Nuestro objetivo será calcular la concentración de
equilibrio resultante al mezclar dos o más disoluciones, que pueden
contener el mismo soluto o distintos solutos compatibles. Como
caso particular, también derivaremos una expresión para determinar el volumen
que debe agregarse a una disolución con el fin de llevarla desde una concentración
inicial a una concentración final deseada.
Asumiendo que los volúmenes de dos disoluciones que
contienen el mismo soluto —o solutos cuyas propiedades sean
equivalentes— se comportan de manera aditiva, podemos formular un teorema
que calcule la concentración final de la mezcla en función de las
concentraciones y los volúmenes individuales. Partiremos del axioma
de la molaridad:
\[ c_i =
\frac{n_i}{V} \quad (1) \]
Como mínimo intervienen tres volúmenes distintos: el volumen
de la disolución 1, el volumen de la disolución 2 y el volumen
total resultante de la mezcla. En un caso más general, donde se mezclan más
de dos disoluciones, los subíndices numéricos fijos deben reemplazarse
por una notación más general, como un subíndice k-ésimo, con el fin de
representar cualquier número de mezclas sin perder claridad.
\[ c_i = \frac{\Sigma n_{ki}}{V} \quad (2) \]
Por otro lado, la concentración de equilibrio no
puede obtenerse simplemente promediando las concentraciones individuales y
dividiendo entre el número de mezclas. En lugar de eso, debe tratarse como una ponderación,
es decir, una relación entre la suma de las cantidades de sustancia y el
volumen total de equilibrio. Esta corrección es fundamental para evitar
errores al calcular concentraciones finales en mezclas, especialmente cuando
los volúmenes involucrados son distintos o las concentraciones iniciales
difieren significativamente
Por comodidad, asumiremos que el volumen de equilibrio
es igual a la suma de los volúmenes parciales de las disoluciones
mezcladas. Sin embargo, el lector debe tener presente que este es el supuesto
más débil de toda la formulación. En muchos casos prácticos, esta
aproximación es válida solo cuando se trabaja con disoluciones ideales y
a bajas concentraciones, donde los efectos coligativos y las
interacciones moleculares son despreciables.
\[ c_i = \frac{\Sigma n_{ki}}{\Sigma V_{k}} \quad (3) \]
No obstante, si el enunciado del problema proporciona datos
como la densidad de equilibrio o el volumen de equilibrio medido,
el cálculo debe ajustarse a esos valores experimentales. En tales situaciones,
es obligatorio reevaluar la idealidad del sistema y modificar los
cálculos correspondientes, ya que podrían presentarse contracciones o expansiones
de volumen al mezclar disoluciones, fenómeno común cuando se combinan
solutos con diferentes características físico-químicas
Las cantidades de sustancia parciales pueden
expresarse en función del axioma de la molaridad, utilizando las molaridades
parciales y los correspondientes volúmenes parciales de cada
disolución. En este contexto, cada término representa una contribución
individual al sistema total, lo que permite calcular la cantidad total de
soluto a partir de la suma ponderada de estas magnitudes.
\[ c_i = \frac{\Sigma (c_{ki} \cdot V_{k})}{\Sigma V_{k}} \quad
(4) \]
Obsérvese que esta situación incluye un caso particular
de gran relevancia: ¿qué ocurre si la segunda disolución no contiene soluto
alguno? En ese caso, el problema se convierte en determinar cuánto
volumen de esta disolución pura—es decir, solvente sin soluto—debe
añadirse para alcanzar una concentración de equilibrio deseada. Esta
variante representa un escenario común en procesos de dilución controlada,
donde se ajusta la concentración final sin modificar la cantidad de sustancia
del soluto original.
\[ c_i = \frac{ c_{oi} \cdot V_{o}+ 0 \cdot V_{2}}{\Sigma V_{k}}
\quad (5) \]
Asumimos que conocemos el volumen final de equilibrio.
\[ c_i = \frac{ c_{oi} \cdot V_{oi}}{V} \quad (6) \]
Asumimos que el volumen agregado corresponde al de la
disolución 2, la cual no contiene el soluto i; por ello, lo denominaremos diferencia
de volumen, definido como la diferencia entre el volumen de equilibrio y el
volumen de la disolución inicial. Nuevamente, se asume una aditividad simple
de volúmenes.
\[ \Delta V = V - V_{o} \quad (7) \]
Despejamos el volumen de equilibrio en la ecuación (6) y
luego restamos el volumen inicial a ambos lados, lo que nos permitirá usar la
ecuación (7)
\[ V = \frac{ c_{oi} \cdot V_{o}}{c_i} \quad (8) \]
\[ V - V_{o} = \frac{ c_{oi} \cdot V_{oi}}{c_i} - V_{oi} \quad (9) \]
\[ \Delta V = \frac{ c_{oi} \cdot V_{o}}{c_i} - V_{o} \quad (10) \]
Sacamos factor común.
\[ \Delta V = V_{o} \left( \frac{ c_{oi}}{c_i} - 1 \right)
\quad (11) \]
\[ \Delta V = V_{o} \left( c_{oi/i} - 1 \right) \quad (12) \]
Los teoremas clave resultantes junto con sus factores de
conversión homólogos pueden verse en los siguientes enlaces:
1. Concentración de equilibrio para una mezcla de
disoluciones. (Enlace).
2. Volumen de solvente a agregar para diluir una
disolución a una concentración deseada. (Enlace).
Ambas fórmulas funcionan solo si se asumen volúmenes aditivos..
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