Fórmulas y ejemplos cálculos de masas de isótopos

[Átomo moderno] Sección 3. [Los isótopos y su abundancia] [Fórmulas y ejemplos] [La existencia de los isótopos] [Los verdaderos alquimistas] [La guerra nuclear] [Plantas nucleares] [La edad del mundo]

¡¡ Nota: Si está consultando esta página desde un smartphone, le recomendamos rotar la pantalla a orientación horizontal para asegurar que los símbolos y ecuaciones matemáticas se visualicen correctamente. De lo contrario, podrían aparecer con un tamaño anormalmente pequeño !!.

La masa relativa promedio se obtiene como la suma ponderada de las masas relativas de los isótopos individuales según sus abundancias naturales. Aunque podría esperarse que estas masas relativas coincidieran con sus respectivos números de masa, esto no ocurre debido a ligeras diferencias en las masas de protones y neutrones, así como a otras desviaciones experimentales. Para minimizar estas discrepancias, se eligió como referencia el isótopo de carbono-12, ya que posee igual cantidad de protones y neutrones, proporcionando un valor promedio dentro del par de entidades. Sin embargo, este criterio introduce desviaciones en la masa relativa de aquellos isótopos en los que esta igualdad no se cumple.

Para resolver un escenario de masas relativas, lo más práctico es asumir la igualdad implícita: la masa relativa es equivalente a la masa molar, expresada tanto de manera adimensional como en daltons. El dalton se define como el resultado de dividir 1 gramo ideal entre el número de entidades estándar, es decir, el número de Avogadro.

El gramo ideal se establece como la doceava parte de 12 gramos exactos de carbono-12, y su propósito es determinar la masa ideal de 1 gramo de hidrógeno idealizado. A diferencia del hidrógeno real, el hidrógeno idealizado tiene una masa que corresponde al promedio entre la del protón y la del neutrón. Debido a esto, la masa del hidrógeno real presenta una desviación respecto a la idealizada.

De este modo, cuando se nos presente una masa relativa o expresada en daltons y necesitemos realizar cálculos, podemos convertirla a unidades de masa molar. Esto nos permite reducir la cantidad de ecuaciones necesarias y aplicar las técnicas utilizadas hasta ahora.

Al trabajar con masas relativas, emplearemos las mismas técnicas y unidades que en los cálculos de masas molares. Si en cambio se requiere la masa absoluta, simplemente convertiremos los moles al número de entidades correspondientes, lo que nos permitirá realizar el cálculo de manera directa.

Recuerda que, aunque expresemos la masa relativa en daltons (u), en la parte operativa lo más conveniente será convertir directamente entre daltons y g/mol según sea necesario y de moles a entidades para la forma absoluta.

Ejercicios tipo 1. Cálculo del peso atómico promedio.

Figura 1.  La masa molar promedio del elemento $X$ ($M_X$) como una función de la suma ponderada de fracciones de la masa del isótopo $w_A$ y sus masas molares $M_A$. Recuerde que, para evitar la proliferación de ecuaciones, convertiremos de ida y vuelta ${\color{purple}{\textbf{u}}}$ en ${\color{purple}{\textbf{g/mol}}}$ de forma semejante a como convertimos ${\color{purple}{\textbf{M}}}$ en ${\color{purple}{\textbf{mol/L}}}$.

Calculando la masa atómica promedio

Ejemplo 1. Si se analiza una muestra natural de uranio terrestre de 100 g obtendremos que el 99.274% es uranio-238 el 0.720 % uranio-235 y 0.005 % de uranio-234. Por otra parte, en otros experimentos se calculó la masa relativa de estos isótopos como 238.05, 235.04 y 234.04 respectivamente. Calcular la masa relativa promedio, la masa atómica promedio en daltons y gramos, y la masa molar promedio del uranio. Enlace

(Brown et al., 2022) Ejercicio muestra 2.4. El cloro natural está compuesto por 75.78% de ³⁵Cl (masa atómica = 34.969 u) y 24.22% de ³⁷Cl (masa atómica = 36.966 u). Calcula el peso atómico del cloro.  Enlace. También aparece en (Chang, 2010) Problema 3.5 y en (Ebbing & Gammon 2017) Ejercicio 2.2. (McMurry, Fay, & Fantini, 2012)  Ejemplo trabajado 2.5

