Demostración. Teoremas de la presión osmótica

Como vimos en la parte teórica, el teorema más importante para calcular la presión osmótica es el del lado de referencia. Este es un punto de vista arbitrario que se elige como el origen de la presión positiva, por ejemplo, el interior de una célula o la dirección hacia la derecha en un modelo esquemático.

Sea cual sea la situación, modelaremos dicho lado como si se tratara de un gas ideal, donde las partículas de soluto generan una presión. Estas partículas dependen tanto de la cantidad de la sustancia (sus moles) como de su ionización (es decir, cuántas entidades efectivas genera en la disolución). Por lo tanto, podemos afirmar que la presión osmótica de una disolución ideal es equivalente a la presión que ejercería el soluto si fuera un gas ideal, multiplicada por su factor de Van't Hoff (i). Este factor corrige por la disociación del soluto, asegurando que se contabilicen todas las partículas disueltas que contribuyen a la presión osmótica

$$\Pi_i = \mathscr{i}_i \cdot P_i \tag{1}$$

Al igual que en otros escenarios de propiedades coligativas y su relación con la Ley de Henry, es fundamental emplear el modelo del gas ideal,

$$P_i \cdot V_i = n_i \cdot R \cdot T \tag{2}$$

Pero con una suposición clave: que la concentración del gas en la fase gaseosa es igual a la concentración de la sustancia en la fase líquida (la disolución).

$$P_i = \frac{n_i}{ V_i } \cdot R \cdot T \tag{3}$$

$$P_i = \frac{n_i}{ V } \cdot R \cdot T \tag{4}$$

$$P_i = c_i \cdot R \cdot T \tag{5}$$

Este presupuesto, o asunción fundamental, se basa en la idea de que estamos trabajando con disoluciones ideales. En una disolución ideal, las interacciones entre las moléculas del soluto y el solvente son similares a las interacciones entre las moléculas del solvente puro, lo que permite simplificar el comportamiento del sistema y aplicar estas leyes de forma efectiva

Ahora al reemplazar en 1 obtenemos.

$$\Pi_i = R \cdot T \cdot \mathscr{i}_i \cdot c_i \tag{6}$$

Si desplegáramos el teorema anterior para la definición de molaridad como función de la masa obtendremos el teorema para calcular la presión osmótica desde la masa.

$$\Pi_i = R \cdot T \cdot \frac{\mathscr{i}_i}{V} \cdot \frac{m_i}{M_i} \tag{7}$$

Ahora bien. Observemos que el cociente masa sobre masa molar (conclusión que se desprende de su axioma) es cantidad de sustancia:

$$\Pi_i = R \cdot T \cdot \frac{\mathscr{i}_i}{V} \cdot n_i \tag{8}$$

Y el producto del factor de vant´t Hoff y la cantidad de sustancia es la cantidad de sustancia efectiva.

$$\Pi_i = R \cdot T \cdot \frac{n_{ef,i}}{V} \tag{9}$$

Por ende, podemos definir el parámetro concentración molar efectiva de un soluto.

$$c_{ef,i} = \frac{n_{ef,i}}{V} = \mathscr{i}_i \cdot\frac{n_{i}}{V}  \tag{10}$$

$$\Pi_i = R \cdot T \cdot c_{ef,i} \tag{11}$$

Esto nos permite en teoría generalizar el teorema anterior a una situación en la cual nuestro lado de referencia tenga más de un soluto.

$$c_{ef} =\Sigma c_{ef,i}  = \frac{\Sigma n_{ef,i}}{V} = \frac{\Sigma (\mathscr{i}_i\cdot n_i)}{V} =$$ $$= \frac{1}{V} \sum \left( \mathscr{i}_i \cdot\frac{m_{i}}{M_i} \right) \tag{12}$$

$$\Pi = R \cdot T \cdot c_{ef} \tag{13}$$

Con lo que obtenemos un teorema que si representa la idea fundamental de las propiedades coligativas, su indiferencia a la identidad del soluto, sino que dependen de la cantidad neta de entidades en la mezcla, de allí que la molaridad total efectiva sería la cantidad total de partículas en el equilibrio sobre el volumen de equilibrio.

Los teoremas obtenidos aquí se resumen en:

1- La concentración efectiva (Enlace).

2- Presión osmótica neta (Enlace).

3- Presión osmótica de un solo soluto (Enlace).

4- Presión osmótica de un soluto como función de su masa (Enlace).