Demostración. Disolución en serie y factor de dilución

Asumiendo que los volúmenes son aditivos al mezclar dos disoluciones del mismo soluto —o de solutos lo suficientemente similares—, es posible desarrollar un teorema que permita calcular la concentración final total en función de las disoluciones que se mezclan. Para ello, partiremos del teorema de dilución previamente introducido, que establece que la concentración final puede obtenerse multiplicando la concentración inicial por la fracción de volumen (es decir, el volumen inicial dividido por el volumen final).

$$c_i = c_{oi} \cdot \frac {V_o}{V} \quad (1)$$

A partir de este teorema, aislaremos el factor de dilución simple, que denominaremos f₁, correspondiente a la relación entre el volumen de una disolución individual y el volumen total de la mezcla. Este factor representa la proporción en la que una disolución contribuye al volumen total y, por tanto, determina su influencia sobre la concentración final. Aplicando este mismo razonamiento a cada disolución involucrada en la mezcla, podremos construir una expresión general que combine sus contribuciones ponderadas.

$$f_1 = \frac {V_o}{V} \quad (2)$$

Dado que el factor de dilución es un número menor que uno, una segunda dilución implica simplemente tomar la concentración final de la primera etapa como nueva concentración inicial, y volver a multiplicarla por un nuevo factor de dilución. Si omitimos el desarrollo algebraico redundante, podemos observar que, en la práctica, las diluciones sucesivas se resuelven multiplicando los factores de dilución en serie.

Este razonamiento puede extenderse naturalmente a cualquier número de pasos. Cada etapa introduce una nueva alícuota, que se transfiere a un nuevo volumen de disolución, generando un nuevo factor de dilución. Así, cuando realizamos una dilución seriada, lo que realmente hacemos es encadenar multiplicaciones de fracciones del tipo alícuota sobre volumen parcial final.

Si generalizamos esta lógica a una secuencia de k pasos, el factor de dilución total en la etapa k-ésima puede expresarse como el producto de todas las alícuotas previas dividido entre el producto de todos los volúmenes parciales, multiplicado por el volumen final del último recipiente. Esto equivale a afirmar que:

$$f_k = \frac {\Pi V_o}{\Pi V} \quad (3)$$

El factor de dilución acumulado en una serie es el cociente entre el producto de las alícuotas transferidas y el producto de los volúmenes totales en cada etapa.

Este enfoque evita la repetición de pasos algebraicos y permite predecir, sin necesidad de desarrollar fórmulas individuales, cuál será la concentración final tras una cadena de diluciones. Además, facilita la comprensión del porqué es posible alcanzar concentraciones tan pequeñas como partes por millón o por billón utilizando solo equipo de laboratorio básico y una metodología sistemática.

$$c_i = c_{oi} \cdot \frac {\Pi V_o}{\Pi V} \quad (4)$$

En los siguientes enlaces podremos ver en limpio y con su factor de conversión equivalente:

El teorema del factor de dilución (enlace).

Concentración final en una disolución seriada (enlace).