Procederemos a demostrar un teorema que permita calcular la presión en el interior de la cámara en función del cambio en los niveles de mercurio. Como punto de partida, asumiremos una situación de equilibrio perfecto, en la cual la presión interna de la cámara es igual a la presión atmosférica externa. En este caso, no existirá ninguna diferencia de niveles entre las columnas de mercurio, ya que ambas presiones se equilibran y ejercen fuerzas iguales sobre el líquido desde cada extremo del tubo.
Esto implica que, además de la presión ejercida por el gas en la cámara y la presión atmosférica en el extremo abierto, las presiones hidrostáticas generadas por las columnas de mercurio en ambos brazos del tubo son también iguales. Esta condición de equilibrio permite plantear una ecuación de suma cero, en la que la suma algebraica de todas las presiones involucradas debe anularse, ya que no hay movimiento neto del fluido en el sistema.
Para que la ecuación de suma cero tenga verdadero sentido físico, debemos interpretar las presiones como magnitudes con dirección, es decir, asumir que poseen un carácter vectorial en este contexto. Esta interpretación resulta razonable si consideramos que la presión es el resultado de una fuerza vectorial aplicada por unidad de área escalar, lo que le otorga una orientación definida cuando se trata de sistemas en equilibrio mecánico, como el del tubo en U. De forma análoga a una máquina de Atwood, podemos reinterpretar el tubo en U como un sistema lineal, donde cada componente de presión actúa con una dirección específica. Así, asignamos sentido positivo a la presión del gas y a la presión hidrostática del brazo cerrado del mercurio, mientras que la presión atmosférica y la presión hidrostática del brazo abierto actúan en el sentido opuesto. Esta convención nos permite formular una ecuación de equilibrio coherente, en la que las fuerzas internas que se ejercen sobre el mercurio se compensan mutuamente.
A continuación, despejamos la presión del gas
Reordenamos para colocar la variable dependiente a la izquierda y extraemos el factor negativo:
Finalmente, si asumimos la unidad de milímetro de mercurio, sustituimos las presiones por las alturas del fluido. En este caso, no es adecuado tomar el valor absoluto de la diferencia de alturas, ya que la presión en el interior del gas puede ser tanto mayor como menor que la presión atmosférica. Esta diferencia se refleja en el signo de la resta entre las alturas, indicando la dirección del desequilibrio. Por ello, lo más conveniente es mantener las alturas con su signo correspondiente, evitando ambigüedades.
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