Demostración. Teoremas clave de la molalidad

En esta demostración plantearemos los teoremas clave de la molalidad cuando trabajamos con masas o volúmenes, en lugar de usar directamente su axioma fundamental, que se basa en la cantidad de sustancia del soluto expresada en moles. Esto se debe a que, como es bien sabido, en un laboratorio no existen balanzas de cantidad de sustancia, ya que esta es una magnitud física que se mide en moles, a diferencia de la masa, que sí puede medirse directamente en gramos. Por ello, en la práctica experimental debemos recurrir a relaciones derivadas que vinculan masa, volumen, densidad y masa molar, para calcular la molalidad de manera efectiva y precisa.

Iniciamos con el axioma fundamental de la molalidad (1).

$$b_i =\frac{n_i}{m_j} \quad (1)$$

Molalidad de una masa sólida

Como primer caso, analizamos cómo determinar la molalidad a partir de un soluto en estado sólido. Para ello, recurrimos al axioma de la masa molar, pero esta vez despejando la cantidad de sustancia (2).

$$n_i =\frac{m_i}{M_j} \quad (1)$$

Luego, combinamos ambos principios para obtener el teorema correspondiente (3), que permite expresar la molalidad como función de la masa del soluto sólido, tal como se haría al medir la masa de un hidróxido en una preparación experimental

$$b_i =\frac{m_i}{m_j \cdot M_i} \quad (3)$$

Dado que se trata de un cociente entre magnitudes semejantes —ambas masas—, el ratio puede contraerse algebraicamente. Esto permite simplificar la expresión y obtener el teorema en su forma más breve y elegante, facilitando tanto su uso práctico como su memorización conceptual en contextos de laboratorio o resolución de problemas

$$b_i =\frac{m_{i/j}}{M_i} \quad (4)$$

Molalidad del volumen de solvente puro

Si asumimos que el solvente es un líquido puro, o que puede tratarse como tal bajo condiciones prácticas de laboratorio, podemos invocar el axioma de la densidad (5), esta vez despejando directamente la masa del solvente.

$$m =V \cdot \rho \quad (5)$$

Esta expresión puede sustituirse en el teorema (3), lo que nos lleva a una nueva formulación: el teorema de la molalidad en función de la masa del soluto sobre el volumen del solvente

$$b_i =\frac{m_i}{V_j \cdot \rho_j \cdot M_i} \quad (6)$$

Molalidad de dos volúmenes

Si tanto el soluto como el solvente son líquidos, podemos sustituir ambas masas utilizando sus respectivas densidades y volúmenes, en lugar de sustituir únicamente la del solvente. Esto permite expresar la molalidad completamente en función de volúmenes y densidades, lo cual resulta especialmente útil cuando se trabaja con líquidos miscibles en condiciones experimentales comunes

$$b_i =\frac{V_i \cdot \rho_i}{V_j \cdot \rho_j \cdot M_i} \quad (7)$$

Como obtenemos dos cocientes de variables semejantes —uno de volúmenes y otro de densidades—, podemos contraerlos utilizando la notación de ratios, lo que nos permite expresar el resultado de forma más compacta y elegante. Esta contracción mantiene la proporcionalidad entre las magnitudes y simplifica el teorema final sin perder su validez conceptual ni práctica.

$$b_i =\frac{1}{ M_i} \cdot \rho_{i/j} \cdot V_{i/j} \quad (8)$$

El teorema anterior se expresa con la masa molar en la forma $1/M_i$, seguida de dos ratios (como volumen y densidad), lo cual se deriva naturalmente por razones de despeje algebraico. Esta estructura facilita el análisis dimensional, lo que la convierte en una formulación más elegante y funcional que otras alternativas.

Con ello, hemos obtenido una serie de tres teoremas clave:

1. Molalidad a partir de un soluto sólido y un solvente de volumen conocido. (Enlace)
2. Molalidad con soluto líquido y masa conocida del solvente. (Enlace)
3. Molalidad con soluto y solvente ambos líquidos, una situación común en sistemas orgánicos o mezclas miscibles. (Enlace)

Estos casos son especialmente frecuentes en problemas de lápiz y papel, donde se busca eficiencia en los cálculos sin perder precisión conceptual..