(Brown et al., 2022) Ejercicio de práctica 2.4. Tres isótopos de silicio ocurren en la naturaleza: ²⁸Si 92.23%, masa atómica = 27.97693 u;  ²⁹Si 4.68%, masa atómica = 28.97649 u;  ³⁰Si 3.09%, masa atómica = 29.97377 u. Calcula el peso atómico del silicio Enlace. También aparece en (McMurry, Fay, & Fantini, 2012)  Problema 2.73 (Zumdahl & Zumdahl, 2018)  Problema 2.42

(Brown et al., 2022) Ejercicio 2.18. El hierro tiene tres isótopos principales: ⁵⁴Fe (masa atómica = 53.9396 u; abundancia = 5.85%), ⁵⁶Fe (masa atómica = 55.9349 u; abundancia = 91.75%) y ⁵⁷Fe (masa atómica = 56.9354 u; abundancia = 2.12%). Calcula el peso atómico del hierro. Enlace.

(Brown et al., 2022) Ejercicio Ejercicio 2.2. El siguiente diagrama es una representación de 20 átomos de un elemento ficticio, al que llamaremos nevadio (Nv). Las esferas rojas son 293 Nv y las esferas azules son 295 Nv. (a) Suponiendo que esta muestra es una muestra estadísticamente representativa del elemento, calcule el porcentaje de abundancia de cada elemento. (b) Si la masa de 293 Nv es 293,15 uma y la de 295 Nv es 295,15 uma, ¿cuál es el peso atómico de Nv? Enlace

(Brown et al., 2022) Ejercicio 2.33 (a) ¿Qué isótopo se usa como estándar para establecer la escala de masa atómica? (b) El peso atómico del boro se reporta como 10.81, pero ningún átomo de boro tiene la masa de 10.81 uma. Explicar. Enlace.

(Brown et al., 2022) Ejercicio 2.34 (a) ¿Cuál es la masa en uma de un átomo de carbono-12? (b) ¿Por qué se reporta el peso atómico del carbono como 12.011 en la tabla de elementos y la tabla periódica en la portada interior de este texto? Enlace.

(Brown et al., 2022) Ejercicio 2.35 Solo dos isótopos de cobre ocurren naturalmente, 63 Cu (masa atómica = 62.9296 amu; abundancia 69.17%) y 65 Cu (masa atómica = 64.9278 amu; abundancia 30.83%). Calcule el peso atómico (masa atómica promedio) del cobre. Enlace.  También aparece en  (Burdge & Overby, 2018) Problema de práctica A. y en (Chang, 2010) Ejemplo 3.1. (McMurry, Fay, & Fantini, 2012)  Problema 2.7 (Zumdahl & Zumdahl, 2018)  Ejemplo interactivo 3.1

(Brown et al., 2022) Ejercicio 2.36 El rubidio tiene dos isótopos naturales, rubidio-85 masa atómica = 84.9118 uma; abundancia = 72,15% y masa atómica de rubidio-87 masa atómica = 86.9092 uma; abundancia = 27.85%. Calcular el peso atómico del rubidio. Enlace.

 (Brown et al., 2022) Ejercicio 2.72. El bromo tiene dos isótopos que ocurren de manera natural: bromo-79 (masa atómica = 78.9183 u; abundancia = 50.69%) y bromo-81 (masa atómica = 80.9163 u; abundancia = 49.31%). Enlace. Calcula el peso atómico del bromo. También aparece en  (Burdge & Overby, 2018) Problema 2.44. 

(Burdge & Overby, 2018) Problema muestra 2.2. El oxígeno es el elemento más abundante tanto en la corteza terrestre como en el cuerpo humano. Las masas atómicas de sus tres isótopos estables, ¹⁶₈O (99.757 por ciento), ¹⁷₈O (0.038 por ciento) y ¹⁸₈O (0.205 por ciento), son 15.9949, 16.9991 y 17.9992 amu, respectivamente. Calcula la masa atómica promedio del oxígeno usando las abundancias relativas dadas entre paréntesis. Informa el resultado con cuatro cifras significativas. Enlace.

