Ejemplos de operaciones con cifras significativas y notación científica

[Unidades y medidas] Sección 4.  Conceptos clave [Notación científica y cifras significativas] [Tablas de cocientes aritméticos notables] [Ejemplos con cifras significativas y notación científica] [Tablas de prefijos decimales] Otros conceptos [Unidades fundamentales 1] [Aproximaciones estándar y de Fermi]

Las operaciones con cifras significativas y notación científica son fundamentales en el manejo e interpretación de expresiones científicas. A continuación, se presentan algunos de los procedimientos básicos que permiten realizar cálculos con precisión y coherencia, respetando el nivel de certeza de los datos involucrados.

Figura 1. Movimiento positivo del separador decimal.

La notación científica siempre incluye implícitamente la expresión 10⁰, ya que esta equivale a 1 y, por tanto, no altera el valor del número original. Esto significa que cualquier número, incluso el 1, puede considerarse ya en notación científica. Para convertir un número dado a este formato, se invoca esta estructura base y luego se ajusta el número moviendo la coma decimal hasta que quede una sola cifra distinta de cero a la izquierda del punto decimal.

Figura 2. Movimiento negativo del separador decimal.

Si se mueve la coma hacia la izquierda —es decir, hacia los valores más grandes— se incrementa el exponente de base 10 con tantos dígitos positivos como posiciones se haya desplazado. En cambio, si se mueve hacia la derecha —hacia los valores más pequeños—, el exponente se hace negativo, reflejando cuántas veces se ha dividido entre 10. Este procedimiento permite transformar cualquier número real en su equivalente en notación científica.

Conversión a forma fraccionaria

Una potencia negativa indica que el valor positivo de la base debe colocarse en el denominador de una fracción, dejando el numerador igual a uno. Esta propiedad se conoce como la regla del exponente negativo, y se basa en la idea de invertir la posición de la base dentro de una expresión racional. En otras palabras, cualquier término elevado a un exponente negativo se puede reescribir como su inverso con exponente positivo.

Figura 3. Movimiento vertical en un número racional para notación científica.

Figura 4. Movimiento vertical en un número racional para cualquier término.

Esta regla se aplica tanto al numerador como al denominador de una fracción: al invertir la posición del término, el signo del exponente también se invierte. Esto permite simplificar o reorganizar expresiones con potencias dentro de divisiones.

Suma y resta con notación científica

Para sumar o restar números en notación científica, lo primero que se debe hacer es observar los exponentes. La regla fundamental establece que solo se pueden sumar o restar las cifras significativas cuando los exponentes son iguales. Si los exponentes difieren, es necesario ajustarlos para que coincidan, lo cual implica modificar la cantidad de cifras significativas en uno de los valores.

Esto se debe a que, en la notación científica, la base diez con su exponente actúa como un factor común entre los términos. Por lo tanto, al igualar los exponentes, se puede aplicar la propiedad de factorización conocida como "factor común" para realizar correctamente la suma o resta.

Multiplicaciones y divisiones

La multiplicación de números en notación científica se basa en la propiedad de que, al tener la misma base (10), se pueden sumar los exponentes. A diferencia de la suma o la resta, no es necesario que los factores tengan la misma potencia. Esto permite multiplicar directamente cualquier par de números expresados en notación científica.

El proceso incluye un paso intermedio en el que se aplica la ley conmutativa de la multiplicación. Es decir, dado que el orden de los factores no altera el producto, se agrupan primero los coeficientes y luego las potencias. Los coeficientes se multiplican de forma aritmética, y las potencias se combinan dejando la base 10 y sumando sus exponentes.

Potencias y radicales

La potencia de un término en notación científica implica aplicar las propiedades de las potencias tanto al coeficiente significativo como a la base exponencial. El coeficiente significativo se eleva a la potencia externa siguiendo las reglas de la aritmética común, mientras que el exponente de la base 10 se multiplica por la potencia externa, de acuerdo con la propiedad (a^m)ⁿ = a^m×n.

Las raíces también pueden expresarse como potencias fraccionarias, lo que permite aplicar el mismo procedimiento. Por ejemplo, la raíz cuadrada equivale a una potencia de ¹⁄₂, y la raíz cúbica a una potencia de ¹⁄₃. Esto facilita trabajar con notación científica sin cambiar de método al operar potencias o raíces.

Ejemplos

Expresar y manipular notaciones científicas

Ejemplo 1. Exprese el siguiente número como una notación científica a dos cifras significativas 4898 https://youtu.be/HRktqjrGPMc

Ejemplo 2. Exprese el siguiente número como una notación científica a una cifras significativa 354 https://youtu.be/fbf-Mj8w_L8

Ejemplo 3. Exprese el siguiente número como una notación científica a dos cifras significativas 0.000488 https://youtu.be/FEFohS8lkVM

Ejemplo 4. Exprese el siguiente número como una notación científica a dos cifras significativas 0.000052 https://youtu.be/jLnGtT000iI

(Chang, 2010) Problema-1.29. Expresar los siguientes valores a notación científica (a) 0.000000027, (b) 356, (c) 47764, (d) 0.096. https://www.youtube.com/watch?v=TRTdswRCQB8

(Chang, 2010) Problema-1.30. Expresar los siguientes valores en notación decimal: (a) 1.52 × 10⁻² (b) 7.78 × 10⁻⁸. https://www.youtube.com/watch?v=PJTGUkWB63w

