Demostración. Calorimetría a presión constante no-reactiva

Demostrar las fórmulas para una calorimetría a presión constante no reactiva.

Partiremos del siguiente concepto fundamental: en el calorímetro, dos cuerpos (uno caliente y otro frío) intercambian calor en direcciones opuestas. Para manejar esta dualidad sin predefinir cuál es el emisor o el absorbedor, mantendremos una notación cuasivectorial. Adicionalmente, introduciremos un signo negativo que opera de manera análoga a una máquina de Atwood: si un valor aumenta, el otro disminuye, o viceversa. Esto asegura que los signos de los calores siempre coincidan lógicamente, independientemente del flujo real, simplificando los cálculos y la interpretación.

\[ \overset{\rightharpoonup }{Q}_i = -\overset{\rightharpoonup }{Q}_j \tag{1}\]

Desplegamos el teorema el teorema de Calor en función del calor específico para cada una de las dos sustancias.

\[ \overset{\rightharpoonup }{Q}_i = Cs_i \cdot m_i \cdot \Delta T_i \tag{2}\]

\[ \overset{\rightharpoonup }{Q}_j = Cs_j \cdot m_j \cdot \Delta T_j \tag{3}\]

Dividimos una ecuación en otra

\[\frac{\overset{\rightharpoonup }{Q}_i }{\overset{\rightharpoonup }{Q}_j }=\frac{ Cs_i \cdot m_i \cdot \Delta T_i }{ Cs_j \cdot m_j \cdot \Delta T_j } \tag{4}\]

Usamos el teorema (1) para cancelar el calor de las sustancias.

\[-1=\frac{ Cs_i \cdot m_i \cdot \Delta T_i }{ Cs_j \cdot m_j \cdot \Delta T_j } \tag{4}\]

Y a partir de este punto tendremos que plantear formas concretas de este teorema.

1- Calor específico de la sustancia incógnita.

\[ Cs_i =- Cs_j \cdot \frac {m_j}{m_i} \cdot \frac {\Delta T_j}{\Delta T_i} \tag{5}\]

Usaremos nuestra notación de cociente de variable semejante para contraer la formula a una expresión más compacta.

\[ Cs_i =- Cs_j \cdot m_{j/i} \cdot \Delta T_{j/i} \tag{6}\]

Que puede visualizarse en su forma didáctica en este enlace.

2- Masa de la sustancia incógnita.

Para este caso solo es homologar las posiciones en el teorema (6) cambiando la msa y el calor específico de posición.

\[ m_i =- m_j \cdot Cs_{j/i} \cdot \Delta T_{j/i} \tag{7}\]

Que puede visualizarse en su forma didáctica en este enlace.

3- Cambio de temperatura de la sustancia incógnita.

Para este caso solo es homologar las posiciones en el teorema (6) cambiando la msa y el calor específico de posición.

\[ \Delta T_{i} =- \Delta T_{j} \cdot Cs_{j/i} \cdot m_{j/i} \tag{8}\]

Que puede visualizarse en su forma didáctica en este enlace.

4- Temperatura de equilibrio.

Para la temperatura de equilibrio la cuestión es un poco mas complicada. En primera instancia partiendo del teorema 4, definiremos el concepto de ratio de capaciddes caloríficas, dado que el producto de clor específico por masa es la capacidad calorifica y tenemos un ratio de ellas.

\[C_{i/j}=\frac{ Cs_i \cdot m_i }{ Cs_j \cdot m_j } \tag{9}\]

Por lo que podemos simplificar el teorema (4).

\[-1= C_{i/j} \, \frac{\Delta T_i }{\Delta T_j } \tag{10}\]

Despejamos la temperatura incóngita.

\[\Delta T_i =-\Delta T_j\cdot  C_{j/i}  \tag{11}\]

Desplegamos las diferencias, donde la temperatura final es la misma temperatura de equilibrio constante.

\[T- T_{oi} =-( T- T_{oj}) \,  C_{j/i}  \tag{12}\]

\[T- T_{oi} =(T_{oj}- T) \,  C_{j/i}  \tag{13}\]

\[T- T_{oi} = C_{j/i} \cdot T_{oj} - C_{j/i} \cdot T \tag{14}\]

\[T+ C_{j/i} \cdot T= C_{j/i} \cdot T_{oj} + T_{oi}  \tag{15}\]

\[T (1 + C_{j/i})= C_{j/i} \cdot T_{oj} + T_{oi}  \tag{16}\]

\[T = \frac{ C_{j/i} \cdot T_{oj} + T_{oi}}{1 + C_{j/i}}  \tag{17}\]

Resulta conveniente calcular el inverso del ratio de la capacidad calorífica \( C_{j/i}\) por separado, ya que su calculo es complejo y se repite dos veces en este caso.

\[C_{j/i}=\frac{ Cs_j \cdot m_j }{ Cs_i \cdot m_i } \tag{18}\]

Ambas fórmulas pueden verse en su versión didáctica en este enlace.

5- Temperatura inicial de la incógnita.

Retomamos desde el teorema (8)

\[ T-T_{oi} =-\Delta T_{j} \cdot Cs_{j/i} \cdot m_{j/i} \tag{19}\]

\[ T_{oi}=T+\Delta T_{j} \cdot Cs_{j/i} \cdot m_{j/i}  \tag{20}\]

Que puede visualizarse en su forma didáctica en este enlace.