(Burdge & Overby, 2018) Problema 2.5.2: Los dos isótopos naturales del antimonio, ¹²¹Sb (57.21 por ciento) y ¹²³Sb (42.79 por ciento), tienen masas de 120.904 y 122.904 amu, respectivamente. ¿Cuál es la masa atómica promedio del Sb? a) 121.90 amu d) 121.34 amu b) 122.05 amu e) 122.18 amu c) 121.76 amu. Enlace

(Burdge & Overby, 2018) Problema 2.45 Las masas atómicas de ²⁰⁴Pb (1.4 por ciento), ²⁰⁶Pb (24.1 por ciento), ²⁰⁷Pb (22.1 por ciento) y ²⁰⁸Pb (52.4 por ciento) son 203.973020, 205.974440, 206.975872 y 207.976627 amu, respectivamente. Calcula la masa atómica promedio del plomo. Los porcentajes entre paréntesis indican las abundancias relativas. Enlace.

(Burdge & Overby, 2018) Problema 2.46 Las masas atómicas de ²⁴Mg (78.99 por ciento), ²⁵Mg (10.00 por ciento) y ²⁶Mg (11.01 por ciento) son 23.9850423, 24.9858374 y 25.9825937 amu, respectivamente. Calcula la masa atómica promedio del magnesio. Los porcentajes entre paréntesis indican las abundancias relativas Enlace. También aparece en (McMurry, Fay, & Fantini, 2012)  Problema 2.72

(Burdge & Overby, 2018) Problema 2.47 Las masas atómicas de ¹⁹¹Ir (37.3 por ciento) y ¹⁹³Ir (62.7 por ciento) son 190.960584 y 192.962917 amu, respectivamente. Calcula la masa atómica promedio del iridio. Los porcentajes entre paréntesis indican las abundancias relativas. Enlace.

(Chang, 2010) Ejercicio práctico 3.1 Las masas atómicas de los dos isótopos estables del boro, ¹⁰₅B (19.78 por ciento) y ¹¹₅B (80.22 por ciento), son 10.0129 u y 11.0093 u, respectivamente. Calcula la masa atómica promedio del boro. Enlace. También aparece en (McMurry, Fay, & Fantini, 2012)  Problema 2.70

(Ebbing & Gammon 2017) Ejemplo 2.2 El cromo (Cr) presenta las siguientes masas isotópicas y abundancias fraccionarias: ⁵⁰₂₄Cr (49.9461 u, 0.0435), ⁵²₂₄Cr (51.9405 u, 0.8379), ⁵³₂₄Cr (52.9407 u, 0.0950) y ⁵⁴₂₄Cr (53.9389 u, 0.0236). ¿Cuál es la masa atómica (peso atómico) del cromo? Enlace.

(Ebbing & Gammon 2017) Ejercicio 2.55 Mientras viajas a un universo distante, descubres el elemento hipotético “X”. Obtienes una muestra representativa del elemento y descubres que está formado por dos isótopos, X-23 y X-25. Para ayudar a tu equipo científico a calcular el peso atómico de la sustancia, envías el siguiente dibujo de tu muestra junto con tu informe.

En el informe, también informas al equipo científico que los átomos marrones son X-23, los cuales tienen una masa isotópica de 23.02 amu, y los átomos verdes son X-25, los cuales tienen una masa isotópica de 25.147 amu. ¿Cuál es el peso atómico del elemento X? Enlace.

(Ebbing & Gammon 2017) Ejercicio 2.56 Mientras deambulabas por un universo paralelo, descubres el elemento hipotético "Z". Obtienes una muestra representativa del elemento y descubres que está compuesta por dos isótopos, Z-47 y Z-51. Para ayudar a tu equipo científico a calcular el peso atómico de la sustancia, envías el siguiente dibujo de tu muestra junto con tu informe. 

