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martes, 20 de mayo de 2025

Demostración. Mezcla de gases en contenedores aislados

Derivaremos una ecuación que permita calcular la presión total y la cantidad de sustancia total al mezclar dos o más gases contenidos en recipientes de distinto volumen y presión. Para ello, emplearemos una extensión de la ley de Dalton de presiones parciales, aplicada directamente a la ecuación de estado de los gases ideales. Como primer paso, supondremos que los gases mezclados se comportan colectivamente como un único gas ideal, lo cual implica que propiedades macroscópicas como la presión o el volumen son independientes de la identidad individual de cada componente. Bajo esta premisa, asumimos que la cantidad de sustancia total, denotada por n, es simplemente la suma de las cantidades de sustancia parciales ni correspondientes a cada gas componente. Esta suposición es válida siempre que las interacciones entre las moléculas sean despreciables, lo que justifica el modelo ideal y simplifica el tratamiento matemático del sistema.

n=Σni(1)

A continuación, aclararemos que las cantidades de sustancia parciales corresponden al estado inicial del sistema, es decir, antes de que ocurra la mezcla. En cambio, la cantidad de sustancia total hace referencia al estado final, una vez que los gases han sido combinados. Por ello, todas las cantidades incluidas en la suma deben llevar el subíndice cero o inicial, para indicar que se trata de valores previos a la mezcla.

n=Σnoi(2)

El teorema anterior, aunque de formulación sencilla, representa en realidad la interpretación de un diseño experimental concreto. Al inicio, cada gas con identidad propia —identificado por un subíndice i-ésimo— se encuentra aislado en su respectivo contenedor, caracterizado por sus propiedades individuales como presión, volumen y temperatura. Sin embargo, al abrir las válvulas que los separan, estos gases se mezclan libremente, dando lugar a un sistema único cuyas propiedades deben describirse de manera colectiva, bajo el modelo de un gas ideal total o mezcla.

Una vez comprendida esta transición del estado aislado al estado mezclado, el siguiente paso es aplicar la ecuación de estado del gas ideal para el sistema completo. Al hacerlo, se procede a despejar la cantidad de sustancia total, la cual resulta ser la suma de las cantidades parciales iniciales. Esta formulación permite vincular directamente los parámetros experimentales con las propiedades macroscópicas del gas mezcla.

n=PVRT(3)

Combinamos las ecuaciones 2 y 3 bajo el presupuesto de que tanto la temperatura parcial inicial como la temperatura de equilibrio son constantes e iguales a la temperatura ambiente. Esta suposición simplifica el análisis, permitiendo que las variables de presión y volumen sean las únicas que varían, facilitando así la integración de ambas ecuaciones en un modelo coherente para describir la mezcla de gases.

PVRT=(PoiVoiRT)(4)

Extraemos los factores comunes constantes de la ecuación anterior, que son la constante de Regnault y la temperatura ambiente.

PVRT=Σ(PoiVoi)RT(5)

Al hacerlo, notamos que estos factores también aparecen del otro lado de la igualdad realizando la misma operación, por lo que pueden ser cancelados directamente. Lo que queda es una expresión que recuerda a la ley de Boyle, pero en lugar de aplicarse a un solo estado inicial de presión y volumen, se aplica a la suma de los estados parciales de presión y volumen

PV=Σ(PoiVoi)(5)

En este caso, conocemos los volúmenes parciales de cada contenedor inicial y, al sumarlos, obtenemos aproximadamente el volumen de equilibrio o final, despreciando los volúmenes de las mangueras o conductos de conexión.

PΣVoi=Σ(PoiVoi)(6)

Por lo tanto, podemos expresar la presión final del gas ideal en función de las presiones y volúmenes iniciales de cada gas

P=Σ(PoiVoi)ΣVoi(7)

La fórmula resultante puede verse de forma mas didáctica en el siguiente enlace junto con su factor de conversión homólogo.

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