Demostración. Cambio de energía interna de una reacción de gases a presión constante

En este caso, demostraremos un teorema directo para calcular el cambio de energía interna de un sistema como función del avance de una reacción química. Esta reacción afecta simultáneamente dos parámetros: el trabajo realizado por los gases y el calor liberado o absorbido por la propia transformación química. Aunque es posible analizar estos efectos por separado, resulta valioso unificarlos en una sola expresión, ya que, en última instancia, es el grado de avance de la reacción el que impulsa ambos fenómenos de manera conjunta.

Primero usaremos la entalpía como función de cantidad de reacción dado en la (Ecuación 1 de esta demostración)

\[\Delta H = \Delta H^o \cdot \xi \tag{1} \]

Luego también invocaremos el trabajo como función de una cantidad de reacción de gases en la (Ecuación 12 de esta demostración).

\[W = - R \cdot T \cdot \xi \cdot \Sigma \overset{\rightharpoonup }{\nu}_{gas} \tag{2}\]

Y obviamente necesitamos la primera ley de la termodinámica para los alrededores.

\[\Delta U = \overset{\rightharpoonup }{Q}+\overset{\rightharpoonup }{W} \tag{3} \]

Sabiendo que a presión constante el calor es igual a la entalpía.

\[\Delta H = \overset{\rightharpoonup }{Q} \tag{4} \]

Igualamos (3) con (4).

\[\Delta U = \Delta H +\overset{\rightharpoonup }{W} \tag{5} \]

Luego (5) con (1) y (2)

\[\Delta U = \Delta H^o \cdot \xi - R \cdot T \cdot \xi \cdot \Sigma \overset{\rightharpoonup }{\nu}_{gas}\tag{6} \]

Sacamos factor común.

\[\Delta U = \xi \,(\Delta H^o - R \cdot T \cdot \Sigma \overset{\rightharpoonup }{\nu}_{gas}) \tag{7} \]

Finalmente, lo único que queda por determinar es la cantidad de reacción que se lleva a cabo. Para esto, utilizaremos precisamente el modelo de la figura dada, que representa una situación con un metal sólido reaccionando. Por lo tanto, invocaremos la cantidad de reacción como una función de la masa del reactivo sólido consumido.

\[\xi =\frac{n_i}{\nu_i} \tag{8}\]

\[\xi =\frac{m_i}{\nu_i \cdot M_i} \tag{9}\]

Y combinamos para obtener el teorema final.

\[\Delta U = \frac{n_i}{\nu_i} \, \left( \Delta H^o - R \cdot T \cdot \Sigma \overset{\rightharpoonup }{\nu}_{gas} \right) \tag{10} \]

\[\Delta U = \frac{m_i}{\nu_i \cdot M_i} \, \left( \Delta H^o - R \cdot T \cdot \Sigma \overset{\rightharpoonup }{\nu}_{gas} \right) \tag{11} \]

Las ecuaciones (10) en términos de la masa y (11) en términos de la masa pueden verse en los enlaces respectivos, junto con sus factores de conversión homólogos.

Obsérvese que, en un sentido más profundo, esto implica la existencia del concepto de cambio de energía interna de reacción estándar, ya que todos los términos dentro del paréntesis permanecen constantes bajo dichas condiciones. Entendemos por reacción estándar aquella en la que las cantidades de sustancia corresponden exactamente a los coeficientes estequiométricos de la ecuación química, es decir, los moles utilizados coinciden con la proporción macroscópica establecida por la ecuación balanceada.

\[\Delta U^o = \Delta H^o - R \cdot T \cdot \Sigma \overset{\rightharpoonup }{\nu}_{gas} \tag{12} \]

En consecuencia, el cambio de energía interna de una reacción puede entenderse como una función lineal de su cambio de energía estándar, multiplicada por la cantidad de reacción.

\[\Delta U = \Delta U^o \cdot \xi \tag{13} \]