En el informe, también informas al equipo científico que los átomos azules son Z-47, los cuales tienen una masa isotópica de 47.621 amu, y los átomos naranjas son Z-51, los cuales tienen una masa isotópica de 51.217 amu. ¿Cuál es el peso atómico del elemento Z? https://youtu.be/pLdmIQzwaAs

(McMurry, Fay, & Fantini, 2012)  Problema 2.71 La plata natural consiste en dos isótopos: ¹⁰⁷Ag (51.84%) con una masa isotópica de 106.9051 uma y ¹⁰⁹Ag (48.16%) con una masa isotópica de 108.9048 uma. ¿Cuál es la masa atómica de la plata? Verifica tu respuesta en una tabla periódica. https://youtu.be/wov8zq86fSM

(McMurry, Fay, & Fantini, 2012) El germanio tiene cinco isótopos naturales: ⁷⁰Ge, 20.5%, 69.924 uma; ⁷²Ge, 27.4%, 71.922 uma; ⁷³Ge, 7.8%, 72.923 uma; ⁷⁴Ge, 36.5%, 73.921 uma; y ⁷⁶Ge, 7.8%, 75.921 uma. ¿Cuál es la masa atómica del germanio? https://youtu.be/zEUv1GJzanY

Identificando el elemento

(Ebbing & Gammon 2017) Ejercicio 2.51 Calcule el peso atómico de un elemento con dos isótopos naturales, a partir de los siguientes datos: El isótopo X-63 tiene una masa isotópica de 62.930 amu y una abundancia fraccionaria de 0.6909. El isótopo X-65 tiene una masa isotópica de 64.928 amu y una abundancia fraccionaria de 0.3091. ¿Cuál es la identidad del elemento X? Enlace.

(Ebbing & Gammon 2017) Ejercicio 2.52 Un elemento tiene dos isótopos naturales con las siguientes masas y abundancias: El isótopo tiene una masa isotópica de 49.9472 amu y una abundancia fraccionaria de 2.500 × 10⁻³. El isótopo tiene una masa isotópica de 50.9440 amu y una abundancia fraccionaria de 0.9975. ¿Cuál es el peso atómico de este elemento? ¿Cuál es la identidad del elemento? Enlace.

(Ebbing & Gammon 2017) Ejercicio 2.53 Un elemento tiene tres isótopos naturales con las siguientes masas y abundancias: El isótopo 1 tiene una masa isotópica de 38.964 amu y una abundancia fraccionaria de 0.9326. El isótopo 2 tiene una masa isotópica de 39.964 amu y una abundancia fraccionaria de 1.000 × 10⁻⁴. El isótopo 3 tiene una masa isotópica de 40.962 amu y una abundancia fraccionaria de 0.0673. Calcule el peso atómico de este elemento. ¿Cuál es la identidad del elemento? Enlace.

(Ebbing & Gammon 2017) Ejercicio 2.54 Un elemento tiene tres isótopos naturales con las siguientes masas y abundancias: El isótopo 1 tiene una masa isotópica de 27.977 amu y una abundancia fraccionaria de 0.9221. El isótopo 2 tiene una masa isotópica de 28.976 amu y una abundancia fraccionaria de 0.0470. El isótopo 3 tiene una masa isotópica de 29.974 amu y una abundancia fraccionaria de 0.0309. Calcule el peso atómico de este elemento. ¿Cuál es la identidad del elemento? Enlace.

(McMurry, Fay, & Fantini, 2012)  Problema 2.39. Un elemento consiste en 1.40% de un isótopo con masa 203.973 u, 24.10% de un isótopo con masa 205.9745 u, 22.10% de un isótopo con masa 206.9759 u, y 52.40% de un isótopo con masa 207.9766 u. Calcula la masa atómica promedio e identifica el elemento. https://youtu.be/4u2prelfk_U

Ejercicios tipo 2. Calculo de la masa relativa de un isótopo

Además de los ejercicios para calcular la masa molar del elemento promedio, tenemos otros escenarios. Uno de ellos consiste en determinar la masa relativa de un isótopo a partir de las masas relativas de los demás isótopos y la masa promedio del elemento. Para ello, utilizaremos las siguientes funciones:

Figura 3.  Teorema de masa relativa de un isótopo a partir de las masas y frecuencias de otros isótopos. La demostración de la ecuación la puede encontrar en este enlace: https://cienciasdejoseleg.blogspot.com/p/masa-relativa-de-un-isotopo-partir-de.html 

