Demostración. Balance de una ecuación química algebraica

 Demuestre un teorema que permita derivar el procedimiento de ajuste de la ecuación química, tanto para evaluar su ajuste como para ajustarla algebraicamente.

Aunque podemos sostener que el número de átomos de cada elemento debe ser el mismo en reactivos y productos, de modo que la diferencia genere una suma cero, la realidad es más compleja. Intentar ajustarlos sin considerar sus identidades conduciría a incoherencias prácticas. Por ello, debemos establecer ciertas condiciones o axiomas. En primer lugar, aceptar la validez del [Axioma de ley de Proust], que afirma que los elementos se combinan en proporciones fijas, lo que hace relevante a los subíndices de cada molécula.

En segundo lugar, asumir la validez del [Axioma de la cantidad de reacción], que asegura que las proporciones expresadas en los números estequiométricos son correctas. Como detalle clave, asumiremos a priori que estamos ajustando la ecuación para un único evento de reacción; en consecuencia, la cantidad de reacción será igual a 1, un valor adimensional.

Finalmente, la condición más importante consiste en reconocer que solo podemos balancear un elemento por vez. Así, el teorema correspondiente debe aplicarse individualmente a cada elemento, verificando el balance y ajustándolo según sea necesario.

En primera instancia, calcularemos el número de átomos de un elemento x en un único tipo de molécula i. Para ello, consideraremos que en un solo evento de reacción, la cantidad de átomos de x en una sustancia específica es el producto entre el subíndice del elemento en la molécula y el número de veces que dicha molécula participa en el evento. En otras palabras, corresponde al producto entre el número estequiométrico de la sustancia i y el subíndice del elemento x.

La suma de este valor para todas las sustancias nos dará la cantidad total de átomos de un elemento dado en un lado de la ecuación química. En esta etapa, no importa si se trata de los reactivos o los productos, ya que el objetivo es simplemente contabilizar los átomos para un elemento específico.

Para obtener la suma cero, es necesario asignar signo negativo a uno de los lados de la reacción. Tradicionalmente, se considera que los productos llevan signo negativo sin mayor justificación, pero ello duplica innecesariamente el tamaño del teorema, como ocurre con la ley de Hess o con la conservación simple de la masa. Para evitarlo, adoptaremos una convención distinta: asumiremos que el número estequiométrico posee propiedades vectoriales. Así, cuando se escriba con el símbolo de vector (un arpón encima), representará una dirección química: negativa en los reactivos, pues desaparecen durante la reacción, y positiva en los productos, ya que se forman. De este modo, introducimos el concepto de vector estequiométrico, cuyo valor absoluto corresponde al número estequiométrico convencional.

Cuando expresamos el teorema [6] en términos de vectores estequiométricos, este abarcará la totalidad de la reacción, tanto reactantes como productos, sin necesidad de aumentar la cantidad de símbolos. La consecuencia inmediata es que la expresión se convierte en una suma nula, ya que la cantidad de átomos entre reactantes y productos permanece inalterada. En otras palabras, asumimos a priori la validez de la ley de conservación de la materia.

 [Teorema del balancede una ecuación química algebraica]