Demostración. Definiciones del rendimiento de la reacción

 Nuestro objetivo es demostrar que la definición estándar del rendimiento de reacción (representado por y, del inglés yield of reaction), basada tradicionalmente en el cociente entre la masa de producto obtenida experimentalmente y la masa teórica esperada, en realidad corresponde al cociente entre cantidades de reacción, lo que proporciona una interpretación más rigurosa y general del fenómeno:

Iniciaremos interpretando el significado del cociente de cantidades de reacción, el cual puede entenderse, de forma sencilla, como una tasa de éxito. En términos probabilísticos, si de cada 100 reacciones posibles solo 50 llegan a completarse, diremos que el rendimiento es de 0.5, es decir, un 50 % de éxito. Bajo esta perspectiva, los rendimientos no son meras relaciones numéricas, sino medidas de probabilidad de conversión efectiva, que reflejan cuán frecuentemente una reacción alcanza su estado final deseado.

A partir de esta interpretación, procederemos a construir el teorema del rendimiento desde su fundamento molecular hasta su expresión macroscópica. Para ello, será necesario recurrir al [Axioma de la cantidad de reacción]:

Lo primero que haremos será formular las dos versiones del axioma base, una correspondiente a las cantidades experimentales, que dejaremos sin marca, y otra para las cantidades teóricas, a las cuales añadiremos la marca “teo” con el fin de diferenciarlas de forma explícita. Esta distinción nos permitirá comparar directamente los valores observados en el laboratorio con los obtenidos a partir de los cálculos ideales sin generar ambigüedades conceptuales. Es importante aclarar que las constantes reales o universales —como los coeficientes estequiométricos, factores de conversión o magnitudes físicas invariantes— no se ven afectadas por esta notación, ya que su valor es independiente del contexto experimental o teórico en el que se empleen.

Además, para simplificar el desarrollo posterior, asumiremos que la sustancia clave de referencia es un producto. Esta elección es coherente con la práctica habitual en el análisis del rendimiento, donde el interés principal recae en la cantidad de producto formado, ya que constituye la medida directa del éxito o la eficiencia de la reacción.

  Combinamos las expresiones [1], [3] y [4], y procedemos a su simplificación algebraica.

A partir de este proceso obtenemos el teorema del rendimiento en función de la cantidad de sustancia, una formulación más general que permite expresar la eficiencia de una reacción sin depender exclusivamente de la masa del producto. Este enfoque es especialmente útil porque puede aplicarse a cualquier parámetro que represente o esté relacionado con la cantidad de sustancia, como el volumen de un gas, la concentración de una disolución acuosa o la masa medida experimentalmente. En consecuencia, este teorema proporciona una herramienta unificadora que conecta la interpretación molecular del rendimiento con sus manifestaciones macroscópicas, haciendo posible evaluar la eficiencia de una reacción en distintos contextos experimentales.

Para expresar el rendimiento en función de la masa, recurrimos al [Axioma de masa molar] y despejamos la cantidad de sustancia a partir de la masa medida y la masa molar del producto clave. De forma análoga, para gases aplicamos la [Ley del gas ideal] y también despejamos la cantidad de sustancia a partir de la presión, el volumen y la temperatura. En ambos casos, la conversión a moles permite insertar el resultado en la formulación general del rendimiento en función de la cantidad de sustancia, unificando así el tratamiento para sistemas sólidos, disoluciones y gases.

Sustituimos la expresión [6] por la [7] para obtener el rendimiento en función de la masa, y por la [8] para el rendimiento en función del gas, realizando posteriormente la simplificación de las constantes involucradas. Con el fin de evitar el paso algebraico de extremos por medios, reemplazamos tanto el numerador directo como el denominador por sus formas inversas equivalentes, lo que permite expresar el resultado de manera más compacta y operativa. Este procedimiento conserva la coherencia dimensional y facilita la aplicación práctica del teorema, ya que elimina pasos intermedios innecesarios sin alterar la interpretación física del rendimiento en términos de la cantidad de sustancia medida.

Con ello no solo recuperamos la definición clásica del rendimiento, entendida como el cociente entre la masa experimental y la masa teórica del producto, sino que además obtenemos una expresión más general que permite calcular el rendimiento a partir de variables propias de los gases, como presión, volumen o temperatura. Este resultado amplía el alcance práctico del teorema, ya que permite aplicar el mismo principio tanto a reacciones en fase sólida o líquida como a procesos gaseosos.

En el caso particular de los gases, la ecuación puede simplificarse aún más dependiendo de las condiciones experimentales. Si el proceso ocurre a volumen constante, el rendimiento puede expresarse directamente en función de la presión; por el contrario, si la presión permanece constante, bastará con el volumen como variable principal. En ambos escenarios, se asume que el producto gaseoso se encuentra a temperatura uniforme, lo que garantiza la validez de la comparación entre la cantidad teórica y la experimental de sustancia producida.