Demostración. Teoremas clave de la molaridad

La molaridad, al igual que la molalidad, cuenta con una serie de teoremas clave que permiten su cálculo desde distintas condiciones experimentales. Aunque su definición fundamental se basa en la cantidad de sustancia de soluto por volumen de disolución en litros, en la práctica de laboratorio es común que se parta de masas o volúmenes relativos, por lo que es necesario derivar fórmulas operativas más accesibles para lápiz y papel.

En primer lugar, cuando se conoce la masa del soluto y se desea calcular la molaridad, se parte del axioma fundamental y se sustituye la cantidad de sustancia usando la masa molar, despejando y combinando para obtener una expresión donde la molaridad se calcula directamente desde la masa del soluto y el volumen total de la disolución. Este enfoque es útil cuando se disuelve un sólido en un volumen fijo, como una sal en agua, y se desea conocer la concentración resultante en mol/L.

Otro caso importante es el cálculo de molaridad cuando tanto el soluto como el solvente son líquidos. Aquí se puede partir de una fracción de volúmenes, es decir, un cociente entre el volumen del soluto y el volumen total de la disolución. Usando las densidades respectivas y la masa molar del soluto, se llega a una fórmula que permite calcular la molaridad de manera compacta y sin necesidad de conversiones sofisticadas, especialmente útil en mezclas de líquidos miscibles como etanol en agua.

Finalmente, es posible establecer una conversión formal entre molalidad y molaridad, utilizando densidad de la disolución y masa molar, considerando que una se refiere al kilogramo de solvente y la otra al litro de disolución. Este puente es fundamental para análisis comparativos y para pasar entre unidades en informes científicos.

Iniciaremos con el axioma de la molaridad.

$$c_i = \frac{n_i}{V} \quad (1)$$

El volumen indicado en la ecuación 1 no lleva subíndices por una razón práctica común en el desarrollo de demostraciones químicas: es un atajo notacional que permite aligerar la escritura cuando no hay riesgo de ambigüedad. En este caso específico, dicho volumen representa el volumen total de la disolución, ya que estamos trabajando con una sola mezcla homogénea. Al no haber múltiples disoluciones involucradas ni comparación entre volúmenes parciales, la omisión del subíndice no afecta la comprensión del teorema.

Molaridad de un soluto sólido

Iniciamos el desarrollo a partir del axioma de la masa molar, que relaciona la masa de una sustancia con su cantidad de sustancia.

$$n = \frac{m}{M} \quad (2)$$

Al despejar la cantidad de sustancia desde esta relación (ecuación 2), obtenemos una expresión que nos permite conectar directamente una masa conocida de soluto sólido con los cálculos posteriores de concentración. Luego, sustituimos esta expresión en el axioma fundamental de la molaridad (ecuación 1), el cual define la molaridad como el cociente entre la cantidad de sustancia de soluto y el volumen de la disolución. Al insertar el despeje obtenido en el paso anterior, derivamos la ecuación (3), que representa un teorema operativo para calcular la molaridad a partir de la masa del soluto sólido y el volumen total de la disolución.

$$c_i = \frac{m_i}{V \cdot M_i} \quad (3)$$

Molaridad a partir del volumen del soluto líquido

En el caso de que el soluto sea un líquido, recurrimos al teorema de la densidad, el cual nos permite relacionar masa, volumen y densidad de dicho componente.

$$m_i = V_i \cdot \rho_i \quad (4)$$

Despejando la masa del soluto a partir de esta relación, obtenemos una expresión que sustituimos directamente en el teorema (3), previamente obtenido para un soluto sólido, con el fin de construir una nueva expresión válida para solutos líquidos.

$$c_i = \frac{V_i \cdot \rho_i}{V \cdot M_i} \quad (5)$$

Al realizar esta sustitución, surge naturalmente un ratio entre volúmenes de magnitudes físicas semejantes, específicamente el volumen del soluto respecto al volumen de la disolución. Este cociente, al ser adimensional, puede adquirir un símbolo propio y una interpretación concreta: lo definimos como el axioma de la fracción de volumen, el cual se convierte en una herramienta conceptual poderosa y versátil en este tipo de sistemas. Esta fracción, al ser una forma de razón relativa, es especialmente útil cuando las cantidades absolutas de los volúmenes no se conocen, pero sí se conoce su proporción.

$$c_i =\phi_i \cdot \frac{\rho_i}{M_i} \quad (6)$$

Conversión formal molaridad molalidad

Ambos teoremas tienen en común que expresan la cantidad de sustancia del soluto, por lo que podemos igualarlos a través de esta magnitud. Para ello, primero despejamos la cantidad de sustancia en función de la molaridad y luego a partir de la molalidad.

$$n_i = c_i \cdot V \quad (7)$$

$$n_i = b_i \cdot m_j \quad (8)$$

Al igualar estas dos expresiones, obtenemos una ecuación que nos permite transformar una concentración en la otra, según las variables disponibles.

$$c_i \cdot V = b_i \cdot m_j \quad (9)$$

A partir de allí, podemos despejar la molaridad o la molalidad, dependiendo de cuál sea el objetivo del problema.

$$c_i = b_i \cdot \frac{m_j }{V} \quad (10)$$

Este teorema nos permite llegar a una conclusión elegante: en disoluciones ideales, donde la mayor parte de la masa corresponde al solvente, y si este solvente es agua, el cociente entre la masa del solvente y el volumen de la disolución tiende a ser prácticamente uno. Esta relación simplificada justifica por qué, en muchos contextos educativos y prácticos, se realiza directamente la conversión entre molalidad y molaridad sin cálculos adicionales. Sin embargo, es fundamental entender que esta equivalencia solo se sostiene bajo ciertas condiciones: que el soluto esté presente en muy baja concentración y que el solvente sea agua, cuyas propiedades físicas permiten esta aproximación. Fuera de ese contexto, aplicar esta conversión directa puede llevar a errores, especialmente en disoluciones concentradas o con solventes diferentes al agua

Los teoremas clave extraídos de estas demostraciones, junto con sus factores de conversión homólogos son, son:

Molaridad de un soluto sólido (enlace).

Molaridad de un soluto líquido (enlace).

Molaridad como función de la molalidad (enlace).