(Brown, 2015) Ejercicio 1.39. Redondee cada uno de los siguientes números a cuatro cifras significativas y exprese el resultado en notación exponencial estándar: (a) 102.53070, (b) 656.980, (c) 0.008543210, (d) 0.000257870, (e) -0.0357202. https://youtu.be/ITNSCypCRno

(Brown, 2015) Ejercicio 1.40a. El diámetro de la Tierra en el ecuador es 7926.381 mi. Redondee este número a tres cifras significativas y expréselo en notación exponencial estándar. https://youtu.be/9LKlSouSpy8

(Brown, 2015) Ejercicio 1.40b. La circunferencia de la Tierra a través de los polos es de 40008 km. Redondee este número a cuatro cifras significativas y expréselo en notación exponencial estándar. https://youtu.be/F4c25h-bOS0

Sumas y restas

Ejemplo 1. Realizar la operación teniendo en cuenta las cifras significativas 5.2 × 10⁻² + 4.8 × 10⁻². https://youtu.be/GCakWdQSUEI

Ejemplo 2. Realizar la operación teniendo en cuenta las cifras significativas 3.52 × 10⁻³ + 7.402 × 10⁻². https://youtu.be/Gx9JjewEPlU

(Chang, 2010) Ejemplo 1.5e. Realice la siguiente operación aritmética con el número correcto de cifras significativas 2.64 × 10³ cm + 3.27 × 10² cm. https://youtu.be/7TXCsCAcKNE

(Chang, 2010) Práctica 1.5e. Realice la siguiente operación aritmética con el número correcto de cifras significativas (7.55 × 10⁴ m) - (8.62 × 10³ m). https://youtu.be/9X7umwmHjS0

(Chang, 2010) Problema-1.31a. Exprese la respuesta del siguiente cálculo en notación científica 145.75 + (2.3 × 10⁻¹). https://www.youtube.com/watch?v=ptCNSmC-rTg&feature=youtu.be

(Chang, 2010) Problema-1.31c. Exprese la respuesta del siguiente cálculo en notación científica (7.0 × 10⁻³) - (8.0 × 10⁻⁴). https://www.youtube.com/watch?v=cWbnCThJaDU&feature=youtu.be

(Chang, 2010) Problema-1.32a. Exprese la respuesta del siguiente cálculo en notación científica 0.0095 + (8.5 × 10⁻³). https://youtu.be/ZNKuYIu6MSg

(Chang, 2010) Problema-1.32c. Exprese la respuesta del siguiente cálculo en notación científica 850000 - (9.0 × 10⁵). https://youtu.be/_6KS5bk5lI0

Multiplicaciones y divisiones

Ejemplo 1. Realizar la siguiente multiplicación teniendo en cuenta las cifras significativas A = (3.7 × 10⁴) × (5 × 10⁹). https://youtu.be/bxJGXm7KC_8

Ejemplo 2. Realizar la operación teniendo en cuenta las cifras significativas (4.1 × 10⁻³) × (2.35 × 10⁻²). https://youtu.be/d-2YlNyYBV4

Ejemplo 3. Realizar la operación teniendo en cuenta las cifras significativas (2.5 × 10⁻³) / (1.53 × 10⁻²). https://youtu.be/8kydtczaxD8

(Chang, 2010) Práctica 1.5c. Realice la siguiente operación aritmética con el número correcto de cifras significativas 7.1 × 10⁴ dm × 2.2654 × 10² dm. https://youtu.be/ZPj7oDk4gDc

(Chang, 2010) Problema-1.31b. Exprese la respuesta del siguiente cálculo en notación científica 79500 ÷ (2.5 × 10²). https://www.youtube.com/watch?v=c2r_T59yvIA&feature=youtu.be

(Chang, 2010) Problema-1.31d. Exprese la respuesta del siguiente cálculo en notación científica (1.0 × 10⁴) × (9.9 × 10⁶). https://www.youtube.com/watch?v=3XdXoz_WgX8&feature=youtu.be

(Chang, 2010) Problema-1.32b. Exprese la respuesta del siguiente cálculo en notación científica 653 ÷ (5.75 × 10⁻⁸). https://www.youtube.com/watch?v=t9mrnnQRm7k&feature=youtu.be

(Chang, 2010) Problema-1.32d. Exprese la respuesta del siguiente cálculo en notación científica (3.6 × 10⁻⁴) × (3.6 × 10⁶). https://www.youtube.com/watch?v=3O0lyjOIDY0&feature=youtu.be

(Brown, 2015) Ejercicio 1.41c. Realice la siguiente operación y exprese las respuestas con el número apropiado de cifras significativas (c) (3.29 × 10⁴)(0.2501). https://youtu.be/I9InU0g8d0g

(Brown, 2015) Ejercicio 1.42a. Realice la siguiente operación y exprese las respuestas con el número apropiado de cifras significativas. (a) 320.5 – (6104.5 / 2.3). https://youtu.be/tn0QoEMhjjk

(Brown, 2015) Ejercicio 1.42b. Realice la siguiente operación y exprese las respuestas con el número apropiado de cifras significativas. (b) ((285.3 × 10⁵) – (1.200 × 10³)) × 2.8954. https://youtu.be/GQcfM-HL0r0

(Brown, 2015) Ejercicio 1.42c. Realice la siguiente operación y exprese las respuestas con el número apropiado de cifras significativas. (c) (0.0045 × 20000.0) + (2813 × 12). https://youtu.be/_01WQV-lv1k

(Brown, 2015) Ejercicio 1.42d. Realice la siguiente operación y exprese las respuestas con el número apropiado de cifras significativas. (d) 863 × (1255 – (3.45 × 10⁸)). https://youtu.be/FqQEQWo9Q90