Masa relativa de un isótopo a partir de las masas y frecuencias de otros isótopos

Obtener un teorema que permita determinar la masa relativa de un isótopo a partir de las masas y frecuencias de otros isótopos, así como de la masa relativa promedio.

Sea un elemento x con A isótopos, donde conocemos las masas molares relativas \( (M₁, M₂, ..., M_A) \) de todos excepto uno: \( M_? \) (isótopo incógnita); Partiremos del teorema de masa molar ponderada.

[Ecuación de la masa molar ponderada:]

\[ M_x=\Sigma (w_A\cdot M_A) \]

Y donde cada isótopo tiene fracciones de masa conocidas \( w_1, w_2, \dots, w_A \) excepto para el mismo isótopo incógnita \( w_? \). Aquí sabemos que la fracción total 1 es la suma de fracciones de masa.

\[ 1=\Sigma w_A \]

Posteriormente, se extrae la fracción de masa relativa asociada a \( M_? \) a partir de la suma total, aplicando la propiedad asociativa de la suma.

\[ M_x=w_?\cdot M_?+\Sigma (w_A\cdot M_A) \]

\[ 1=w_?+\Sigma w_A \]

Para evitar el uso de símbolos matemáticos complejos en la notación de sumas, a partir de ahora se considerará que A representa la colección de isótopos, excluyendo al isótopo desconocido. Despejamos en la primera ecuación la masa molar del isótopo incógnita y en el segundo su fracción.

\[ M_x-\Sigma (w_A\cdot M_A)=w_?\cdot M_? \]

\[ 1-\Sigma w_A=w_? \]

Igualamos y continuamos.

\[ \frac{M_x-\Sigma (w_A\cdot M_A)}{w_?}=M_? \]

\[ \frac{M_x-\Sigma (w_A\cdot M_A)}{1-\sum w_A}=M_? \]

Con lo que obtenemos el teorema clave “Masa relativa de un isótopo como función de las masas relativas de los isótopos restantes y la masa relativa promedio del elemento”.

\[ M_?=\frac{M_x-\Sigma (w_A\cdot M_A)}{1-\sum w_A} \]

Al igual que en todos los teoremas que involucran sumas, la forma del factor de conversión para este teorema resulta poco práctica y, por ende, la medida provisional consiste en plantear una cuasiecuación que traduce el teorema algebraico a una forma más estándar, similar a la que se encuentra en textos de química.

\[(masa. rel.A)\, \textbf{u}\, \text{A} = \frac{peso. atómico – suma(porcent.isot×masa. isot)}{1 – suma(\frac{porcent.isot}{100}))}\, \textbf{u}\, \text{A}\]