esta suposición simplifica el
análisis, permitiendo que las variables de presión y volumen sean
las únicas que varían, facilitando así la integración de ambas ecuaciones en un
modelo coherente para describir la mezcla de gases.
P⋅VR⋅T=∑(Poi⋅VoiR⋅T)(4)
Extraemos los factores
comunes constantes de la ecuación anterior, que son la constante de Regnault
y la temperatura ambiente.
P⋅VR⋅T=Σ(Poi⋅Voi)R⋅T(5)
Al hacerlo, notamos que
estos factores también aparecen del otro lado de la igualdad realizando la
misma operación, por lo que pueden ser cancelados directamente. Lo que queda es
una expresión que recuerda a la ley de Boyle, pero en lugar de aplicarse
a un solo estado inicial de presión y volumen, se aplica a la suma de los
estados parciales de presión y volumen
P⋅V=Σ(Poi⋅Voi)(5)
En este caso, conocemos los volúmenes parciales de
cada contenedor inicial y, al sumarlos, obtenemos aproximadamente el volumen
de equilibrio o final, despreciando los volúmenes de las mangueras o
conductos de conexión.
P⋅ΣVoi=Σ(Poi⋅Voi)(6)
Por lo tanto, podemos expresar la presión final del
gas ideal en función de las presiones y volúmenes iniciales de cada gas
P=Σ(Poi⋅Voi)ΣVoi(7)
La fórmula resultante puede verse de forma mas didáctica en el siguiente enlace junto con su factor de conversión homólogo.
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