Demostración. Masa molar teórica

A continuación demostraremos los teoremas de la masa molar de un elemento promedio y de una molécula promedio. Para ello utilizaremos la misma estrategia empleada en el cálculo de la masa molar de un isótopo: partiremos de las formulaciones correspondientes de la [Ley de la conservación de la masa], adaptándolas progresivamente hasta obtener las expresiones generales aplicables a sistemas con composición promedio.

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La masa molar promedio de un elemento

Para la masa molar promedio de un elemento se adopta la forma estática de la conservación de la masa, bajo el supuesto de que dicho elemento no ha experimentado procesos de transformación.

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En consecuencia, la masa total del sistema permanece constante y puede analizarse como una suma de contribuciones invariantes. Posteriormente, se invoca el [Axioma de la masa molar], el cual permite establecer una relación directa entre la cantidad de sustancia y la masa asociada a cada componente del sistema.

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Al despejar la masa y definirla para un isótopo cualquiera, es posible sustituir esta expresión en el teorema (2), obteniendo así una formulación equivalente. De este modo, se deduce una ponderación de la masa del elemento en función de las masas molares de los núcleos isotópicos, lo que permite describir la contribución relativa de cada especie a la composición global.

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Sin embargo, la masa total también debe ser ponderada de manera consistente dentro del sistema considerado. Para lograrlo, se divide ambos lados de la expresión entre la cantidad total de sustancia, es decir, la cantidad de sustancia correspondiente al elemento que se desea promediar. Este procedimiento permite normalizar la relación y expresar la masa en términos de una contribución relativa, coherente con la definición de promedio molar.

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Al realizar esta operación, en el lado izquierdo se obtiene el cociente entre la masa del elemento promedio y la cantidad de sustancia correspondiente a dicho elemento. Este ratio, de acuerdo con el axioma (3), se identifica directamente con la masa molar del elemento promedio, estableciendo así la relación buscada.

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En el lado derecho, la cantidad total del elemento promedio actúa como un factor común que multiplica a todos los términos de la serie. Sin embargo, al emplear la notación de sumatoria, esta operación se interpreta como la incorporación de dicha cantidad dentro de la función de la serie, afectando de manera uniforme a cada uno de los términos que la componen.

g

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Ahora bien, ¿cómo puede simplificarse el cociente de cantidades? Aunque previamente se estableció que estos ratios pueden expresarse mediante la notación estándar n(A/x), este caso particular presenta una propiedad especial. En efecto, dicho cociente cumple las condiciones del axioma de una unidad de concentración conocida como fracción molar, la cual posee símbolo propio y significado físico definido. Esto se debe a que la cantidad del isótopo corresponde a la de un componente dentro de una mezcla isotópica, mientras que la cantidad del elemento promedio representa la cantidad total de sustancia del sistema.

Por esta razón, aunque implique apartarse momentáneamente de la secuencia didáctica —ya que aún no se han introducido formalmente las unidades de concentración—, resulta necesario invocar el [axioma de la fracción molar] aplicado a una mezcla isotópica.

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Esta herramienta permite reinterpretar el cociente de cantidades como una proporción adimensional, facilitando así la demostración de la fórmula buscada. Esto permite reemplazar en el teorema (8) y obtener una de las dos expresiones buscadas, junto con un resultado conceptual inesperado.

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Antes de realizar esta demostración, se asumía que la abundancia isotópica se expresaba como una fracción de masas; sin embargo, el desarrollo muestra que la magnitud adecuada es la fracción molar. Es decir, la abundancia se interpreta como la proporción de átomos de un isótopo dentro del total de átomos del elemento considerado.

En términos equivalentes, si un elemento estuviera constituido por cien átomos, la fracción molar indicaría cuántos de ellos corresponden a cada isótopo. Este resultado constituye un ejemplo claro de lo que en didáctica se denomina un error conceptual persistente, ya que muchos textos presentan la abundancia isotópica sin un tratamiento formal riguroso. Con frecuencia, se emplea una notación genérica asociada a la frecuencia, sin explicitar su significado químico. En este desarrollo, en cambio, se ha establecido una interpretación formal basada en la fracción molar, dotando al concepto de una mayor coherencia teórica y precisión en su uso.

