Demostración. Concentración de equilibrio para una mezcla de disoluciones

Nuestro objetivo será calcular la concentración de equilibrio resultante al mezclar dos o más disoluciones, que pueden contener el mismo soluto o distintos solutos compatibles. Como caso particular, también derivaremos una expresión para determinar el volumen que debe agregarse a una disolución con el fin de llevarla desde una concentración inicial a una concentración final deseada.

Asumiendo que los volúmenes de dos disoluciones que contienen el mismo soluto —o solutos cuyas propiedades sean equivalentes— se comportan de manera aditiva, podemos formular un teorema que calcule la concentración final de la mezcla en función de las concentraciones y los volúmenes individuales. Partiremos del axioma de la molaridad:

\[ c_i = \frac{n_i}{V} \quad (1) \]

Como mínimo intervienen tres volúmenes distintos: el volumen de la disolución 1, el volumen de la disolución 2 y el volumen total resultante de la mezcla. En un caso más general, donde se mezclan más de dos disoluciones, los subíndices numéricos fijos deben reemplazarse por una notación más general, como un subíndice k-ésimo, con el fin de representar cualquier número de mezclas sin perder claridad.

\[ c_i = \frac{\Sigma n_{ki}}{V} \quad (2) \]

Por otro lado, la concentración de equilibrio no puede obtenerse simplemente promediando las concentraciones individuales y dividiendo entre el número de mezclas. En lugar de eso, debe tratarse como una ponderación, es decir, una relación entre la suma de las cantidades de sustancia y el volumen total de equilibrio. Esta corrección es fundamental para evitar errores al calcular concentraciones finales en mezclas, especialmente cuando los volúmenes involucrados son distintos o las concentraciones iniciales difieren significativamente

Por comodidad, asumiremos que el volumen de equilibrio es igual a la suma de los volúmenes parciales de las disoluciones mezcladas. Sin embargo, el lector debe tener presente que este es el supuesto más débil de toda la formulación. En muchos casos prácticos, esta aproximación es válida solo cuando se trabaja con disoluciones ideales y a bajas concentraciones, donde los efectos coligativos y las interacciones moleculares son despreciables.

\[ c_i = \frac{\Sigma n_{ki}}{\Sigma V_{k}} \quad (3) \]

No obstante, si el enunciado del problema proporciona datos como la densidad de equilibrio o el volumen de equilibrio medido, el cálculo debe ajustarse a esos valores experimentales. En tales situaciones, es obligatorio reevaluar la idealidad del sistema y modificar los cálculos correspondientes, ya que podrían presentarse contracciones o expansiones de volumen al mezclar disoluciones, fenómeno común cuando se combinan solutos con diferentes características físico-químicas

Las cantidades de sustancia parciales pueden expresarse en función del axioma de la molaridad, utilizando las molaridades parciales y los correspondientes volúmenes parciales de cada disolución. En este contexto, cada término representa una contribución individual al sistema total, lo que permite calcular la cantidad total de soluto a partir de la suma ponderada de estas magnitudes.

\[ c_i = \frac{\Sigma (c_{ki} \cdot V_{k})}{\Sigma V_{k}} \quad (4) \]

Obsérvese que esta situación incluye un caso particular de gran relevancia: ¿qué ocurre si la segunda disolución no contiene soluto alguno? En ese caso, el problema se convierte en determinar cuánto volumen de esta disolución pura—es decir, solvente sin soluto—debe añadirse para alcanzar una concentración de equilibrio deseada. Esta variante representa un escenario común en procesos de dilución controlada, donde se ajusta la concentración final sin modificar la cantidad de sustancia del soluto original.

\[ c_i = \frac{ c_{oi} \cdot V_{o}+ 0 \cdot V_{2}}{\Sigma V_{k}} \quad (5) \]

Asumimos que conocemos el volumen final de equilibrio.

\[ c_i = \frac{ c_{oi} \cdot V_{oi}}{V} \quad (6) \]

Asumimos que el volumen agregado corresponde al de la disolución 2, la cual no contiene el soluto i; por ello, lo denominaremos diferencia de volumen, definido como la diferencia entre el volumen de equilibrio y el volumen de la disolución inicial. Nuevamente, se asume una aditividad simple de volúmenes.

\[ \Delta V = V - V_{o} \quad (7) \]

Despejamos el volumen de equilibrio en la ecuación (6) y luego restamos el volumen inicial a ambos lados, lo que nos permitirá usar la ecuación (7)

\[ V = \frac{ c_{oi} \cdot V_{o}}{c_i} \quad (8) \]

\[ V - V_{o} = \frac{ c_{oi} \cdot V_{oi}}{c_i} - V_{oi}  \quad (9) \]

\[ \Delta V = \frac{ c_{oi} \cdot V_{o}}{c_i} - V_{o}  \quad (10) \]

Sacamos factor común.

\[ \Delta V = V_{o} \left( \frac{ c_{oi}}{c_i} - 1 \right) \quad (11) \]

\[ \Delta V = V_{o} \left( c_{oi/i} - 1 \right) \quad (12) \]

Los teoremas clave resultantes junto con sus factores de conversión homólogos pueden verse en los siguientes enlaces:

1. Concentración de equilibrio para una mezcla de disoluciones. (Enlace).

2. Volumen de solvente a agregar para diluir una disolución a una concentración deseada. (Enlace).

Ambas fórmulas funcionan solo si se asumen volúmenes aditivos..