Demostración. Ley de Raoult para mas de un componente volatil.

En este caso, se nos solicita modelar la Ley de Raoult para situaciones donde más de un componente de la disolución es volátil. Para abordar este desafío, comenzaremos invocando las formas base de la Ley de Raoult y la Ley de Dalton de las presiones parciales, que serán los pilares de nuestro análisis.

$$P_j = \chi_j \cdot P^o_j \tag{1}$$

$$P = \Sigma P_k \tag{2}$$

Igualamos la presión parcial de cada componente individualmente. Esto significa que asumiremos que todos los componentes en la mezcla poseen su propia fracción molar y su propia presión estándar (o presión de vapor como sustancia pura).

$$P = \Sigma (\chi_k \cdot P^o_k) \tag{3}$$

Este teorema, de una simplicidad notable, representa la forma más directa de abordar el escenario en el que conocemos las fracciones molares y las presiones estándar de cada componente volátil. Al ser las presiones estándar valores fijos, fácilmente accesibles en tablas de referencia, el cálculo se reduce a una aplicación directa.

Pero, ¿qué sucede si lo que se nos proporciona son las masas individuales de cada componente? Aquí es donde la situación se vuelve más compleja, ya que las masas, aunque son datos de laboratorio comunes, no se integran directamente en las ecuaciones de la Ley de Raoult en su forma clásica. La necesidad de convertir estas masas a moles y luego calcular las fracciones molares introduce pasos adicionales y la posibilidad de errores, transformando un problema simple en uno que exige una mayor atención a la manipulación de unidades.

Estos casos, dada su inherente complejidad, se examinan generalmente solo para el escenario más básico de dos componentes volátiles. Aquí, podemos aprovechar una propiedad fundamental de las fracciones molares: la suma de todas las fracciones molares en una mezcla es igual a 1. Esta identidad matemática es crucial porque nos permite expresar la fracción molar de ambos componentes en términos de uno solo. Por ejemplo, si conocemos la fracción molar del componente A, la fracción molar del componente B se puede obtener simplemente restando la fracción molar de A de 1. Esta simplificación reduce el número de incógnitas en el problema, haciéndolo manejable incluso con las complejidades adicionales de la Ley de Raoult aplicada a más de un componente volátil.

$$1 = \chi_i + \chi_j \tag{4}$$

$$\chi_j = 1 - \chi_i \tag{5}$$

Reemplazamos en la ecuación (2)

$$P = \chi_i \cdot P^o_i +\chi_j \cdot P^o_j \tag{6}$$

$$P = \chi_i \cdot P^o_i + (1 - \chi_i) \, P^o_j \tag{7}$$

$$P = \chi_i \cdot P^o_i + P^o_j - \chi_i \cdot P^o_j \tag{8}$$

$$P = \chi_i \cdot P^o_i- \chi_i \cdot P^o_j + P^o_j  \tag{9}$$

$$P = \chi_i \, (P^o_i- P^o_j)  + P^o_j  \tag{10}$$

Desplegamos la fracción molar.

$$P = \frac{n_{ef,i}}{n} \, (P^o_i- P^o_j)  + P^o_j  \tag{11}$$

$$P = \frac{n_{ef,i}}{n_{ef,i}+n_{ef,j}} \, (P^o_i- P^o_j)  + P^o_j  \tag{12}$$

Por razones prácticas, y como suele ser el caso en los ejercicios básicos de lápiz y papel, asumiremos que las sustancias volátiles no son ionizables. Esto implica que sus cantidades efectivas en solución son iguales a sus cantidades básicas (moles), lo que nos permite cancelar todos los factores de Van't Hoff en los cálculos.

$$P = \frac{n_{i}}{n_{i}+n_{j}} \, (P^o_i- P^o_j)  + P^o_j  \tag{11}$$

$$P = \frac{1}{1+n_{j/i}} \, (P^o_i- P^o_j)  + P^o_j  \tag{12}$$

$$P = \left( \frac{P^o_i- P^o_j}{1+n_{j/i}} \right) \,  + P^o_j  \tag{13}$$

Como hemos analizado previamente en otros contextos, la ratio de cantidad de sustancia se obtiene directamente como el producto de la ratio de masas por el inverso de la ratio de masas molares

$$P = \left( \frac{P^o_i- P^o_j}{1+m_{j/i} \cdot M_{i/j}}  \right) \,  + P^o_j  \tag{14}$$

Con lo cual obtenemos los dos teoremas clave que estamos buscando.

1- Presión total en términos de las presiones de vapor estándar y las fracciones molares (Enlace).

2- Presión total en términos de las presiones de vapor estándar y las masas (Enlace).