Demostración. Ley de Boyle a partir de la ecuación de estado

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$$P_i \cdot V_i = n_i \cdot R \cdot T \quad (1)$$

En este caso, lo que haremos es identificar y hacer explícitas dos condiciones necesarias para que la ley de Boyle se aplique en un sistema de gases ideales: (1) la temperatura absoluta del sistema debe permanecer constante, y (2) la cantidad de gas involucrado no debe variar, es decir, el sistema debe estar cerrado y sin fugas.

Cuando estas dos condiciones se cumplen, tanto la temperatura como la cantidad de sustancia (n) se comportan como constantes. Estas constantes pueden entonces combinarse algebraicamente con la constante universal de los gases (R, establecida experimentalmente por Henri Victor Regnault), formando una nueva constante de identidad indeterminada que denotamos como k. Esta operación es válida porque, en álgebra, el producto de constantes sigue siendo una constante.

$$P_i \cdot V_i = k \quad (2)$$

De este modo, al reemplazar en la ecuación de estado del gas ideal los valores constantes por k, obtenemos la forma estática de la ley de Boyle, que expresa la relación inversa entre la presión y el volumen cuando la temperatura y la cantidad de gas no cambian.

$$P_i = k \cdot \frac{1}{V_i} \quad (3)$$

Para obtener su forma dinámica, es decir, el teorema de cambio de estado discontinuo, simplemente dividimos algebraicamente la forma estática entre sí misma, pero evaluada en el momento inicial del sistema.

$$\frac{P_i}{P_{oi}} = \frac{k}{k} \cdot \frac{V_{oi}}{V_i} \quad (4)$$

Dado que la constante k permanece invariable en ambas expresiones, esta se cancela, y así se obtiene la forma de la ley de Boyle que relaciona el estado inicial y final de un sistema gaseoso que cambia de volumen o presión, pero sin modificar su temperatura o cantidad de sustancia.

$$\frac{P_i}{P_{oi}} = \frac{V_{oi}}{V_i} \quad (5)$$

Con lo que obtenemos la forma estática y dinámica visualizada aquí.