Procederemos a demostrar un teorema que
permita calcular la presión en el interior de la cámara en
función del cambio en los niveles de mercurio. Como punto de
partida, asumiremos una situación de equilibrio perfecto, en la
cual la presión interna de la cámara es igual a la presión
atmosférica externa. En este caso, no existirá ninguna diferencia de
niveles entre las columnas de mercurio, ya que ambas presiones se
equilibran y ejercen fuerzas iguales sobre el líquido desde cada extremo del
tubo.
Esto implica que, además de la presión
ejercida por el gas en la cámara y la presión atmosférica en
el extremo abierto, las presiones hidrostáticas generadas por
las columnas de mercurio en ambos brazos del tubo son también
iguales. Esta condición de equilibrio permite plantear
una ecuación de suma cero, en la que la suma algebraica de todas
las presiones involucradas debe anularse, ya que no hay movimiento neto del
fluido en el sistema.
Para que la ecuación de suma cero tenga
verdadero sentido físico, debemos interpretar las presiones como
magnitudes con dirección, es decir, asumir que poseen un carácter
vectorial en este contexto. Esta interpretación resulta razonable si
consideramos que la presión es el resultado de una fuerza
vectorial aplicada por unidad de área escalar, lo que le otorga una
orientación definida cuando se trata de sistemas en equilibrio mecánico,
como el del tubo en U. De forma análoga a una máquina de Atwood,
podemos reinterpretar el tubo en U como un sistema lineal, donde
cada componente de presión actúa con una dirección específica. Así, asignamos
sentido positivo a la presión del gas y a la presión
hidrostática del brazo cerrado del mercurio, mientras que
la presión atmosférica y la presión hidrostática del
brazo abierto actúan en el sentido opuesto. Esta convención nos
permite formular una ecuación de equilibrio coherente, en la
que las fuerzas internas que se ejercen sobre el mercurio se
compensan mutuamente.
A continuación, despejamos la presión
del gas en términos de las demás presiones:
Finalmente, si asumimos la unidad de milímetro
de mercurio, sustituimos las presiones por las alturas del fluido. En este
caso, no es adecuado tomar el valor absoluto de la diferencia
de alturas, ya que la presión en el interior del gas puede ser
tanto mayor como menor que la presión
atmosférica. Esta diferencia se refleja en el signo de la resta entre las
alturas, indicando la dirección del desequilibrio. Por ello, lo más
conveniente es mantener las alturas con su signo
correspondiente, evitando ambigüedades.
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