Teorema. Trabajo de una reacción química de gases

Nuestro objetivo es encontrar una función que permita calcular el trabajo realizado por una reacción química que involucra gases.

Invocaremos el axioma de cantidad de reacción.

$$n_i =\xi \cdot \nu_i \tag{1}$$

Para este análisis, asumiremos que todas las sustancias relevantes, tanto reactivos como productos, son gaseosas. Cualquier reactivo o producto en estado no gaseoso será considerado irrelevante para el cálculo del trabajo de expansión/compresión. Con esto en mente, nuestro primer paso es determinar la diferencia neta en la cantidad de sustancia gaseosa que se produce durante la reacción. Para lograrlo, primero calcularemos la cantidad total de moles de reactivos gaseosos que participan en la reacción.

Del lado de los reactivos, que serían los gases iniciales

$$n_o =\xi \cdot \Sigma \nu_r \tag{2}$$

Del lado de los productos, que serían los finales.

$$n =\xi \cdot \Sigma \nu_p \tag{3}$$

La diferencia de cantidad de sustancia estaría dada por:

$$\Delta n =\xi \cdot \Sigma \nu_p - \xi \cdot \Sigma \nu_r \tag{4}$$

Sacamos factor común.

$$\Delta n =\xi ( \Sigma \nu_p -\Sigma \nu_r ) \tag{5}$$

La diferencia entre la suma de los números estequiométricos de los productos y la suma de los números estequiométricos de los reactantes puede simplificarse considerablemente. Esto se logra si asumimos que el número estequiométrico de cada sustancia es un cuasivector con una "dirección química": negativa para los reactantes (ya que se consumen) y positiva para los productos (ya que se forman). Esta convención nos permite comprimir la expresión y, además, indicar explícitamente que los números en cuestión corresponden únicamente a las sustancias en estado gaseoso.

$$\Delta n =\xi \cdot \Sigma \overset{\rightharpoonup }{\nu}_{gas} \tag{6}$$

Ahora que ya hemos determinado la cantidad neta de gas que cambia durante la reacción, el siguiente paso es sencillo: simplemente necesitamos invocar la ley de los gases ideales definida para el sistema.

$$P \cdot V = n \cdot R \cdot T \tag{7}$$

Despejamos el volumen y expresamos la ecuación de forma elegante. Adicionalmente, dado que ahora tenemos el cambio de volumen como función del cambio en la cantidad de sustancia gaseosa, podemos modificar la ecuación de estado para modelar esta relación. Esto lo logramos simplemente agregando los "deltas" (∆) a esos dos parámetros clave, asumiendo que la presión y la temperatura permanecen constantes durante el proceso.

$$\Delta V = R \cdot \frac{T}{P} \cdot \Delta n \tag{8}$$

Reemplazamos (6) en (8)

$$\Delta V = R \cdot \frac{T}{P} \cdot \xi \cdot \Sigma \overset{\rightharpoonup }{\nu}_{gas} \tag{9}$$

El teorema anterior nos ha permitido representar al reactor como un sistema capaz de intercambiar energía mediante trabajo. Ahora invocamos el teorema del trabajo del pistón móvil para modelar la conexión entre el reactor y el manómetro, en la que el pistón actúa como mecanismo de medición, transformando la presión interna del sistema en un desplazamiento mecánico observable.

$$W = - P \cdot \Delta V \tag{10}$$

Y combinamos esto asumiendo el estado de equilibrio, es decir, el momento en que el sistema se detiene.

$$W = - P \cdot R \cdot \frac{T}{P} \cdot \xi \cdot \Sigma \overset{\rightharpoonup }{\nu}_{gas} \tag{11}$$

Esto significa que la presión interna del sistema se iguala a la presión externa, cesando todo movimiento o cambio de volumen, lo cual nos permite cancelar presiones.

$$W = - R \cdot T \cdot \xi \cdot \Sigma \overset{\rightharpoonup }{\nu}_{gas} \tag{12}$$

Finalmente, lo único que queda por determinar es la cantidad de reacción que se lleva a cabo. Para esto, utilizaremos precisamente el modelo de la figura dada, que representa una situación con un metal sólido reaccionando. Por lo tanto, invocaremos la cantidad de reacción como una función de la masa del reactivo sólido consumido.

$$\xi =\frac{m_i}{\nu_i \cdot M_i} \tag{13}$$

Y combinamos para obtener el teorema final.

$$W = - R \cdot \frac{T}{\nu_i} \cdot \frac{m_i}{M_i} \cdot \Sigma \overset{\rightharpoonup }{\nu}_{gas} \tag{14}$$

Este es el teorema del trabajo de una reacción química de gases, que puede verse desplegada en su versión didáctica junto con su factor de conversión homólogo en el siguiente enlace.