Demostración. Ley de volúmenes de combinación

Los volúmenes de combinación constituyen el primer teorema estequiométrico que abordaremos en este curso. Recordemos que la estequiometría estudia las relaciones cuantitativas entre reactivos, productos, energía y carga en una reacción química. En esta sección, nos enfocaremos en la forma estática de esta ley, como ocurre con otras leyes empíricas. Dado que Gay-Lussac trabajó con gases que reaccionaban bajo condiciones constantes de presión y temperatura, y que tanto los reactivos como los productos se mantenían en el estado gaseoso bajo esas mismas condiciones, es posible aplicar directamente la ley de Avogadro para fundamentar esta relación.

\[ V_i = V_m \cdot n_i \quad (1) \]

Dado que una reacción química, en el contexto de la ley de volúmenes de combinación, se formula en términos de volúmenes estándar, la cantidad de sustancia involucrada también debe considerarse un valor estándar. Por ello, reescribimos la ley de Avogadro señalando explícitamente que tanto el volumen como la cantidad de sustancia son valores estándar. En este marco, es común que el volumen estándar de un gas sea numéricamente igual a su número estequiométrico, aunque expresado en unidades distintas: volumen en litros (o mililitros) y cantidad de sustancia en moles. Esta correspondencia facilita los cálculos estequiométricos, permitiendo interpretar directamente las proporciones de la reacción sin necesidad de convertir unidades adicionales.

\[ V_i^o = V_m \cdot n_i^o \quad (2) \]

Lo que haremos a continuación es definir los números estequiométricos como representaciones de cantidades de sustancia estándar. Para que esto sea evidente, definiremos dicha cantidad estándar como el producto entre el número estequiométrico \(\nu_i\) y una constante de cantidad \(n_u\) igual a exactamente 1 mol. Así, si un gas tiene un número estequiométrico de 2, su cantidad de sustancia estándar será exactamente 2 mol.

\[ n_i^o = \nu_i \cdot n_u \quad (3) \]

Al sustituir la cantidad de sustancia estándar en una ecuación de gases, obtendremos el volumen estándar de combinación, es decir, el volumen que ocupa una cantidad de gas igual a su número estequiométrico multiplicado por un mol, bajo condiciones constantes de temperatura y presión.

\[ V_i^o = V_m \cdot \nu_i \cdot n_u \quad (4) \]

Ahora definiremos la misma fórmula, pero aplicada a un segundo gas cualquiera, al que llamaremos gas \(j\). De este modo, su cantidad de sustancia estándar será:

\[ V_j^o = V_m \cdot \nu_j \cdot n_u \quad (5) \]

Que ocupa esa cantidad bajo las mismas condiciones de temperatura y presión. Entonces, al dividir el volumen estándar de combinación del gas \(i\) entre el del gas \(j\), ambas constantes —el volumen molar y la cantidad estándar definida como 1 mol— se anulan, ya que están presentes en ambos términos.

\[ \frac{V_i^o}{V_j^o} = \frac{V_m}{V_m} \cdot \frac{\nu_i}{\nu_j} \cdot \frac{n_u}{n_u} \quad (6) \]

Como resultado, lo único que queda es la razón entre los números estequiométricos de cada gas.

\[ \frac{V_i^o}{V_j^o} = \frac{\nu_i}{\nu_j} \quad (7) \]

Podemos afirmar que, por regla de tres, la proporción entre volúmenes estándar de combinación es equivalente a la proporción entre cualquier volumen medido en condiciones constantes de temperatura y presión.

\[ \frac{V_i^o}{V_j^o} = \frac{V_i}{V_j} \quad (8) \]

Esto se debe a que los volúmenes estándar son simplemente múltiplos de una constante universal conocida como volumen molar, cuyo valor es 22.41 L a condiciones normales. Aunque en el laboratorio rara vez trabajamos con volúmenes tan grandes —y solemos emplear litros o incluso mililitros—, la relación entre los volúmenes experimentales sigue siendo proporcional a la relación entre los volúmenes estándar, ya que todos se escalan por la misma constante. Así, la ley de volúmenes de combinación mantiene su validez práctica independientemente de las unidades utilizadas.

\[ \frac{V_i}{V_j} = \frac{\nu_i}{\nu_j} \quad (9) \]

Por ende, al sustituir la razón entre volúmenes en la ley de volúmenes de combinación, obtenemos una forma simplificada en la que la proporción entre volúmenes de gases en una reacción química coincide exactamente con la proporción entre sus números estequiométricos. El cociente estequiométrico aparece con frecuencia en numerosos teoremas posteriores:

\[ \frac{\nu_i}{\nu_j} \quad (10) \]

y, dado que su notación completa puede resultar engorrosa, adoptaremos una forma ad hoc más concisa para representarlo:

\[ \nu_{(i\backslash j)} = \frac{\nu_i}{\nu_j} \quad (11) \]

El cociente estequiométrico es común en muchos teoremas posteriores, y su notación completa puede resultar engorrosa. Por ello, lo expresaremos de manera más práctica usando la notación \(i/j\), donde "i" y "j" representan los parámetros involucrados en el cociente. En el texto de Word, utilizaremos "/" para evitar que el editor de ecuaciones lo convierta en una fracción explícita, lo cual podría distorsionar la forma del teorema. Este parámetro lo denominaremos "magnitud del cociente estequiométrico" \(\nu_{(i\backslash j)}\), ya que se calcula utilizando las magnitudes de los números estequiométricos \(\nu_i\), es decir, siempre valores positivos.

De esta manera, podemos escribir una forma más sencilla de la ley de los volúmenes de combinación: el volumen de un gas incógnita, ya sea producto o reactante, es igual a la magnitud del cociente estequiométrico multiplicado por el volumen de combinación de un gas \(j\) conocido como reactivo.

\[ V_i = \frac{\nu_i}{\nu_j} \cdot V_j \quad (12) \] \[ V_i = \nu_{(i\backslash j)} \cdot V_j \quad (13) \]

La ventaja del teorema resultante es que nos permite observar la linealidad del proceso estequiométrico. El volumen del gas desconocido depende de la magnitud del ratio estequiométrico, que es una constante, multiplicada por el volumen del gas conocido. Por lo tanto, a medida que aumenta la cantidad de gas conocido, también aumentará proporcionalmente el volumen del gas desconocido que necesitamos calcular.

Al dividir el teorema entre sí mismo, pero para el momento inicial, podremos calcular los volúmenes finales en términos de un par de volúmenes iniciales o estándar en otro experimento. Esto nos permite hacer comparaciones directas entre distintos estados del sistema y predecir cómo cambiarán los volúmenes en función de las condiciones iniciales, manteniendo la relación entre ellos de manera coherente.

\[ \frac{V_i}{V_{oi}} = \frac{\nu_{(i\backslash j)}}{\nu_{(i\backslash j)}} \cdot \frac{V_j}{V_{oj}} \quad (14) \] \[ \frac{V_i}{V_{oi}} = \frac{V_j}{V_{oj}} \quad (15) \]

En resumen, la ley de volúmenes de combinación tendrá tres expresiones distintas, cuya aplicación dependerá del enunciado específico del problema. Cada una de estas formas ofrece una perspectiva diferente para abordar las relaciones entre los volúmenes de los gases en las reacciones químicas. Su visualización didáctica puede ser consultada en el siguiente enlace.