Como calcular la abundancia de dos isótopos con todas las masas atómicas conocidas.

En este caso deseamos calcular los porcentajes de abundancia de dos isótopos conociendo todas las masas relativas. 

Sea un elemento x con A isótopos, donde conocemos las masas molares relativas \( M_{\color{#006cda}{1}}, M_{\color{#006cda}{2}}, \dots, M_{\color{#006cda}{A}} \); partiremos del teorema de masa molar ponderada.

Fórmula 1:

\[ M_{\color{#006cda}{x}} = \Sigma\Bigl(w_{\color{#006cda}{A}} \cdot M_{\color{#006cda}{A}}\Bigr) \]

Donde cada isótopo tiene fracciones de masa conocidas \( w_{\color{#006cda}{1}}, w_{\color{#006cda}{2}}, \dots, w_{\color{#006cda}{A}} \). Se sabe que la fracción total es 1, ya que es la suma de las fracciones de masa.

Fórmula 2:

\[ 1 = \Sigma\, w_{\color{#006cda}{A}} \]

Lo primero que haremos es desplegar el caso de dos isótopos, a los que llamaremos a y b (donde a y b se reemplazan por el número o identificador de cada isótopo):

Fórmula 3:

\[ M_{\color{#006cda}{x}} = w_{\color{#006cda}{a}} \cdot M_{\color{#006cda}{a}} + w_{\color{#006cda}{b}} \cdot M_{\color{#006cda}{b}} \]

Fórmula 4:

\[ 1 = w_{\color{#006cda}{a}} + w_{\color{#006cda}{b}} \]

Despejamos la fracción del isótopo b:

Fórmula 5:

\[ 1 - w_{\color{#006cda}{a}} = w_{\color{#006cda}{b}} \]

Y sustituyendo, obtenemos:

Fórmula 6:

\[ M_{\color{#006cda}{x}} = w_{\color{#006cda}{a}} \cdot M_{\color{#006cda}{a}} + \Bigl(1 - w_{\color{#006cda}{a}}\Bigr) \, M_{\color{#006cda}{b}} \]

Despejamos la fracción del isótopo a:

Fórmula 7:

\[ M_{\color{#006cda}{x}} = w_{\color{#006cda}{a}} \cdot M_{\color{#006cda}{a}} + M_{\color{#006cda}{b}} - M_{\color{#006cda}{b}} \cdot w_{\color{#006cda}{a}} \]

Reorganizando, se tiene:

Fórmula 8:

\[ M_{\color{#006cda}{x}} - M_{\color{#006cda}{b}} = w_{\color{#006cda}{a}} \cdot M_{\color{#006cda}{a}} - M_{\color{#006cda}{b}} \cdot w_{\color{#006cda}{a}} \]

Factorizando \( w_{\color{#006cda}{a}} \):

Fórmula 9:

\[ M_{\color{#006cda}{x}} - M_{\color{#006cda}{b}} = w_{\color{#006cda}{a}} \, \Bigl(M_{\color{#006cda}{a}} - M_{\color{#006cda}{b}}\Bigr) \]

De donde se obtiene el teorema clave:

Fórmula 10:

\[ w_{\color{#006cda}{a}} = \frac{M_{\color{#006cda}{x}} - M_{\color{#006cda}{b}}}{M_{\color{#006cda}{a}} - M_{\color{#006cda}{b}}} \]

Una vez conocida la fracción del isótopo a, la del isótopo b se obtiene fácilmente:

Fórmula 11:

\[ w_{\color{#006cda}{b}} = 1 - w_{\color{#006cda}{a}} \]

Al igual que en todos los teoremas que involucran sumas, la forma del factor de conversión para este teorema resulta poco práctica; por ello, se plantea una cuasiecuación que traduce el teorema algebraico a una forma más estándar, similar a la que se encuentra en textos de química:

Fórmula 12:

\[ \text{fracción de isótopo } a = \frac{\text{peso atómico } X - \text{peso atómico de } b}{\text{peso atómico de } a - \text{peso atómico de } b} \]

Fórmula 13:

\[ \text{fracción de isótopo } b = 1 - \text{fracción de isótopo } a \]