La masa molar de un compuesto

Ahora abordaremos la masa molar de un compuesto promedio. Para ello, se aplicará un axioma fundamental: toda propiedad derivada de la conservación de la masa hereda sus propiedades estructurales, es decir, es aditiva y puede manipularse mediante las reglas formales de la suma. Este principio garantiza que las magnitudes asociadas a la masa conserven coherencia algebraica y física en cualquier sistema químico.

En primera instancia, se establece que la masa molar de una molécula (i) cualquiera, ya sea elemental —como el ozono— o compuesta —como el agua—, cumple la ley de conservación de la masa. En consecuencia, puede expresarse como la suma de las contribuciones de los componentes que la constituyen, manteniendo la consistencia entre cantidad de sustancia y masa asociada en cada término.

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El término Σ(M_(x,n)) representa la suma de todas las contribuciones de masa molar asociadas a los átomos estándar en la molécula \(n^o\) de un determinado elemento (x). Esta interpretación permite reorganizar la expresión y desplegar la sumatoria en términos de un producto, ya que, en principio, es posible contar el número de átomos de cada elemento presente en la molécula.

Dado que dichos átomos poseen masas molares constantes, puede aplicarse la regla de factor común, extrayendo esta magnitud fuera de la suma. Desde otra perspectiva, este procedimiento se fundamenta en la definición del producto como una suma abreviada de un conteo repetido de una propiedad invariante, lo que permite expresar la contribución total de cada elemento de forma más compacta y operativamente eficiente.

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Sin embargo, para una molécula cualquiera —en particular aquellas que obedecen la ley de Proust, para las cuales se formula este teorema—, el valor de cantidad de elemento estándar en la molécula \(n^o_x\) no es una cantidad arbitraria, sino un valor fijo determinado por la estructura química. En efecto, este valor se encuentra codificado en la fórmula molecular mediante los subíndices, los cuales indican la proporción constante de cada elemento en el compuesto.

A partir de lo anterior, se establece que la cantidad de cada elemento (x) es igual al subíndice correspondiente de dicho elemento en la fórmula molecular. Esta relación permite reemplazar en la expresión ((x)) y reformular el teorema en función de los subíndices de cada elemento y de las masas molares de los elementos promedio, obteniendo así una expresión más directa y operativamente útil.

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Masa molar particular en función del total y otras conocidas

Además de los ejercicios orientados al cálculo de la masa molar promedio —ya sea de un elemento o de una molécula—, pueden presentarse situaciones particulares en las que se requiere determinar la masa molar asociada a una parte específica del sistema. Por ejemplo, la de un isótopo dentro de un elemento promedio, o la de un elemento dentro de una molécula.

Para abordar estos casos, se procede a aplicar la ley asociativa de la suma sobre las expresiones generales, separando de la suma total el término correspondiente a la entidad de interés. Este término particular, que puede representar tanto al isótopo como al elemento en cuestión, se denotará de forma general mediante el símbolo ?, permitiendo así aislar y analizar su contribución dentro del sistema.

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Posteriormente, se procede a despejar la masa molar incógnita, aplicando el mismo tratamiento algebraico en cualquiera de los dos casos, hasta aislar el término correspondiente a la entidad de interés.

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Frecuencias en un compuesto binario

Un caso especial, aplicable únicamente al estudio de la masa isotópica, consiste en calcular la fracción molar en función de las masas molares de los isótopos involucrados. Para resolver este problema, se parte de una propiedad fundamental de las fracciones, derivada de la conservación de la masa: la totalidad de las partículas del sistema se representa como la unidad.

En consecuencia, el valor 1 debe ser igual a la suma de las fracciones molares de los isótopos considerados, lo que permite establecer una relación directa entre sus contribuciones dentro del sistema.

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A continuación, se despliega el teorema (10) para el caso de dos isótopos, y se procede a sustituir en él la expresión (19), con el fin de reformular la relación en términos de las magnitudes previamente definidas.

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Y despejamos la fracción molar de ?.

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Para ver las fórmulas en limpio y sus factores de conversión equivalentes, pulse en [Teorema de la masa molar teórica].