Demostración. Trabajo hecho por un cilindro de émbolo móbil

El teorema del trabajo mecánico en términos de fuerza y desplazamiento se expresa así:

$$W = \vec{F} \cdot{\Delta \vec{r}} \tag{1}$$

Asumiendo que nos enfocamos en el desplazamiento neto y la fuerza neta, que son los resultados de la suma de todas las fuerzas y desplazamientos involucrados, podemos aplicar directamente la propiedad del producto punto de dos vectores. Esto nos permite calcular el trabajo total de manera eficiente, ya que el producto punto considera solo la componente de la fuerza que actúa en la dirección del desplazamiento

$$W = |\vec{F}| \cdot|{\Delta \vec{r}}|\cdot \cos \theta \tag{2}$$

Asumiendo que estamos tratando con la fuerza neta y el desplazamiento neto, estos se encuentran alineados en un plano imaginario y lineal. Su dirección estará definida por signos que, en este contexto, podemos eliminar al usar el valor absoluto. El resultado es que los símbolos de valor absoluto y la indicación de vector se suprimen, lo que nos permite trabajar con la magnitud de la fuerza y la magnitud del desplazamiento en una dimensión específica.

$$W = F \cdot \Delta r \cdot \cos \theta \tag{3}$$

El ángulo en el producto punto es el ángulo que se forma entre dos vectores cuando sus orígenes coinciden; es decir, se cuenta desde un vector hacia el otro. Esto significa que la orientación general del plano en el que se encuentran los vectores es irrelevante para el cálculo del producto punto, ya que solo nos interesa su relación angular mutua.

Ahora, realicemos un experimento mental con el cilindro de émbolo móvil (o Gedankenexperiment) para aplicar esto al contexto del trabajo termodinámico. Imaginemos que la dirección positiva del desplazamiento en un sistema de émbolo es la expansión del gas. Si aplicamos una fuerza que se opone a esta expansión, es decir, que provoca una compresión, esto implica que la fuerza y el desplazamiento tienen direcciones opuestas. En este escenario, el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento siempre será de 180°, sin importar las características específicas del émbolo. Esta visualización es clave para asignar correctamente el signo al trabajo en procesos de compresión o expansión.

$$W = F \cdot \Delta r \cdot \cos (180°) \tag{4}$$

$$W = - F \cdot \Delta r  \tag{5}$$

Dado que en el axioma de la presión, la fuerza se refiere a su magnitud (a diferencia de otros conceptos donde magnitud y vector tienen nombres distintos, como rapidez y velocidad), podemos igualar el axioma de la presión con el teorema de la presión hidrostática en ciertas condiciones.

$$P = \frac{F}{A}  \tag{6}$$

Esto implica que la fuerza ejercida sobre un área, que define la presión, puede ser equiparada con el peso de una columna de fluido que ejerce esa misma presión.

$$F= P\cdot A  \tag{7}$$

$$W = - P \cdot A \cdot \Delta r  \tag{8}$$

Para comprender mejor el teorema resultante, debemos regresar a nuestro sistema físico del experimento mental: el cilindro con émbolo. Aquí, el área se refiere a la superficie del émbolo. Es crucial notar que las dimensiones de esta área $r$ no cambian y, por sí mismas, no contribuyen al desplazamiento. Sin embargo, el desplazamiento $r$ al que nos referimos es la altura a lo largo del eje vertical (eje y) que recorre el émbolo. Esto implica una conclusión fundamental: el producto del área del émbolo por el desplazamiento del mismo en realidad corresponde a un cambio de volumen del gas dentro del cilindro.

$$V= A \cdot r  \tag{9}$$

Este concepto es vital para vincular la fuerza y el desplazamiento con la variación de volumen en los cálculos termodinámicos.

$$W = - P \cdot \Delta V  \tag{10}$$

Con lo anterior, obtenemos el teorema del trabajo como función de una expansión o contracción del cilindro móvil. En este contexto, se asume a priori que el sentido positivo del trabajo se produce durante la expansión del sistema contra una fuerza externa. Esto significa que cuando el gas dentro del cilindro empuja el pistón hacia afuera, realizando trabajo sobre los alrededores, ese trabajo se considera positivo. Por el contrario, si los alrededores comprimen el gas, realizando trabajo sobre el sistema, este se considera negativo. Esta convención es fundamental para mantener la coherencia en los cálculos termodinámicos.

El teorema junto con su factor de conversión homólogo puede verse en este enlace.