La ecuación de estado combinada

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La ecuación de estado del gas ideal esconde una gran cantidad de secretos, muchos de los cuales son extremadamente útiles, especialmente cuando se analizan los cambios de estado. Con "cambio de estado" no nos referimos a que el gas pase de su fase gaseosa a otra, sino a que alguno de sus parámetros cambia entre un estado inicial y uno final, lo cual afecta a uno o más de los otros parámetros. Esta estrategia también resulta útil para estudiar el comportamiento de los gases en mezclas, a través de la generación de razones o cocientes matemáticos, lo que nos permitirá analizar más a fondo en lo que sigue.

Formas de cambios de estado

La ecuación de estado combinada surge al dividir la ecuación de estado del gas ideal aplicada a dos estados diferentes del mismo sistema. Al hacerlo, la constante R se cancela, ya que permanece constante para un mismo gas. Esto nos permite obtener una relación directa entre las variables de estado inicial y final sin necesidad de una demostración matemática más elaborada que este razonamiento. Así, se establece un teorema práctico basado únicamente en el uso lógico de la ecuación original.

Figura 1. Ecuación de estado combinada de un gas para un estado final y un estado inicial.

También podemos proponer formas homólogas para la ecuación de estado en términos de la masa. En este caso la masa molar corresponde a una misma sustancia y por ende es constante y se cancela.

Figura 2. Ecuación de estado combinada en términos de la masa.

Y del mismo modo para la ecuación de estado en términos de la densidad.

Figura 3. Ecuación de estado combinada en términos de la masa.

Mezcla de gases

Aplicamos la misma estrategia cuando trabajamos con mezclas de gases. En este caso, en lugar de dividir entre el estado inicial, lo hacemos entre los parámetros del gas ideal correspondientes a la totalidad de la mezcla. Al realizar esta operación, observamos que surgen ciertos ratios importantes. Una de las características clave es que la temperatura total del sistema permanece constante tanto para el gas individual como para la mezcla, lo que provoca que este parámetro se cancele en los cálculos. Hasta este punto, el procedimiento es similar al aplicado en otras situaciones. Sin embargo, surge una dificultad importante relacionada con el factor de conversión: las unidades no se cancelan como antes, ya que estamos comparando identidades distintas. La única forma de resolver esto es considerar la identidad parcial como ideal, o bien introducir una constante correctiva. En ambos casos, el análisis se vuelve más complejo. Este es un problema serio, ya que los cocientes que aparecen aquí —como la fracción molar, definida como el cociente entre la cantidad de sustancia de un componente y la cantidad total del sistema— son de uso común en etapas posteriores. Por eso, los factores de conversión, lejos de simplificar, pueden complicar el análisis dimensional. En nuestro caso, optaremos por dejar todos los parámetros sin identidad explícita, integrando las unidades dentro del paréntesis, y resolviendo el análisis dimensional a posteriori, al final del cálculo. Aunque este método no es el más elegante, reduce significativamente los problemas de coherencia dimensional.

Figura 4. Ecuación de estado combinada para una mezcla de gases.

El teorema anterior, sin embargo, nos permite derivar tres relaciones fundamentales en el comportamiento de mezclas de gases. La primera es la fracción de volumen de un gas, definida como el cociente entre el volumen parcial del gas y el volumen total de la mezcla. La segunda es la fracción molar, que se obtiene al dividir la cantidad de sustancia (en moles) del gas entre la cantidad total de sustancia del sistema. Finalmente, en condiciones de presión constante, estas dos fracciones resultan ser iguales entre sí, lo que nos proporciona una herramienta poderosa para el análisis cuantitativo de mezclas gaseosas.

Figura 5. Definiciones de la fracción de volumen $\phi$, la racción molar $\chi$, y sus relaciones a presión constante y volumen constante.

Referencias

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