(Zumdahl & Zumdahl, 2018)  Problema 2.41. El elemento renio (Re) tiene dos isótopos naturales, ¹⁸⁵Re y ¹⁸⁷Re, con una masa atómica promedio de 186.207 u. El renio es 62.60% ¹⁸⁷Re, y la masa atómica de ¹⁸⁷Re es 186.956 u. Calcula la masa de ¹⁸⁵Re. https://youtu.be/HeroSQNhVhA

 (Zumdahl & Zumdahl, 2018)  Problema 2.44. El elemento plata (Ag) tiene dos isótopos naturales: ¹⁰⁹Ag y ¹⁰⁷Ag con una masa de 106.905 u. La plata consiste en 51.82% ¹⁰⁷Ag y tiene una masa atómica promedio de 107.868 u. Calcula la masa de ¹⁰⁹Ag. https://youtu.be/HZjhmjisAps

Ejercicios de tipo 3. Cálculo de las frecuencias de dos isótopos conociendo las masas relativas.

Tenga en cuenta que este caso debe limitarse a dos isótopos, con tres ya se hace más complicado y necesitaríamos conocer la frecuencia de uno de los tres isótopos y así consecutivamente, por suerte los ejercicios de lápiz y papel siempre se limitan a dos isótopos.

Figura 3.  Teorema de la frecuencia de dos isótopos conociendo todas las masas relativas. La demostración de la ecuación la puede encontrar en este enlace: https://cienciasdejoseleg.blogspot.com/p/como-calcular-la-abundancia-de-dos.html.

 (Burdge & Overby, 2018) Problema de práctica B: La masa atómica promedio del nitrógeno es 14.0067. Las masas atómicas de los dos isótopos estables del nitrógeno, ¹⁴N y ¹⁵N, son 14.003074002 y 15.00010897 amu, respectivamente. Usa esta información para determinar el porcentaje de abundancia de cada isótopo de nitrógeno. https://youtu.be/TGdBvk8YAwY

 (Burdge & Overby, 2018) Problema 2.5.1: El boro tiene dos isótopos naturales, ¹⁰B y ¹¹B, cuyas masas son 10.0129 y 11.0093 amu, respectivamente. Dada la masa atómica promedio del boro (10.81 amu), determina el porcentaje de abundancia de cada isótopo. a) 50% ¹⁰B, 50% ¹¹B d) 93% ¹⁰B, 7% ¹¹B b) 20% ¹⁰B, 80% ¹¹B e) 22% ¹⁰B, 78% ¹¹B c) 98% ¹⁰B, 2% ¹¹B https://youtu.be/GZnmTfl614A

(Burdge & Overby, 2018) Problema 2.48 Las masas atómicas de ²⁰³Tl y ²⁰⁵Tl son 202.972320 y 204.974401, respectivamente. Calcula las abundancias naturales de estos dos isótopos. La masa atómica promedio del talio es 204.4 amu. https://youtu.be/1c3TksHiHFU

(Burdge & Overby, 2018) Problema 2.49 Las masas atómicas de ⁶Li y ⁷Li son 6.0151 amu y 7.0160 amu, respectivamente. Calcula las abundancias naturales de estos dos isótopos. La masa atómica promedio del litio es 6.941 amu. https://youtu.be/qnGeDCWnbkg También aparece en (Chang, 2010) Problema 3.6 

(Ebbing & Gammon 2017) Ejercicio 2.22 El peso atómico de Ga es 69.72 uma. Hay solo dos isótopos naturales de galio: ⁶⁹Ga, con una masa de 69.0 uma, y ⁷¹Ga, con una masa de 71.0 uma. La abundancia natural del isótopo ⁶⁹Ga es aproximadamente: a) 15% b) 30% c) 50% d) 65% e) 80% https://youtu.be/zDuUd1Zg3Zk

(Zumdahl & Zumdahl, 2018)  Problema 2.43. El elemento europio existe en la naturaleza como dos isótopos: ¹⁵¹Eu tiene una masa de 150.9196 u y ¹⁵³Eu tiene una masa de 152.9209 u. La masa atómica promedio del europio es 151.96 u. Calcula la abundancia relativa de los dos isótopos de europio. https://youtu.be/kr2nSRokp-U